2022-2023学年度北京市西城区中考一模数学试卷

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2023北京西城初三一模
数 学
2023．4
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱体的特征进行判断即可．
【详解】解：A.是正方体，不符合题意；
B.是圆柱，符合题意；
C.是圆锥，不符合题意；
D.是球体，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．
2. 根据地区生产总值统一核算的结果，2022年北京市全年地区生产总值41610.9亿元，按不变价格计算，比2021年增长0.7%．将4161090000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：4161090000000用科学记数法表示为．
故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图，点O在直线上，，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余角和平角的定义分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
再根据邻补角的定义，得
．
故选C．
【点睛】此题主要考查了余角和邻补角的定义，正确把握余角和邻补角的定义是解题关键．
4. 下列图形都是轴对称图形，其中恰有4条对称轴的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判定即可．
【详解】A、是轴对称图形，对称轴是3条，不符合题意；
B、是轴对称图形，对称轴是4条，符合题意；
C、是轴对称图形，对称轴是2条，不符合题意；
D、是轴对称图形，对称轴是5条，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠直线两旁部分完全重合，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．
5. a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴及数轴上点的特征来判断即可．
【详解】解：通过观察数轴可知：，故A错误，不符合题意；
，，故B错误，不符合题意；
，，故C错误，不符合题意；
，，故D正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上点的特征，运用数形结合的方法是本题的关键．
6. 平面直角坐标系中，若点和在反比例函数图像上，则下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数图像的特点即可求解．
【详解】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图像经过第一、三象限，在第一象限中，函数值随的增大而减小，
∴点和中，，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像的增减性是解题的关键．
7. x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可．
【详解】∵方程有两个不相等的实数根，
∴．，
解得且，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
8. 设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式，下列结论正确的是（ ）
A. 从第2年起，每年的检修费用比上一年增加万元
B. 从第2年起，每年的检修费用比上一年减少万元
C. 第1年至第5年平均每年的检修费用为万元
D. 第6年至第10年平均每年的检修费用为万元
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据设出连续三年总支出，再两两相减得到连续两年的差值即可知道连续两年的每年的检修费，再根据总支出得到平均每年检修费．
【详解】由题意得，
前n年支出总费用为万元，
前年支出总费用为：万元；
前年支出总费用为：万元；
易知，前n年和前年差值为万元，前年和年差值为万元，
故第二年起，每年检修费比上一年保持不变，故A , B错误；
第一到第五年总支出费用为万元，
故平均每年检修费用为万元， 故C错误．
年总支出为万元，
年总支出为万元，
所以年平均每年检测费用为万元，故D正确．
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及基本不等式在实际生活中的应用，解题的关键是理解变量之间的关系．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数3，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：

，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
11. 若n边形的每一个外角都是40°，则n的值为______
【答案】9
【解析】
【分析】根据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解．
【详解】解：∵n边形的每一个外角都是40°，
∴n=360°÷40°=9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的边数、每一个外角的度数、外角和，三者之间的关系是解题的关键．
12. 方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的一般步骤进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：
移项、合并同类项得：
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键，注意结果要检验．
13. 如图，在中，E是边上的点，连接交于点F，若，则的值是__________．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，三角形相似的性质，计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为,则该门洞的半径为__________m．

【答案】1.3
【解析】
【分析】运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可．
【详解】如图，设圆心为点E，洞高为，入口宽为，门洞的半径为
根据题意，得，

根据勾股定理，得，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆性质，垂径定理，用勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
15. 有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6随机抽取1张后，放回并混合在一起，再随机抽取1张，则第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图即可求解．
【详解】解：由题意得：画如下树状图，

共有种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有种，
∴概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查画树状图或列表法求概率，正确画出树状图是解题关键．
16. A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，每袋的价格（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W（单位：kg）=__________（用含的代数式表示）：为了提升产品的品质，要求，当的值依次是_______时，这种产品的成本最低．
【答案】 ①. ②. 1，5，1
【解析】
【分析】根据重量等于单袋重量乘以袋数，列式计算即可；运用不等式的基本性质计算即可．
【详解】∵A，B，C三种原料每袋的重量（单位：kg）依次是1，2，3，需要A，B，C这三种原料的袋数依次为（均为正整数），
∴，
故答案为：；
设总成本价为M元，根据题意，得，
∵均为正整数，，
∴，
当且仅当，时，成本最低，此时，
故，
故答案为：1,5,1．
【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22-23题，每题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算特殊角的三角函数值、零整数指数幂和绝对值和二次根式的化简，最后进行加减运算．
【详解】解：

．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是正确掌握运算法则，并能准确计算．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知a是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】，3
【解析】
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：

，
∵a是方程的一个根，
∴，
即．
∴原式．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
20. 下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，．
求证：

方法一
证明：如图，过点E作
方法二
证明：如图，延长，交于点F．


【答案】答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可．
【详解】方法一
证明：如图，过点E作 ，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．

方法二证明：如图，延长，交于点F，
∵，
∴．
∵，
∴．

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21. 在中，是边上的中线，点E在线段上，点F在线段的延长线上，，连接，．

（1）如图1，求证：四边形是平行四边形．
（2）若，
①依题意补全图2；
②求证：四边形为菱形.
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）证明，可得，再根据，即可得出结论；
（2）由，可得，再由等腰三角形的性质可证，再利用菱形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是边上的中线，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
解：①依题意补全图2，如图；

②证明：∵ ，
∴ ，
∵ 是边上的中线，
∴ ，
由（1）证明方法可得 四边形是平行四边形，
∴ 四边形为菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定与性质及菱形的判定是解题的关键．
22. 某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传，该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：

b．丙家民宿“综合满意度”评分：

c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：

甲
乙
丙
平均数



中位数



根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值是__________，的值是__________；
（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是，直接写出之间的大小关系；
（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．
【答案】（1），
（2）
（3）推荐乙，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据折线统计图得出甲家民宿“综合满意度”评分，求得平均数，将丙甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；
（2）根据数据的波动范围即可求解；
（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．
【小问1详解】
解：甲家民宿“综合满意度”评分：
∴，
丙家民宿“综合满意度”评分：

从小到大排列为：
∴中位数
故答案为：，．
【小问2详解】
根据折线统计图可知，乙的评分数据在分与分之间波动，甲的数据在分和分之间波动，
根据丙的数据可以在至分之间波动，
∴
【小问3详解】
推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，
答案不唯一，合理即可．
【点睛】本题考查了折线统计图，求一组数据的平均数，中位数，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式：
（2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由一次函数的图象由函数的图象平移得到，则，得到一次函数的解析式为．把点代入求得b的值，即可得到一次函数解析式；
（2）由题意可得，解得，由于当时总是成立，得到不等式，解不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵ 一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，得到一次函数的解析式为．
∵一次函数的图象过点，
∴，得到．
∴一次函数的解析式为．
【小问2详解】
解：当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值，
∴，
解得，
∵当时总是成立，
∴，
∴，
即m的取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24. 如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由切线的性质得，再由圆周角定理可求得，从而得结论成立．
（2）过点作于点，可证明四边形是正方形，与都与互余，得，在中，由，求出，再由得结果．
【小问1详解】
证明： 连接，如图1．
∵是的切线，切点是D，
∴．
∴．
∵是的直径，
∴．
∵的平分线交于点D，
∴．
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：作于H，如图2．
∴．
∵，，
∴．
∴ 四边形是矩形．
∵，
∴ 四边形是正方形．
∴．
∵ 在中，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．

【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，圆周角定理及推论，锐角三角函数之间的转化，关键是连接过切点的半径，得垂直于半径的直线，过点作垂线构造直角三角形．
25. 如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法，如图2，点O处由一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.3m的树，距离这棵树10m的N处有一面高2.2m的围墙，建立如图所示的平面直角坐标系，已知某次浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．

（1）某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下：
x
0
2
6
10
12
14
16
y
0
0.88
2.16
2.80
2.88
2.80
2.56
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并说明理由．
（2）某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b的不等式：
A.； B.；
C.； D.．
其中正确的不等式是__________．（填上所有正确的选项）
【答案】（1）①；②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，理由见解析
（2）A，C
【解析】
【分析】(1) ①设抛物线解析式为，把代入解析式确定a值即可．
②根据抛物线的对称性解答即可．
（2）根据题意，得到当时，，当，，转化成x的代数式即可．
【小问1详解】
①由题意可设所求的的函数关系式为．
∵点（0，0）在该函数的图像上，
∴．
解得．
故求的的函数关系为．
即 ．
②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．理由如下：
∵当时的函数值与当时的函数值相等，
∴当时，．
∴喷水头喷出的水柱能够越过这棵树．
【小问2详解】
根据题意，得到当时，，当，，
∵
∴，，
故选A，C，
故答案为：A，C．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，抛物线的对称性，抛物线的应用，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
26. 已知抛物线的对称轴为直线．
（1）若点在抛物线上，求t的值；
（2）若点，在抛物线上，
①当时，求a的取值范围；
②若，且，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）1 （2）①或；②
【解析】
【分析】（1）把点代入，得，再由抛物线对称轴方程得解；
（2）①由对称轴为得，分和两种情况，根据点和点与顶点的位置关系得不等式，求出的取值范围；
②由已知得，分别把，代入抛物线解析式，得，，两式相减得，再由得，再由，得，从而得，所以．
【小问1详解】
∵ 点在抛物线上，
∴．
∴．
∴ ．
【小问2详解】
①当时，，所以．
∵ 点，在抛物线上，
∴ 当时，有．
得，得．
当时，有．
得，得．
综上，的取值范围是或．
②∵且，则，在对称轴右侧，随着的增大而增大，
∴．
又∵，
∴，
又∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系，结合图象求解．
27. 如图，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且．

（1）求证：；
（2）点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E作，，垂足分别是H，K，得，再根据三角形全等的判定，证明即可得结论．
（2）作辅助线，在线段上截取，连接EG1，先证明，得，，再证明，得，再推导得出结论．
【小问1详解】
（1）证明：作，，垂足分别是H，K，如图．

∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
记与的交点为P，
∴．
∴．
【小问2详解】
（2）．
证明：线段上截取，连接EG1，如图．

∵是的平分线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∵．
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
28. 在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个不同的点，满足．其中点为线段的中点，则称点是图形的相关点．
（1）已知点，
①在点中，线段的相关点是_______；
②若直线上存在线段的相关点，求的取值范围．
（2）已知点，，线段的长度为，当线段在直线上运动时，如果总能在线段上找到一点，使得在轴上存在以为直径的圆的相关点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据新定义得出点在以为直径的圆上及其内部，以为直径，为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；
②根据①可得点在以为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线上存在线段的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；
（2）设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，勾股定理求得的值，进而根据对称性可得当点在轴的下方时，符合题意，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵，，
∴，
∵是线段的相关点，
∵，
若点分别与点重合，
则中点为，
∴在以为直径的圆上，
∵是线段上的点，
∴点在以为直径的圆上及其内部，

故答案： ，．
②由题意可得线段的所有相关点都在以为直径的圆上及其内部，
如图．设这个圆的圆心是．

，，
，．
当直线与相切，且时，
将直线与轴的交点分别记为，
则点的坐标是，．
．
，
，解得．
当直线与相切，且时，
同理可求得．
所以的取值范围是．
【小问2详解】
解：设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，
设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，如图所示，

设以为直径的圆，圆心是．则，
∴
是的中点，，
∴
当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，
在中，，
∴，
∴，
根据对称性可得当点在轴的下方时，也符合题意，
∴．
【点睛】本题考查了几何新定义，切线性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的关键．