2022-2023学年度重庆市沙坪坝区第八中学校九年级上学期期末数学试题

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重庆第八中学2022-2023学年上学期九年级期末考试数学试题
一、选择题（每小题4分，共48分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】解：选项，不是同类项，不能进行计算，故不正确；
选项，是同类项，合并同类项的运算不正确，故不符合题意；
选项，不是同类项，不能进行计算，故不正确；
选项，是同类项，合并同类项的运算正确，故符合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
2. 某校为了了解七年级400名学生期末数学考试情况，从中抽取了40名学生的期末数学成绩进行了统计，下面判断中错误的是（ ）
A. 这种调查方式是抽样调查 B. 400名学生是总体
C. 每名学生的期末数学成绩是个体 D. 40名学生的期末数学成绩是总体的一个样本
【答案】B
【解析】
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体．本题考查的对象是七年级400名学生期末数学考试情况，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本．
【详解】解：A、题中的调查方式为抽样调查，故A正确，不符合题意；
B、总体为400名学生的期末数学成绩，而不是学生，故B错误，符合题意；
C、每名学生的期末数学成绩是个体，故C正确，不符合题意；
D、40名学生的期末数学成绩是总体的一个样本，故D正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了总体、个体与样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本．关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考察对象是相同的，所不同的是范围的大小．
3. 解方程时，去分母正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案．
【详解】解：去分母得：；
故选：C．
【点睛】去分母时，方程两端同时乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
4. 按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，当输入，时，输出的结果为（ ）

A. 14 B. 33 C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据程序流程图，代值计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴将代入，得：；
故选D．
【点睛】本题考查程序流程图．按照程序流程图运算流程，进行计算，是解题的关键．
5. 下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（ ）

A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，在实验中有3个阶段：①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【详解】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
①铁块在液面以下，液面的高度不变；
②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象．注意，函数值随时间的变化问题，不一定要通过求解析式来解决．
6. 已知点在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
解集在数轴上的表示为：

故选：C．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．
7. 把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．设这个班有学生x名，根据题意列方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据这批图书的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8. 如图，半圆O的直径，两弦相交于点E，弦，则等于（ ）度．

A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】连接，证明，得到，利用圆周角定理，得到，利用锐角三角函数，求出的度数即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
故选B．

【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，证明三角形相似，是解题的关键．
9. 如图，是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图①中有1个“树枝”，图②中有3个“树枝”，图③中有7个“树枝”……照此规律，图⑦中有（ ）个“树枝”．

A. 63个 B. 87个 C. 91个 D. 127个
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的图形，抽象概括出数字规律：图n中有：个“树枝”，再进行求解即可．
【详解】解：由图可知：图①中有个“树枝”，
图②中有个“树枝”，
图③中有个“树枝”，
……，
则：图n中有：个“树枝”，
∴图⑦中有个“树枝”；
故选D．
【点睛】本题考查图形中的数字规律探究．根据依照图形，抽象概括出数字规律，是解题的关键．
10. 如图，在中，点D是边上的中点，连接，把沿若翻折，得到．连接．若，，，则为（ ）

A. B. 2 C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长，交于点，连接，过点作于，由折叠性质可知，，，易证，根据相似三角形的性质可得，进而可得，，根据直角三角形斜边中线定理可得，根据含角的直角三角形的性质可求得，进而在Rt中，由勾股定理得，进而即可求解．
【详解】如图，延长，交于点，连接，过点作于，

∵点是边上的中点，
∴，
∵把沿若翻折，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在Rt中，由勾股定理，得：
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形的判定及其性质、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学性质．
11. 若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）
A. 11 B. 14 C. 16 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】分别解出两个一元一次不等式，根据它们没有公共部分，确定的取值范围，求出分式方程的解，根据方程有正整数解，确定的值，再将满足条件的所有整数a，进行相加即可得解．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∵不等式组无解，
∴，即：；
∵，
解得：；
∵方程有正整数解，且，
∴满足条件的所有整数或或，
∵，
∴或，
∴满足条件的所有整数a的和为：；
故选A．
【点睛】本题考查解含参的不等式组和分式方程．熟练掌握大大小小，不等式组无解，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．
12. 我们在初中已经学会了估算的值，现在用表示距离最近的正整数．（n为正整数）比如：表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴；表示距离最近的正整数，∴……利用这些发现得到以下结论：
①；②时，n的值有3个；③；④；⑤当时，n的值为2550．
五个结论中正确的结论有（ ）个．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】①根据表示距离最近的正整数，进行判断；②根据，确定n的值；③分别求出，进行求解即可；④根据③中的数据，得到相应的数字规律，再进行计算即可；⑤根据规律进行倒推，即可得解．
【详解】解：①表示距离最近的正整数，
∴；故①正确；
②时，，4，5，6，
∴n的值有4个；故②错误；
③∵，
∴；故③正确；
④∵，…，
∴2个1，4个2，6个3，8个4，…，
∴；故④错误；
⑤，
∴；故⑤正确；
综上：正确的是①③⑤，共3个；
故选B．
【点睛】本题考查无理数的估算，以及数字规律探究．根据所给的定义，通过无理数的估算，找到数字规律是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】由算术平方根性质解得，由解得，据此解题．
【详解】解：


．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零次指数幂、负整数指数幂等指数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14. 育才学校积极开展志愿者服务活动，来自初三的3名同学（1男2女）组成了“关爱老人”志愿小分队．若从该小分队中任选2名同学参加周末的志愿活动，则恰好是1男1女的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果，求出有4种情况，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意，画出树状图如下：

共有6种等可能结果，其中一男一女的共有4种，
所以恰好是1男1女的概率为．
故答案为：
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，注意列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
15. 如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是_________．

【答案】
【解析】
【分析】连接、，根据题意得到为等边三角形，，分别求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，计算即可．
【详解】解：连接、．

，
为等边三角形，
，，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：，
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用割补法的思想进行求阴影部分面积．
16. 为丰富学生课余文化生活，学校举行了缤纷节．今年的“财商体验”活动中，初一（1）班摊位推出了A、B、C三种食品，每种食品的成本分别为元．元．7元．在八点至九点期间，为了吸引人流量，亏本促销，A、B、C三种食品的单价之比为，销量之比为；由于味道太好，供不应求、故在九点到十点期间，初一（1）班摊位适当调整了价格，A、B、C三种食品的单价均有所上调，其中B食品的单价上调，但三种食品的销量之比不变，同时三种食品的销售额比之前有所增加，其中A、C增加的销售额之比为，且A、B食品在九点到十点期间的销售额之比为．若九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多元，最后初一（1）班的摊位不赔不赚，则八点至九点期间与九点至十点期间的销量之比为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设出在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为元，元，元，销量分别为，，，在九点到十点期间的三种食品的销量分别为，，，把这两天三种食品的单价、销量均表示出来，根据九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多元，列出方程求出x，再用整体法求出销量之比即可．
【详解】解：设在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为元，元，元，销量分别为，，，
∵在九点到十点期间的三种食品的销量之比不变，
∴设在九点到十点期间的A，B，C三种食品的销量分别为，，，
∵在九点到十点期间B食品的单价上调，
∴在九点到十点期间B食品的单价为（元）
∵在九点到十点期间A，B食品的销售额之比为，
∴在九点到十点期间B食品的销售额为元，A食品的销售额为元，
∴在九点到十点期间A食品的单价为（元），
∵在九点到十点期间A，C食品增加的销售额之比为，
∴A食品增加的销售额为：（）元，
∴C食品增加的销售额为：（）元，
∴在九点到十点期间C食品的单价为：（元），
∵在九点到十点期间三种食品的单价之和比在八点至九点期间三种食品的单价之和多9.9元，
∴，
∴，
∴在九点到十点期间A、B、C三种食品的销售单价分别为元，元，元，
在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为元，元，元
最后初一（1）班的摊位不赔不赚，
+=0
解得：，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
三、解答题（17-18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算单项式乘多项式，以及完全平方公式，再合并同类项；
（2）根据分式的运算法则，先算括号，再进行除法运算．
【小问1详解】
解：原式

；
【小问2详解】
原式



．
【点睛】本题考查整式混合运算，分式的混合运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
18. 如图．四边形ABCD是平行四边形．

（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作出的角平分线DE，交BC于点E；在线段AD上截取，连接EF；
（2）在（1）所作图中，请证明四边形CDFE是菱形．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴______，
∴，
∵DE平分，
∴
∴______
∴______，
∵，
∴，
而，
∴四边形CDFE为______
∵，
∴四边形CDFE为菱形．
【答案】（1）作图见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据尺规作图——作一个角的平分线的步骤进行作图即可；
（2）根据平行四边形的性质和菱形的判定依次推理即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴四边形CDFE为平行四边形，
∵，
∴四边形CDFE为菱形．
【点睛】本题考查了尺规作图——作一个角的平分线、菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等，解题关键是牢记作图步骤与相关判定定理与性质．
19. 为了加强孩子们自身防护的知识，某校七八年级举办了防疫知识小问答活动，从七八年级各随机抽取15名学生，对他们在小问答活动中的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分成4组：
A．，B．，C．，D．），下面给出部分信息：
七年级学生的成绩在C组中的数据为：80，83，85，87，89．
八年级学生的成绩为：72，70，76，99，98，99，82，86，95，90，99，86，84，93，89．
七年级学生成绩频数分布直方图

七八年级学生成绩对比统计表
统计量
七年级
八年级
平均数
88
88
中位数
a
b
众数
98
c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七八年级学生哪个年级防疫知识掌握得更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七八年级共有1200名学生，规定防疫知识小问答成绩在90分及以上为优秀，估计该校七八年级成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1），，
（2）八年级，理由见解析
（3）人
【解析】
【分析】（1）根据中位数的确定方法：将数据进行排序后，找到中间数据即可；众数，是出现次数最多的，进行确定即可；
（2）平均数相同的情况下，根据中位数，进行判断即可；
（3）利用乘以90分及以上数据所占的比例，即可得解．
【小问1详解】
解：∵从七八年级各随机抽取15名学生，
∴将数据进行排序后，第8位即为中位数，
由图表可知：七年级的中位数出现在组第4位，即：；
将八年级的数据进行排序后，中位数为第8位数据，即：，
八年级的数据出现次数最多的是：99，即：；
【小问2详解】
解：八年级学生防疫知识掌握得更好；理由如下：
七，八年级学生成绩的平均数相同，从中位数上看，八年级的成绩比七年级的成绩要好；
【小问3详解】
解：由图可知：七年级90分及以上的人数为人，从八年级的数据来看，90分及以上的人数为人，
∴两个年级90分及以上的人数所占的比例为：，
∴该校七八年级成绩为优秀的学生共有：（人）．
【点睛】本题考出平均数，中位数和众数，以及利用样本估计总体数量．解题的关键是理解题意，熟练掌握中位数和众数的确定方法．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．

（1）求一次函数解析式，并在图中画出这个一次函数的图象．
（2）点C是x轴上一点，当的面积为3时，求C点的坐标．
（3）观察图象，直接写出的解集．
【答案】（1），图见解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式，连接形成的直线即为一次函数的图象；
（2）设直线与的交点为，设，利用，列式计算求出点坐标即可；
（3）根据图象，找到直线在双曲线上方，两个图象都在轴下方时，的取值范围，即可得解．
【小问1详解】
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，
∴，
解得：，
∴、，
∴，解得：，
∴，
∵一次函数的图象为一条直线，
∴连接形成的直线，即为一次函数的图象，如图所示：
【小问2详解】
解：设直线与的交点为，

当时，，解得：；
∴，
设，则：，
∵，、，
∴，即：，
解得：或，
∴点坐标为：或；
【小问3详解】
解：由图可知：当时，直线在双曲线的上方，且直线和双曲线均在轴的下方，即：，
∴的解集为：．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
21. 如图是某景区的观光扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3∶2的扶梯，扶梯总长为米．但这样坡度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯和平台形成的为135°，从E点看D点的仰角为30°，段扶梯长20米．（参考数据：，）

（1）求点A到的距离．
（2）段扶梯长度约为多少米？（结果保留1位小数）
【答案】（1）30米 （2）
【解析】
【分析】（1）作于H，设，根据勾股定理列方程求解即可；
（2）延长交于N，作于G，首先根据等腰直角三角形的性质得到，然后根据30°角的函数值求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，作于H，
∵扶梯的坡度为3∶2，
∴设，
∵，
∴，即，
∴解得（舍去），
∴米，
∴点A到的距离为30米；
【小问2详解】
延长交于N，作于G，如图所示：

∵
∴
在中，，
∴
∵
∴
∵四边形是矩形
∴
在中，
∴．

【点睛】此题主要考查勾股定理，锐角三角函数的实际应用，解题的关键熟练掌握以上知识点并正确作出辅助线．
22. 某学校准备采购一批化学实验器材A和B．经查询，如果按照标价购买两种实验器材，当购买实验器材B的数量是实验器材A数量的2倍时，购买实验器材A共需要4000元，购买实验器材B共需要6000元，且一套实验器材A比一套实验器材B单价贵100元．
（1）求一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是多少元？
（2）学校计划购买相同数量的实验器材B和实验器材A．商家告知，因为周年庆，实验器材B的单价在标价的基础上降价元，实验器材A单价在标价的基础降价100元，该校决定增加采购数量，实际购买实验器材B和实验器材A的数量在原计划基础上分别增加了和，结果在结算时发现，两种实验器材的总价相等，求m的值．
【答案】（1）一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是400元和300元
（2）
【解析】
【分析】（1）设一套实验器材B标价为元，则：一套实验器材A的标价为元，根据题意，列出分式方程，进行求解即可；
（2）设学校原计划采购实验器材B和实验器材A的数量均为，利用总价等于单件乘以数量，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：设一套实验器材B的标价为元，则：一套实验器材A的标价为元，由题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解；
∴，
∴一套实验器材A，一套实验器材B的标价分别是400元和300元．
【小问2详解】
解：设学校原计划采购实验器材B和实验器材A的数量均为，由题意，得：，
整理得：，
解得：或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
23. 如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成的过程称为“九九归一分解”．
例如：∵，，，∴368是“九九归一数”；
∵，，，∴1632不是“九九归一数”．
（1）判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由；
（2）把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记．且能被5整除，求出所有满足条件的自然数M．
【答案】（1）378是“九九归一数”，297不是“九九归一数”，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“九九归一数”的定义，进行判断即可；
（2）设，则：，进而求出和，利用能被5整除，进行求解即可．
【小问1详解】
解：378是“九九归一数”； 297不是“九九归一数”；理由如下：
∵，，，
∴378是“九九归一数”；
∵，，，
∴297不是“九九归一数”；
【小问2详解】
解：设，则：，
∴，，
∴，
∵能被5整除，
∴是5的倍数，
∵为小于的正整数，
∴当，时，，符合题意；此时：，；
当，时：，符合题意；此时：，；
当，时：，符合题意；此时：，；
当，时：，符合题意；此时：，；
综上，满足题意的条件的自然数为：．
【点睛】本题考查有理数的运算，整式的运算以及分式的运算．理解并掌握“九九归一数”，以及“九九归一分解”是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作交于点，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将该抛物线关于直线对称得到新抛物线，点E是原抛物线y和新抛物线的交点，F是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，若以E、F、A、G为顶点的四边形是是平行四边形，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）
（2），
（3）或或．
【解析】
【分析】（1）直接利用顶点坐标，写出二次函数的顶点式，即可得解；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，设交于点，证明，得到，得到当最大时，最大，进行求解即可；
（3）求出新抛物线的解析式，求出点的坐标，分分别为对角线，三种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点为，
∴；
【小问2详解】
解：过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，设交于点，

则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
当时，；当时，，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴；
∵交于点，联立直线的解析式得：，
解得：，
∴，
∴，
∵轴，
∴的横坐标为，代入，得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，
设，则：，
∴，
∵，
∴当时，有最大值：，
此时：，；
【小问3详解】
解：关于的对称点为：，
则：新的抛物线的解析式为：，
联立两个抛物线的解析式：，解得：，
∴，
∵F是原抛物线对称轴上一点，G为新抛物线上一点，
∴设，，
∵，以E、F、A、G为顶点的四边形是是平行四边形，
①为对角线时：根据平行四边形的对角线互相平分，可得：
，解得：，
∴；

②为对角线时：根据平行四边形的对角线互相平分，可得：
，解得：，
∴；

③为对角线时：根据平行四边形的对角线互相平分，可得：
，解得：，
∴；

综上：以E、F、A、G为顶点的四边形是平行四边形时，点坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质和数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
25. 如图．已知为等腰直角三角形，，D、E分别为上的两点，，连接，将绕点E逆时针旋转得，连接与交于点M．

（1）如图1，当时，若，求的长；
（2）如图2，连接，为的中点，连接，求证：；
（3）如图3，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】(1)过点D作于点H，根据，构造直角和，设，根据以及构造出的直角三角形，可以用含a的式子表示出，再根据求出a的值，从而求出；
(2)结合以及问题要证的，可以知道就是要证，而N点是中点，所以要证点M是中点，即证明是的中位线，利用三角形全等、四点共圆、等腰三角形的性质解决即可；
(3)以为边向外作等边，连接，作直线，证明，说明点G的运动轨迹是一条经过点P且与夹角大小为的直线，通过构造全等三角形、应用特殊角的直角三角形的性质来解决即可．
【小问1详解】
解：如图：过点D作于点H，

设，则，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
【小问2详解】
证明：如图：连接、，过点D作于点H，

由旋转可得：且，
，
，
，
，
，且，
，
在和中，

，
，
，且，
，
又，
，即，
、B、E、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，
，
，
，
又，
(三线合一) ，
点M是的中点，
又点N是的中点，
是的中位线，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图：以为边向外作等边三角形，连接，作直线，

由旋转可得：，且，
为等边三角形，
为等边三角形，
，且，
，
，
，
在和中，

，
，
由(2)可知，，
，
，
是一条定线段，，说明D、E运动时，F随之运动，G也随之运动，但G始终在与线段成角的直线上运动，或者说点G的运动轨迹是一条经过点P且与夹角大小为的直线，即图中的直线，
作，垂足为，
此时，延长、交于点K，过点P作，垂足为R，
过点作，垂直为T，如图：

是等边三角形，
，且，
，
，
，且，
，
，
，
，且，
设，则，
，
，
，
在中，，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，且，
，
，
延长到点，使，即点和点关于直线对称，连接，交于点，此时，的周长为，即的周长最小．
作，，垂足分别为和，过点作，垂足为，交于点，如图所示．

，
设，则，，，，
由得
，即，解得：，
∴，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角直角三角形边的关系，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，四点共圆，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握等腰直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键．