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2022-2023学年度重庆市沙坪坝区南开中学校九年级上学期期中数学试题
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2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1. 下列各数中，最小的一个数是（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可得到答案．
【详解】解：因为，，
而，
所以，
所以其中最小的一个数是，
故选：A．
【点睛】此题考查有理数大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念进行判断即可．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键．
3. 下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C. 调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况 D. 调查重庆市空气质量情况
【答案】B
【解析】
【分析】对调查对象范围大，数量多，工作量大，具有破坏性，受客观条件限制的，应选择抽样调查，有A、C、D，对关系到安全性的，应采用普查，有B．
【详解】解：A．调查一批灯泡的使用寿命，数量多且具有破坏性，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，关系到“歼20”飞机的安全飞行，适合使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，人数多，工作量大，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查重庆市空气质量情况，调查的范围大，受客观条件限制，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了普查和抽样调查，解决问题的关键是熟练掌握普查和抽样调查的适用条件，根据调查对象范围大小，个体数量多少，是否具有破坏性，确定调查方式．
4. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，原式错误；
B、，原式错误；
C、，原式正确；
D、，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6. 如图，曲线表示某同学身高的增长速度（厘米/年）随年龄（岁）的变化情况，则该同学身高增长速度最快的年龄约为（ ）
A. 5.5岁 B. 6.5岁 C. 7岁 D. 10岁
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象的性质分析求解即可．
【详解】解：从图象可知，该同学身高增长速度最快的年龄约为10岁．
故选：D．
【点睛】此题考查了图象的性质，解题关键是正确分析图象．
7. 老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是 ，则符合题意的另一个方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹．再由题意：若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，列出另一个方程即可．
【详解】∵小南已列出一个方程是，
∴设老牛驮个包裹，小马驮个包裹．
由题意得：，
即符合题意的另一个方程为： ，
故选：D．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
8. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（ ）
A. 42 B. 52 C. 56 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：第①个图案中有个五角星，
第②个图案中有个五角星，
第③个图案中有个五角星，
第④个图案中有个五角星，
∴第n个图案中有个五角星，
当时，个五角星，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律．
9. 如图，在⊙O中，点C是上一点，且，若，则的度数是（ ）
A. B. C. 68° D. 66°
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的性质及等腰三角形的性质可求得的度数，由已知及弧与圆心角的关系可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握弧与圆心角的关系是本题的关键．
10. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：延长交于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解．
11. 若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 7 B. 9 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据x的一元一次不等式组有解，得到，再计算y的分式方程，得到，再根据y为整数，得到的所有取值，最后根据分式方程的性质，得到的最后取值，即可计算所有满足条件的整数a的值之和．
【详解】解：∵不等式
解得：，
∵不等式，
解得：，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
又∵关于y的分式方程的解是，，
∵y为整数，
∴或或或，
∵当a＝1时，方程无解，即，
∴且，
∴且，
又∵，
∴或，
所以所有满足条件的整数a的值之和为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组以及分式方程的解，理解分式方程的增根以及不等式组的解法是解题关键．
12. 有依次排列的两个整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），下列说法：
①第次操作后的整式串为，，，，﹣b，；
②第次操作后的整式串各项之和为；
③第次操作增加项与第次操作增加的项一定互为相反数．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），列举中有限次的结果，并进行对比，找到字母间的规律，即可求解．
【详解】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串，，；各项之和为；
第2次操作后得到整式串，，，；各项之和为；
第3次操作后得到整式串，，，，；各项之和为；
第4次操作后得到整式串，，，，，；各项之和为；故说法①错误；
第5次操作后得到整式串，，，，，，；各项之和为；
第6次操作后得到整式串，，，，，，，；各项之和；
第7次操作后得到整式串，，，，，，，，；各项之和为；•••
所以，各项之和以次操作为一个周期依次循环．
∵，
∴第次操作后的整式串各项之和与第次操作后的整式串各项之和相同，为，故说法②正确；
∵，
∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为，
∴第次操作增加的项为．
∵，
∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为，
∴第次操作增加的项为，
∴第次操作增加的项与第次操作增加的项一定互为相反数，故说法③正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查数字（字母）规律问题，利用列举法把有限次的结果表示出来，找到字母见的规律，是解题的关键．
二、填空题（本大愿共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在思卡中对应的惯线上。
13. _____．
【答案】11
【解析】
【分析】根据负整指数幂和算数平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了负整指数幂和算数平方根，熟练掌握法则是解题的关键．
14. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
【答案】七
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
15. 有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出表格，可得共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：列表如下：
1
2
3
1
2
3
由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，
所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
16. 目前，新能源正处于快速发展阶段．某汽车厂6月份生产A，B，C三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为，充电速度之比为（假设充电速度是匀速的），月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6月份有所提升．优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，B、C两种型号汽车增加的电池容量之比为；同时，A型汽车充电速度增加了，且B，C两种型号的电池容量之比为，则A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由条件设三种型号的电动汽车充电时间、充电速度、汽车增加的电池容量，由A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，得关于所设量的方程式，再由优化后的充电速度及容量关系即可求得比值．
【详解】解：设A，B，C型号的电动汽车的充电时间分别为：，充电速度分别是b，，，
∴电池容量分别为：，，，
设B，C两种型号汽车增加的电池容量分别为，
∴，
解得，
设A型汽车增加的电池容量为x，
∵优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，
∴优化后的三种型号的电动汽车容量和为A型汽车优化后增加的电池容量的8倍
∴，
解得，
∴，
∵A型汽车充电速度增加了，
∴充电速度增加为：，
∴A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比，解含参量的一元一次方程，引入的量较多，有一定的难度，理解题意，恰当引入参量是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括轴助线），请将解答过程书马在答题卡中对应的位置上。
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别利用平方差公式及单项式与多项式的乘法展开，再合并同类项即可；
（2）分母分解因式，计算括号里的加法，最后算除法即可．
【小问1详解】
原式＝
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查了整式的乘法及分式的混合运算，关键是运算法则的运用，注意运算顺序．
18. 如图，四边形中，，点为对角线上一点．
（1）请用尺规完成基本作图：在四边形内部作，交于点，连接，（保留作图疲迹，不写作法）；
（2）根据（1）中所作图形，小南发现：若，则四边形是平行四边形．请补全如下的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ，
∵，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴（ ），，
∴，
∴ ．
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）作图见详解
（2），，全等三角形的对应角相等，．
【解析】
【分析】（1）分别以点，，，为圆心，以大于，大于长为半径画弧，分别交于点，，，，连接，分别交于于，，连接，，如图所示（见详解）即为所求图形，，是的垂直平分线，由此即可求解；
（2）因为，且由（1）中作图可知，，所以得到，由此可证明四边形是平行四边形，连接，，，然后根据平行四边形的性质，，，由此即可求证．
【小问1详解】
解：如图所示，
点，所在位置即为所求点的位置．
【小问2详解】
证明：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：，，全等三角形的对应角相等，．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，理解并掌握平行四边形性质是解题的关键．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位凰上，
19. 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
a
8
众数
9
b
方差
优秀率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数．
【答案】（1），，
（2）七年级的学生初赛成绩更好，理由见解析
（3）估计八年级进入复赛的学生为225人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图求得中位数、众数、优秀率；
（2）根据优秀率或方差比较即可求解；
（3）根据样本估计总体，用900乘以满分人数的占比即可求解．
【小问1详解】
解：（1）∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
∴中位数．
根据条形统计图可知八年级成绩的众数为．
八年级的优秀率是，
故答案为：；
【小问2详解】
根据表中可得，七、八年级的优秀率分别是：、．七年级成绩的方差较小，
故七年级的的学生初赛成绩更好．
【小问3详解】
（人），
答：估计八年级进入复赛的学生为人．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，方差的意义，样本估计总体，从统计图获取信息是解题的关键．
20. 如图，反比例函数与一次函数交于两点．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）若点A关于x轴的对称点为点D，求的面积．
【答案】（1）；图象见解析
（2）或
（3）6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；
（2）由图象可知，关于x的不等式的解集为或，即可；
（3）根据点A关于x轴的对称点为点D，可得，再由三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
把A、B的坐标代入得∶
，
解得，
∴一次函数表达式为，
在网格中画出一次函数的图象如图：
【小问2详解】
解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
21. 车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱．某超市准备花20000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进100斤．
（1）车厘子的实际进价为每斤多少元？
（2）若该品种的车厘子市场售价为80元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加10斤，超市决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9000元？
【答案】（1）车厘子的实际进价为每斤40元；
（2）售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
【解析】
【分析】（1）设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：车厘子的实际进价为每斤40元；
【小问2详解】
解：设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，
根据题意得：，
化简整理得：，
解得，
答：售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键正确分析题目中的等量关系并列方程求解．
22. 如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内．
（1）求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73）
（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
【答案】（1）的高度约为85米
（2）小开能在闭馆前赶到图书馆
【解析】
【分析】（1）如图，作于F，作，解直角三角形即可；
（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．
【小问1详解】
如图，作于F，作，交延长线于点G，
得矩形，
∴，
根据题意可知：米，，米，，
∴米，
∴（米），
∴米，
∴米，
∴（米），
答：BC的高度约为85米；
【小问2详解】
根据题意得：（秒），
∵，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23. 把一个四位数M的各个数位上的数字相加的和记为k，把M的千位数字与个位数字的乘积减去百位数字与十位数字的乘积所得的差记为n，若k恰好是n的整数倍，则称M是“k阶行列和倍数”，为M的“行列商”．
例如：，，，＝5， 2143是“10阶行列和倍数”，“行列商”为5．
又如：，，，不是整数， 1738不是“k阶行列和倍数”．
（1）判断7328，9241是否为“k阶行列和倍数”，并说明理由；
（2）若M为“15阶行列和倍数”，M“行列商”恰好是1，M的千位与百位数字之和能被9整除，求所有满足条件的M．
【答案】（1）7328不是“k阶行列和倍数”；9241是“10阶行列和倍数”，理由见解析
（2）7233或4515
【解析】
【分析】（1）对照题干中的例子进行验证即可得知答案．
（2）根据定义进行逆向推导，利用M为“15阶行列和倍数”，M的千位与百位数字之和能被9整除，得到M的千位与百位数字之和为9，十位与个位数字之和为6，根据M的“行列商”恰好是1可得所有满足条件的M．
【小问1详解】
解：当时，
，，不是整数
7328不是“k阶行列和倍数”
当时
，，
9241是“k阶行列和倍数”
【小问2详解】
解： M为“15阶行列和倍数”，M的千位与百位数字之和能被9整除，
M的千位与百位数字之和为9，十位与个位数字之和为6，
M的“行列商”恰好是1，，，
所有满足条件的M为7233或4515．
【点睛】此题以新定义的形式考查了数的整除规律，读懂材料、正确理解“k阶行列和倍数”的含义是解题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为第四象限的抛物线上一动点，连接，与相交于点E，设点D的横坐标为t，，求K与t的函数关系，及K的最大值和此时点D的坐标；
（3）在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F为点D的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）
（2），K的最大值为．此时
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先求出点A、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）分别过点B，D作y轴的平行线，交直线于点Q，P，先求得点B的坐标，进而求得、的长，根据即可求解；
（3）先求出平移后抛物线的解析式为，设点M的纵坐标为y，则，进而分两种情况讨论求解点N的坐标，①当为边时，②当为对角线时．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（8，0），．
将A，C的坐标代入抛物线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线的解析式为：．
令，解得或，
∴．
如图，分别过点B，D作y轴的平行线，交直线于点Q，P，
∴，
∵点D的横坐标为t，
∴D（t，），，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴
∵，
∴当时，K的最大值为．此时．
【小问3详解】
解：∵，
∴直线BD的解析式为：．
令，
解得，
∴，
∵点F为点D的对应点，
∴．
由平移可知，新抛物线的解析式为：．
∴抛物线的对称轴为：直线．
设点M的纵坐标为y，则．
若以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则需要分以下两种情况：
①当为边时，则，
∴或．
∴或，
∴或，
解得或；
∴或．
②当为对角线时，则过的中点，
∵，
∴，
∴，
解得．
∴．
综上，若以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数，一次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数的图像与性质以及平行四边形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
25. 如图1，等腰中，，点D，E，F分别为边上的点．
（1）连接相交于点G，连接并延长交的延长线于点H．若，求的度数；
（2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段绕点B顺时针旋转90°得线段，连接．求证：；
（3）如图3，若D为中点，，连接，点M为中点，点K为线段上一点，将沿着直线翻折至所在平面内得到，连接，在点E、F运动的过程中，当线段取最小值且时，请直接写出的值．
【答案】（1）45° （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和与外角的性质，导角即可；
(2) 作于N，于M，于Q，证明，得到是等腰直角三角形，以及是等腰直角三角形，再进行线段的转化即可得证；
（3）先确定取得最小值和的图形，再进行计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图2，作于N，于M，于Q，连接．
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵且，
∴，
∴D、G、B、P四点共圆，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图3，连接、．
则，
当且仅当C、M、D三点共线时，取得最小值．
此时，若，如图4，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何综合题，主要考查了三角形的内角和与外角的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形性三边关系、勾股定理等重要知识点，解题的关键是，通过相关知识点进行角度和线段的转化；难点在于添加辅助线证明三角形全等．属于中考压轴题，难度较大．
2022-2023学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1. 下列各数中，最小的一个数是（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可得到答案．
【详解】解：因为，，
而，
所以，
所以其中最小的一个数是，
故选：A．
【点睛】此题考查有理数大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题关键．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据此概念进行判断即可．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是关键．
3. 下列问题中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A. 调查一批灯泡的使用寿命 B. 调查一架“歼20”飞机各零部件的质量
C. 调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况 D. 调查重庆市空气质量情况
【答案】B
【解析】
【分析】对调查对象范围大，数量多，工作量大，具有破坏性，受客观条件限制的，应选择抽样调查，有A、C、D，对关系到安全性的，应采用普查，有B．
【详解】解：A．调查一批灯泡的使用寿命，数量多且具有破坏性，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．调查一架“歼20”飞机各零部件的质量，关系到“歼20”飞机的安全飞行，适合使用全面调查，因此选项B符合题意；
C．调查全国中学生对“天宫课堂”的了解情况，人数多，工作量大，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查重庆市空气质量情况，调查的范围大，受客观条件限制，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了普查和抽样调查，解决问题的关键是熟练掌握普查和抽样调查的适用条件，根据调查对象范围大小，个体数量多少，是否具有破坏性，确定调查方式．
4. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为．若的周长为4，则的周长是（ ）
A. 4 B. 6 C. 9 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据周长之比等于位似比计算即可．
【详解】设的周长是x，
∵ 与位似，相似比为，的周长为4，
∴4：x=2：3，
解得：x=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、，原式错误；
B、，原式错误；
C、，原式正确；
D、，原式错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6. 如图，曲线表示某同学身高的增长速度（厘米/年）随年龄（岁）的变化情况，则该同学身高增长速度最快的年龄约为（ ）
A. 5.5岁 B. 6.5岁 C. 7岁 D. 10岁
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象的性质分析求解即可．
【详解】解：从图象可知，该同学身高增长速度最快的年龄约为10岁．
故选：D．
【点睛】此题考查了图象的性质，解题关键是正确分析图象．
7. 老牛和小马各驮几个包裹一同赶路，老牛驮的包裹数比小马的多2个，若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，问老牛和小马各驮了几个包裹？小南准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是 ，则符合题意的另一个方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹．再由题意：若从小马驮的包裹中拿下1个包裹给老牛，则老牛驮的包裹数是小马驮的包裹数的2倍，列出另一个方程即可．
【详解】∵小南已列出一个方程是，
∴设老牛驮个包裹，小马驮个包裹．
由题意得：，
即符合题意的另一个方程为： ，
故选：D．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
8. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有3个五角星，第②个图案中有7个五角星，第③个图案中有12个五角星，第④个图案中有18个五角星，按此规律排列下去，则第⑧个图案中五角星的个数为（ ）
A. 42 B. 52 C. 56 D. 63
【答案】B
【解析】
【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律求解即可．
【详解】解：第①个图案中有个五角星，
第②个图案中有个五角星，
第③个图案中有个五角星，
第④个图案中有个五角星，
∴第n个图案中有个五角星，
当时，个五角星，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是找到图形的变化规律．
9. 如图，在⊙O中，点C是上一点，且，若，则的度数是（ ）
A. B. C. 68° D. 66°
【答案】A
【解析】
【分析】由圆的性质及等腰三角形的性质可求得的度数，由已知及弧与圆心角的关系可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，掌握弧与圆心角的关系是本题的关键．
10. 如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】延长交于H，利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质证明，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图：延长交于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定理求解．
11. 若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A. 7 B. 9 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据x的一元一次不等式组有解，得到，再计算y的分式方程，得到，再根据y为整数，得到的所有取值，最后根据分式方程的性质，得到的最后取值，即可计算所有满足条件的整数a的值之和．
【详解】解：∵不等式
解得：，
∵不等式，
解得：，
∵不等式组有解，
∴，
∴，
又∵关于y的分式方程的解是，，
∵y为整数，
∴或或或，
∵当a＝1时，方程无解，即，
∴且，
∴且，
又∵，
∴或，
所以所有满足条件的整数a的值之和为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组以及分式方程的解，理解分式方程的增根以及不等式组的解法是解题关键．
12. 有依次排列的两个整式，，第1次操作后得到整式串，，；第2次操作后得到整式串，，，；其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），下列说法：
①第次操作后的整式串为，，，，﹣b，；
②第次操作后的整式串各项之和为；
③第次操作增加项与第次操作增加的项一定互为相反数．
其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】其操作规律为：每次操作增加的项为前两项的差（后一项前一项），列举中有限次的结果，并进行对比，找到字母间的规律，即可求解．
【详解】解：由题意可得，第1次操作后得到整式串，，；各项之和为；
第2次操作后得到整式串，，，；各项之和为；
第3次操作后得到整式串，，，，；各项之和为；
第4次操作后得到整式串，，，，，；各项之和为；故说法①错误；
第5次操作后得到整式串，，，，，，；各项之和为；
第6次操作后得到整式串，，，，，，，；各项之和；
第7次操作后得到整式串，，，，，，，，；各项之和为；•••
所以，各项之和以次操作为一个周期依次循环．
∵，
∴第次操作后的整式串各项之和与第次操作后的整式串各项之和相同，为，故说法②正确；
∵，
∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为，
∴第次操作增加的项为．
∵，
∴第次操作后的整式串各项之和为，而第次操作后的整式串各项之和为，
∴第次操作增加的项为，
∴第次操作增加的项与第次操作增加的项一定互为相反数，故说法③正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查数字（字母）规律问题，利用列举法把有限次的结果表示出来，找到字母见的规律，是解题的关键．
二、填空题（本大愿共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在思卡中对应的惯线上。
13. _____．
【答案】11
【解析】
【分析】根据负整指数幂和算数平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：11．
【点睛】本题考查了负整指数幂和算数平方根，熟练掌握法则是解题的关键．
14. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
【答案】七
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
15. 有三张完全一样正面分别写着数字1，2，3的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的数字后放回洗匀，再从中抽取一张，则抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，列出表格，可得共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：列表如下：
1
2
3
1
2
3
由表知，共有9种等可能结果，其中数字之和为偶数的共有5种结果，
所以抽取的两张卡片上的数字和为偶数的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
16. 目前，新能源正处于快速发展阶段．某汽车厂6月份生产A，B，C三种型号的新能源电动汽车，其电池的充电时间之比为，充电速度之比为（假设充电速度是匀速的），月该汽车厂研发团队对这三种型号的汽车电池性能做了优化，电池容量和充电速度均比6月份有所提升．优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，B、C两种型号汽车增加的电池容量之比为；同时，A型汽车充电速度增加了，且B，C两种型号的电池容量之比为，则A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】由条件设三种型号的电动汽车充电时间、充电速度、汽车增加的电池容量，由A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，得关于所设量的方程式，再由优化后的充电速度及容量关系即可求得比值．
【详解】解：设A，B，C型号的电动汽车的充电时间分别为：，充电速度分别是b，，，
∴电池容量分别为：，，，
设B，C两种型号汽车增加的电池容量分别为，
∴，
解得，
设A型汽车增加的电池容量为x，
∵优化电池性能后，A型汽车增加的电池容量占优化后三种汽车电池容量和的，
∴优化后的三种型号的电动汽车容量和为A型汽车优化后增加的电池容量的8倍
∴，
解得，
∴，
∵A型汽车充电速度增加了，
∴充电速度增加为：，
∴A型汽车电池优化前与优化后的充电时间之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比，解含参量的一元一次方程，引入的量较多，有一定的难度，理解题意，恰当引入参量是解题的关键．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括轴助线），请将解答过程书马在答题卡中对应的位置上。
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别利用平方差公式及单项式与多项式的乘法展开，再合并同类项即可；
（2）分母分解因式，计算括号里的加法，最后算除法即可．
【小问1详解】
原式＝
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题考查了整式的乘法及分式的混合运算，关键是运算法则的运用，注意运算顺序．
18. 如图，四边形中，，点为对角线上一点．
（1）请用尺规完成基本作图：在四边形内部作，交于点，连接，（保留作图疲迹，不写作法）；
（2）根据（1）中所作图形，小南发现：若，则四边形是平行四边形．请补全如下的证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴ ，
∵，
∴，即，
∵ ，
∴，
∴（ ），，
∴，
∴ ．
∴四边形是平行四边形．
【答案】（1）作图见详解
（2），，全等三角形的对应角相等，．
【解析】
【分析】（1）分别以点，，，为圆心，以大于，大于长为半径画弧，分别交于点，，，，连接，分别交于于，，连接，，如图所示（见详解）即为所求图形，，是的垂直平分线，由此即可求解；
（2）因为，且由（1）中作图可知，，所以得到，由此可证明四边形是平行四边形，连接，，，然后根据平行四边形的性质，，，由此即可求证．
【小问1详解】
解：如图所示，
点，所在位置即为所求点的位置．
【小问2详解】
证明：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等），，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
故答案为：，，全等三角形的对应角相等，．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，理解并掌握平行四边形性质是解题的关键．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位凰上，
19. 某校为丰富同学们的课余生活，全面提高科学素养，提升思维能力和科技能力，开展了“最强大脑”邀请赛，现从七、八年级中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（初赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）统计、整理如下：
七年级抽取的学生的初赛成绩：
6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
七、八年级抽取的学生的初赛成绩统计表：
年级
七年级
八年级
平均数
中位数
a
8
众数
9
b
方差
优秀率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为七、八年级学生在“最强大脑”邀请赛中，哪个年级的学生初赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校八年级有900名学生参加初赛，规定满分才可进入复赛，请估计八年级进入复赛的学生人数．
【答案】（1），，
（2）七年级的学生初赛成绩更好，理由见解析
（3）估计八年级进入复赛的学生为225人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图求得中位数、众数、优秀率；
（2）根据优秀率或方差比较即可求解；
（3）根据样本估计总体，用900乘以满分人数的占比即可求解．
【小问1详解】
解：（1）∵七年级的成绩：6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10，10．
∴中位数．
根据条形统计图可知八年级成绩的众数为．
八年级的优秀率是，
故答案为：；
【小问2详解】
根据表中可得，七、八年级的优秀率分别是：、．七年级成绩的方差较小，
故七年级的的学生初赛成绩更好．
【小问3详解】
（人），
答：估计八年级进入复赛的学生为人．
【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，方差的意义，样本估计总体，从统计图获取信息是解题的关键．
20. 如图，反比例函数与一次函数交于两点．
（1）求一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）若点A关于x轴的对称点为点D，求的面积．
【答案】（1）；图象见解析
（2）或
（3）6
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用两点法画出函数图象，即可求解；
（2）由图象可知，关于x的不等式的解集为或，即可；
（3）根据点A关于x轴的对称点为点D，可得，再由三角形的面积公式，即可求解．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
把A、B的坐标代入得∶
，
解得，
∴一次函数表达式为，
在网格中画出一次函数的图象如图：
【小问2详解】
解：由图象可知，关于x的不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，三角形的面积，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
21. 车厘子，其含铁量是水果之首，它营养丰富，深受消费者喜爱．某超市准备花20000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了8折，结果用同样的钱比预期多购进100斤．
（1）车厘子的实际进价为每斤多少元？
（2）若该品种的车厘子市场售价为80元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加10斤，超市决定将部分车厘子降价促销，售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利9000元？
【答案】（1）车厘子的实际进价为每斤40元；
（2）售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
【解析】
【分析】（1）设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：车厘子的实际进价为每斤40元；
【小问2详解】
解：设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利9000元，
根据题意得：，
化简整理得：，
解得，
答：售价定为70元时，可使促销部分的车厘子获利9000元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，解题的关键正确分析题目中的等量关系并列方程求解．
22. 如图，小开家所在居民楼，楼底C点的左侧30米处有一个山坡，坡角为，E点处有一个图书馆，山坡坡底到图书馆的距离为40米，在图书馆E点处测得小开家的窗户B点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内．
（1）求的高度；（结果精确到个位，参考数据：≈1．73）
（2）某天，小开到家后发现有资料落在图书馆，此时离图书馆闭馆仅剩5分钟，若小开在平地的速度为6m/s，上坡速度为4m/s，电梯速度为1．25m/s，等候电梯及上、下乘客所耽误时间共3分钟，请问小开能否在闭馆前赶到图书馆？
【答案】（1）的高度约为85米
（2）小开能在闭馆前赶到图书馆
【解析】
【分析】（1）如图，作于F，作，解直角三角形即可；
（2）根据题意，列算式计算出小开到图书馆所用时间即可．
【小问1详解】
如图，作于F，作，交延长线于点G，
得矩形，
∴，
根据题意可知：米，，米，，
∴米，
∴（米），
∴米，
∴米，
∴（米），
答：BC的高度约为85米；
【小问2详解】
根据题意得：（秒），
∵，
∴小开能在闭馆前赶到图书馆．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23. 把一个四位数M的各个数位上的数字相加的和记为k，把M的千位数字与个位数字的乘积减去百位数字与十位数字的乘积所得的差记为n，若k恰好是n的整数倍，则称M是“k阶行列和倍数”，为M的“行列商”．
例如：，，，＝5， 2143是“10阶行列和倍数”，“行列商”为5．
又如：，，，不是整数， 1738不是“k阶行列和倍数”．
（1）判断7328，9241是否为“k阶行列和倍数”，并说明理由；
（2）若M为“15阶行列和倍数”，M“行列商”恰好是1，M的千位与百位数字之和能被9整除，求所有满足条件的M．
【答案】（1）7328不是“k阶行列和倍数”；9241是“10阶行列和倍数”，理由见解析
（2）7233或4515
【解析】
【分析】（1）对照题干中的例子进行验证即可得知答案．
（2）根据定义进行逆向推导，利用M为“15阶行列和倍数”，M的千位与百位数字之和能被9整除，得到M的千位与百位数字之和为9，十位与个位数字之和为6，根据M的“行列商”恰好是1可得所有满足条件的M．
【小问1详解】
解：当时，
，，不是整数
7328不是“k阶行列和倍数”
当时
，，
9241是“k阶行列和倍数”
【小问2详解】
解： M为“15阶行列和倍数”，M的千位与百位数字之和能被9整除，
M的千位与百位数字之和为9，十位与个位数字之和为6，
M的“行列商”恰好是1，，，
所有满足条件的M为7233或4515．
【点睛】此题以新定义的形式考查了数的整除规律，读懂材料、正确理解“k阶行列和倍数”的含义是解题关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为第四象限的抛物线上一动点，连接，与相交于点E，设点D的横坐标为t，，求K与t的函数关系，及K的最大值和此时点D的坐标；
（3）在（2）中K取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移4个单位，点F为点D的对应点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）
（2），K的最大值为．此时
（3）或或
【解析】
【分析】（1）先求出点A、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）分别过点B，D作y轴的平行线，交直线于点Q，P，先求得点B的坐标，进而求得、的长，根据即可求解；
（3）先求出平移后抛物线的解析式为，设点M的纵坐标为y，则，进而分两种情况讨论求解点N的坐标，①当为边时，②当为对角线时．
【小问1详解】
解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（8，0），．
将A，C的坐标代入抛物线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：由（1）知，抛物线的解析式为：．
令，解得或，
∴．
如图，分别过点B，D作y轴的平行线，交直线于点Q，P，
∴，
∵点D的横坐标为t，
∴D（t，），，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴
∵，
∴当时，K的最大值为．此时．
【小问3详解】
解：∵，
∴直线BD的解析式为：．
令，
解得，
∴，
∵点F为点D的对应点，
∴．
由平移可知，新抛物线的解析式为：．
∴抛物线的对称轴为：直线．
设点M的纵坐标为y，则．
若以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则需要分以下两种情况：
①当为边时，则，
∴或．
∴或，
∴或，
解得或；
∴或．
②当为对角线时，则过的中点，
∵，
∴，
∴，
解得．
∴．
综上，若以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数，一次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数的图像与性质以及平行四边形的存在性问题，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
25. 如图1，等腰中，，点D，E，F分别为边上的点．
（1）连接相交于点G，连接并延长交的延长线于点H．若，求的度数；
（2）如图2，在（1）问的条件下，在平面内将线段绕点B顺时针旋转90°得线段，连接．求证：；
（3）如图3，若D为中点，，连接，点M为中点，点K为线段上一点，将沿着直线翻折至所在平面内得到，连接，在点E、F运动的过程中，当线段取最小值且时，请直接写出的值．
【答案】（1）45° （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据等边对等角，以及三角形的内角和与外角的性质，导角即可；
(2) 作于N，于M，于Q，证明，得到是等腰直角三角形，以及是等腰直角三角形，再进行线段的转化即可得证；
（3）先确定取得最小值和的图形，再进行计算即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
如图2，作于N，于M，于Q，连接．
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵且，
∴，
∴D、G、B、P四点共圆，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图3，连接、．
则，
当且仅当C、M、D三点共线时，取得最小值．
此时，若，如图4，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何综合题，主要考查了三角形的内角和与外角的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形性三边关系、勾股定理等重要知识点，解题的关键是，通过相关知识点进行角度和线段的转化；难点在于添加辅助线证明三角形全等．属于中考压轴题，难度较大．
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