2022-2023学年度重庆市沙坪坝区第一中学校九年级上学期开学数学试题

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2022-2023学年重庆一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡中对应的方框涂黑
1. 下列中国传统文化图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、找不到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题；
B、找不到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题；
C、找不到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题；
D、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 使函数有意义的自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠1且x≠0 B. x≠1 C. x＞1 D. x＜1
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵函数有意义，
∴，
即．
故选B．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．
3. 麻疹病毒，属副黏病毒，呈球形，冬春季节出来发作，直径约米．米用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到 ，然后将其代入到中求解即可．
【详解】解：将 代入 得：
所以
所以
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角互补
B. 有一组邻边相等的四边形为菱形
C. 矩形的对角线相等且互相垂直
D. 四个内角相等的四边形为矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 平行四边形的对角相等，故该选项不正确，不符合题意；
B. 有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故该选项不正确，不符合题意；
C. 矩形的对角线相等且互相平分，故该选项不正确，不符合题意；
D. 四个内角相等的四边形为矩形，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
6. 估计的值在（ ）
A. 4到5之间 B. 5到6之间 C. 6到7之间 D. 7到8之间
【答案】B
【解析】
【分析】先进行二次根式的混合运算，然后再估算结果的值即可解答．
【详解】解：
=
=

∵
∴
∴
∴
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，把根号外的数移到根号内然后再进行估算是解题的关键．
7. 如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OA'∶AA'＝1∶2，则△A'B'C'的周长与△ABC的周长比是（ ）

A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 4∶9
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似变换的概念得到A′B′∥AB，△A′B′C′∽△ABC，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵OA′：A′A=1：2，
∴OA′：OA=1：3，
∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴A′B′∥AB，△A′B′C′∽△ABC，
∴△OA′B′∽△OAB，
∴，
∴△A′B′C′的周长与△ABC的周长比为1：3，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应边平行是解题的关键．
8. 放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了a千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了b千米（b＜a），再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】分四段看图象，然后根据每段图象大致位置进行判断．
【详解】解：A、乐乐原路原速返回，图象与原来的图象倾斜度相同，所以A选项不符合题意；
B、停下来闲聊了一会，表明中间有一段图象与横轴平行，所以B选项不符合题意；
C、停下来闲聊了一会，又沿原路原速返回了b千米，由于b＜a，所以没回到出发地，图象与横轴没交点，所以C选项不符合题意；
D、先前进了a千米，对应的图象为正比例函数图象；停下来闲聊了一会，对应的图象为横轴平行的线段；沿原路原速返回了b千米（b＜a），对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而减小且与横轴没交点；掉头沿原方向加速行驶，对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而增大，并且图象更陡，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象：利用函数图象能直观地反映两变量的变化情况．
9. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，FC＝2，则AB的长为（ ）

A. 2 B. 4 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】连接OB，先证△AOE≌△COF，得到OE=OF，OA=OC，得到OA=OB=OC ，求得∠ABO＝∠BAC=∠FBO＝∠FBC=30°，根据直角三角形的性质，得到BF=BE=4，从而得到AB=BE+AE=6．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AE=CF，BE=BF，

∴AE∥CF，∠ABC＝∠BCF＝90°，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∴OA=OB=OC ，BO⊥EF，
∴∠ABO＝∠BAC=∠FBO，设∠ABO=x°，
∵∠BEF＝2∠BAC，
∴∠BEF＝2x，
∴2x+x=90°，
解得x=30°，
∴∠ABF=60°，
∴∠FBC=30°，
∵CF=2，
∴BF=BE=4，
∴AB=BE+AE=6，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
10. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.
【详解】把x=1代入得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入得：y=,
∴B(2, ),
∵AC//BD// y轴,
∴C(1,k),D(2,)
∴AC=k-1,BD=-，
∴S△OAC=（k-1）×1,
S△ABD= (-)×1,
又∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3;
故答案为B.
【点睛】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
11. 如果关于x分式方程的解为整数，且关于y的不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先解分式方程，根据分式方程有整数解求解的值，再根据一元一次不等式组有解，求解的取值范围，从而可得答案.
【详解】解：


关于x的分式方程的解为整数，
则
或
解得：或或或
又 则 即

所以或或

由①得：
由②得：
关于y的不等式组有解，


综上：或
符合条件的所有整数a的和为
故选A
【点睛】本题考查的是分式方程的整数解，根据一元一次不等式组有解求解参数的取值范围，掌握“解分式方程及分式方程的整数解的含义，一元一次不等式组有解的含义”是解本题的关键.
12. 有依次排列的3个整式：x，x+7，x﹣2，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：x，7，x+7，﹣9，x﹣2，则称它为整式串1；将整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此类推．通过实际操作，得出以下结论：
①整式串2为：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2；
②整式串3共17个整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2021所有整式的和为3x﹣4037；
上述四个结论正确的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加减运算法则进行计算，从而作出判断．
【详解】解：①整式串2为：x，7﹣x，7，x，x+7，﹣x﹣16，﹣9，x+7，x﹣2，故①正确；
②整式串3为9+8=17，共17个整式，故②正确；
整式串1的和为：
整式串2和为：
整式串3的和为：
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2,故③正确
……
整式串n的和为：
④整式串2021的所有整式的和为=3x﹣4037，故④正确，
故选：D
【点睛】本题考查了整式加减，正确的计算是解题的关键．
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡中对应的横线上
13. 计算：______．
【答案】6
【解析】
【分析】应用负整数指数幂和开平方运算的法则即可求解．
【详解】解：
=
=6
故答案为：6
【点睛】考查了负整数指数幂、算术平方根的运算法则，熟练掌握运算法则是正确解答的关键．
14. 现有3张分别标有数字：－1、0、2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任抽一张，将该卡片上的数字记为点C的横坐标a，不放回，再抽取一张，将该卡片上的数字记为点C的纵坐标b，则点C落坐标轴上的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可列表法进行求解概率．
【详解】解：由题意可得如下表格：

-1
0
2
-1
/
（0，-1）
（2，-1）
0
（-1，0）
/
（2，0）
2
（-1，2）
（0，2）
/
∵一共有6种可能，而点C落在坐标轴上的情况有4种，
∴点C落坐标轴上的概率为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键．
15. 如图，在三角形中，，，，点、点分别为线段、上的点，连接．将沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 __．

【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，由勾股定理得出，设，利用含30度角的直角三角形的性质得出，，利用折叠的性质得出，，再由相似三角形的判定和性质及图中线段间的数量关系求解即可．
【详解】解：过点作于点，

，，，
，
设，
，
，，
由折叠得：，
，
∵，
，
，
，
解得：，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点并结合图形求解是解题关键．
16. 新年期间，各大超市准备了各种新年礼盒．某超市推出甲、乙、丙三种礼盒，均由、、三种糖果组成．已知每种礼盒的成本分别为盒中、、三种糖果的成本之和，且盒子的成本忽略不计．每盒甲分别装、、三种糖果4斤、2斤、3斤，每盒乙分别装、、三种糖果2斤、4斤、6斤．每盒甲的成本比每盒乙低，每盒乙的利润率为25%．每盒甲比每盒乙的售价低20%．每盒丙在成本上提高50%标价后打八折销售，每盒丙的获利为每斤成本的3.2倍．当销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，则销售的总利润率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设、、三种糖果的成本分别为元/斤，分别表示出甲、乙礼盒的成本，进而根据每盒甲的成本比每盒乙低，表示出的关系，化简可得甲、乙的成本分别为，根据每盒乙的利润率为25%，每盒甲比每盒乙的售价低20%，可得甲乙的售价，根据每盒丙在成本上提高50%标价后打八折销售，每盒丙的获利为每斤成本的3.2倍，可得丙的成本与利润，进而根据销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为时，根据售价减进价比上成本即可求得利润率．
【详解】解：设、、三种糖果的成本分别为元/斤，
则甲种礼盒的成本为：元/盒，
则乙种礼盒的成本为：元/盒，
每盒甲的成本比每盒乙低，
，
整理得，
甲种礼盒的成本为：元/盒，乙种礼盒的成本为：元/盒，
每盒乙的利润率为25%，
乙的售价为元/盒，
每盒甲比每盒乙的售价低20%，
甲的售价为元/盒，
设丙的成本为元/盒，则，
解得：，
销售甲、乙、丙三种礼盒的数量之比为，
设甲、乙、丙三种礼盒的数量分别为盒，
销售的总利润率为
故答案为：
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，掌握公式“售价减进价比上成本等于利润率”是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应位置上.
17. 计算：
（1）用公式法解一元二次方程：
（2）化简：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先判断三项系数，再求解 再利用求根公式解方程即可；
（2）先计算括号内的分式的加法运算，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果.
【小问1详解】
解：
则


即
【小问2详解】
解：



【点睛】本题考查的是分式的加减乘除混合运算，利用公式法解一元二次方程，熟练分式的混合运算的运算顺序与掌握利用公式法解一元二次方程的步骤是解本题的关键.
18. 如图，AC为矩形ABCD的对角线，．

（1）尺规作图：作AC的垂直平分线，垂足为点O，交AD于点E，交BC于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连结AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，．
∵EF平分AC，
∴________．
∴________．
∴________．
又∵，
∴四边形AFCE是________．
又∵，
∴四边形AFCE是菱形．
【答案】（1）详见解析；
（2）；；CF；平行四边形．
【解析】
【小问1详解】
（1）利用尺规作出线段AC的垂直平分线EF即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可完成证明．
如图，直线EF即为所求；
【小问2详解】
证明：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO．
∵EF平分AC，
∴AO=CO，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．
故答案为：AO=CO，△COF（ASA），CF，平行四边形，
【点睛】本题考查作垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，已知点，点B的纵坐标为．

（1）求一次函数与反比例函数解析式，并在网格中直接画出它们的图像（不需列表）；
（2）连接OA，OB，求的面积；
（3）根据函数图像，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；图像见解析；
（2）3； （3）或．
【解析】
【分析】（1）根据反比例函数y=的图像经过点A（1，4），求出m的值，得出反比例函数的解析式，从而求出点B的坐标，再根据一次函数y=kx+b的图像经过点A和点B，求出k和b的值，得出一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式可得答案；
（3）根据函数的图像和交点坐标即可求得．
【小问1详解】
解：∵双曲线过点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
∵点B在双曲线上，
∴，即，
∴．
∵点，在直线AB上，
∴
解得
∴一次函数的解析式为．
函数图像如答图所示．
【小问2详解】
设AB与x轴交于点C，
∵，当时，，
∴，，
∴．
【小问3详解】
根据图像可知：不等式kx+b＜的解集为：x＜-2或0＜x＜1．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是根据所给的条件得出B点的坐标，求出函数的解析式．注意运用数形结合的思想．
20. 据应急管理部网站消息，2021年，我国自然灾害形势复杂严峻，洪水、地震等不仅给人们的财产带来巨大损失，更是威胁着人们的生命安全．某校组织了一场关于防自然灾害的知识讲座，并在讲座后进行了满分为100分的“防自然灾害知识测评”，为了了解学生的测评情况，学校在七、八年级中分别随机抽取了50名学生的分数进行整理分析，已知分数x均为整数，且分为A，B，C，D，E五个等级，分别是：A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70，E：0≤x＜60．
并给出了部分信息：
【一】七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%，
八年级C等级中最低的10个分数分别为：70，70，72，73，73，73，74，74，75，75．
【二】两个年级学生防自然灾害知识测评分数统计图：

【三】两个年级学生防自然灾害知识测评分数样本数据的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
七年级
76
75
73
八年级
76
a
72

（1）直接写出a，m的值，并补全条形统计图；
（2）根据以上数据，你认为在此次测评中，哪一个年级的学生对防自然灾害知识掌握较好？请说明理由（说明一条理由即可）；
（3）若分数不低于80分表示该生对防自然灾害知识掌握较好，且该校七年级有1800人，八年级有1700人，请估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数．
【答案】（1）a＝74，m＝16；补全条形图见解析
（2）七年级的学生对防自然灾害知识掌握较好，理由见解析
（3）估计该校七、八年级所有学生中，对防自然灾害知识掌握较好的学生人数是1336人
【解析】
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据、表格中的数据可以分别得到a、m的值，根据七年级D等级的学生人数占七年级抽取人数的20%求出七年级D等级的学生人数，再求出E等级的学生人数，即可补全条形统计图；
（2）根据表格中的数据，由中位数的定义写出即可；
（3）分别求出该校七、八年级不低于80分的人数，再相加即可求解．
【小问1详解】
解：（1）由题干数据可知a＝（74+74）÷2＝74，
（1﹣32%﹣32%﹣4%）÷2＝16%，
∴m＝16，
七年级D等级的学生人数为：50×20%＝10（人），E等级的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣10＝2（人），
补全条形统计图如图：

答：a＝74，m＝16；
【小问2详解】
解：七年级的学生对近视防控知识掌握较好．理由如下：
虽然七、八年级的平均数、众数相同，但是七年级的中位数比八年级的高，因此七年级的成绩较好；
【小问3详解】
解：1800×+1700×2×16%
＝792+544
＝1336（人）．
答：估计该校七、八年级所有学生中，对近视防控知识掌握较好的学生人数是1336人．
【点睛】本题考查用样本估计总体、统计图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 助力上海疫情抗击战，爱心蔬菜送上门．志愿者将青菜与土豆打包成爱心蔬菜包，在当地封控小区进行“免费送蔬菜”活动，每个爱心蔬菜包中青菜比土豆多3斤，第一天共送出300个爱心蔬菜包，青菜与土豆共送出2100斤．
（1）求每个爱心蔬菜包中青菜和土豆各多少斤？
（2）第二天经过紧急调运，每个爱心蔬菜包中青菜比第一天多1斤，土豆比第一天多m斤，送出的蔬菜包个数比第一天多100m个，结果第二天送出的青菜比土豆多1200斤，求m的值．
【答案】（1）每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤；
（2）
【解析】
【分析】（1）设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，根据等量关系式：青菜-土豆=3斤，300个爱心蔬菜包中青菜+土豆=2100斤，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据等量关系式：第二天送出的青菜-土豆=1200斤．
【小问1详解】
解：设每个爱心蔬菜包中青菜有x斤，土豆有y斤，
根据题意，得，解得：，
答：每个爱心蔬菜包中青菜有5斤，土豆有2斤．
【小问2详解】
根据题意，得，
解得（舍去），，
∴．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
22. 如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，在的正东方向．有一艘渔船在点处，从处测得渔船在北偏西的方向，从处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．

（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从测得渔船在北偏西的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在82分钟之内到达C处？（参考数据：）
【答案】（1）观测站A，B之间的距离为（+）海里
（2）可以在82分钟内到达C处
【解析】
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD＋AD＝AB，即可求解；
（2）过点作于点．先解Rt△ABF，得出BF的长，再解Rt△BCF，得出BC的长，从而求解．
【小问1详解】
如图，过点作于点，
∴．
在Rt△PBD中，，
∴．
∴PD=海里．
∴∠BPD=90°-∠PBD=45°．
∴BD=PD=海里．
在Rt△ADP中，，
∴．
海里．
∴AB=AD+BD=（+）海里．

答：观测站A，B之间的距离为（+）海里；
【小问2详解】
如图，过点作于点．∠BFC=∠BFA=90°．
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=（）海里．
由题意，．
∴∠C=180°-∠ABC-∠BAC=45°．
在Rt△BCF中，，
∴BC=BF=（）海里．
补给船从B到C的航行时间为：分钟．
∴可以在82分钟内到达C处.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23. 如果一个自然数M能分解成A×B，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”，例如：
∵2838＝43×66，4＋6＝10，3＋6＝9，∴2838是“十全九美数”；
∵391＝23×17，2＋1≠10，∴391不是“十全九美数”．
（1）判断2100和168是否是“十全九美数”?并说明理由；
（2）若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为A×B，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M．
【答案】（1）2100是“十全九美数” ， 168不是“十全九美数”，理由见解析；
（2）满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164．
【解析】
【分析】（1）根据“十全九美数”的定义直接判定即可；
（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，得出S（M）=19-2n，T（M）=2m-1，当能被5整除时，设值为k，再分类进行讨论即可求解．
【小问1详解】
解：2100是“十全九美数” ， 168不是“十全九美数”，理由如下：
∵2100=25×84，2＋8＝10，5＋4＝9，
∴2100是“十全九美数”；
∵168＝14×12，1＋1≠10，
∴168不是“十全九美数”；
【小问2详解】
解：设A的十位数字为m，个位数字为n，则A=10m+n，
∵M是“十全九美数”， M=A×B，
∴B的十位数字为10-m，个位数字为9-n，则B=10(10-m)+9-n=109-10m-n，
由题知：S（M）=m-n+10-m+9-n=19-2n，
T（M）=m+n-=2m-1，
根据题意令(k为整数)，
由题意知：1≤m≤9，0≤n≤9，且都为整数，
∴1≤19-2n≤19，1≤2m-1≤17，
当k=1时，=5，
∴或或，
解得或(舍去)或；
当k=2时，=10，
∴，解得(舍去)，
当k=3时，=15，
∴，解得，
∴A=10m+n=17，B=109-10m-n=92；
或A=10m+n=22，B=109-10m-n=87；
或A=10m+n=12，B=109-10m-n=97；
∵M=A×B=17×92=1564或M=A×B=22×87=1914或M=A×B=12×97=1164，
综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164．
【点睛】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“十全九美数”含义．
24. 在平面直角坐标系中，直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，．

（1）求直线的解析式；
（2）如图1，点D与点P关于x轴的对称，M、N为直线上两动点，且，求的最小值；
（3）如图2，点D与点P关于x轴的对称，点H为直线上一动点，在直线上是否存在一点F，使以E、F、H、P四点构成的四边形是以PE为边的平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点F的坐标为（，）或（，）
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标为，点D的坐标为 ，则，求出，即可得到答案；
（2）如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，可以推出当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，求出直线AP的解析式为，得到直线与直线BD平行，从而可证当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，由此求解即可；
（3）分当四边形EPHF为平行四边形时和当四边形EPFH是平行四边形时，两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线与直线：交于点B，直线交x轴于点A，交y轴于点C，直线交x轴于点E，交y轴于点D，
∴点A的坐标为，点D的坐标为 ，
∴，
∴，
∴直线的解析式为
【小问2详解】
解：如图所示，连接PN，过点M作，过点N作与MF交于点F，则四边形PMFN是平行四边形，
∴PM=NF，
∴PM+MN+ND=NF+MN+ND=3+NF+ND，
∴要使PM+MN+ND的值最小，即NF+ND的值最小，
∴当D、N、F三点共线时，NF+ND有最小值，联立
，
解得，
∴点B的坐标为，
由（1）可得点A的坐标为（-3，0），
∴，
∵P是D关于x轴的对称点，
∴点P的坐标为，
设直线AP的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AP的解析式为，
∴直线与直线BD平行，
∴当D、N、F三点共线时，M与点A重合，N与点B重合，
∴，
∵，，
∴
【小问3详解】
解：设点F的坐标为（a，a）
当四边形EPHF为平行四边形时，
则，
∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为（，）；
同理当四边形EPFH是平行四边形时，
则，
∴，
∴点H的坐标为，
∴，
解得，
∴点F的坐标为（，）；
综上所述，点F的坐标为（，）或（，）


【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，两点距离公式，平行四边形的性质等等，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解．
25. 在等边中，点在边上，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

（1）如图1，点是的中点，点与点重合，连接．若，求的长；
（2）如图2，点在上且，求证：；
（3）如图3，，，且点与点不重合，连接．过点作的垂线交于点，连接、．将沿着翻折得到，连接．当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）3 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明，可得结论；
（2）由（1）启发构造等边三角形，在上取一点，使得，连接，，延长交于点．构造全等三角形进行证明即可；
（3）过点作交于点，连接，于点，在上取一点，使得．证明，推出，可得，设，则，，推出，勾股定理求出的最小值，即可得到结论．
【小问1详解】
解：，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2中，在上取一点，使得，连接，，延长交于点．

，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图3中，过点作交于点，连接，于点，在上取一点，使得．

，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
的周长，
当的周长最小时，的值最小，
，
，
，
，
点与重合时，与重合，
的面积．
【点睛】此题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．