第01讲 向量共线与基本定理-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第01讲 向量共线与基本定理【必备方法结论】共线向量定理:对空间任意两个向量与共线的充要条件是存在唯一实数,使. 共线向量定理的应用:若点,,互不重合,是,,三点所在平面上的任意一点,且满足,则,,三点共线.在中,是上的点,如果,则,其中,,知二可求一.如果是边上的中线,则. 共线向量的坐标表示:设,其中.向量共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.用坐标表示为,即消去,得.这就是说,向量 共线的充要条件是. 平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数, 使.若不共线,我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.  【典例剖析】类型一:定理法解决向量共线问题1．已知、是平面上的两个不共线向量，向量，，若，则实数（       ）A． B． C． D．2．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（       ）A． B． C． D． 3．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ，µ满足（       ）A． B． C． D． 4．(1)已知向量不共线,若,,,试证:三点共线.(2)设是两个不共线向量,已知,,,若三点共线,求的值.         类型二:坐标公式法解决向量共线问题1．已知向量，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（       ）A． B．C． D．3．已知向量，，.(1)求与共线的单位向量；(2)求满足的实数m，n的值；(3)若，求实数k的值.     4．已知向量，，，．(1)求；(2)是否存在实数，，使得；(3)若，求实数的值．(4)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．       类型三:巧用结论法解决向量共线问题1．如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（       ）A． B． C． D． 2．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（       ）A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，分别为，上的点，连接，交于点，已知且，若，则实数的值为（       ）A． B． C． D． 4．如图所示，△中，，，.线段相交于点.(1)用向量与表示及；(2)若，试求实数的值.     类型四:基底法解决向量基本定理问题1．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若，则（       ）A． B． C．1 D． 2．如图，在中，点M是上的点且满足，是上的点，且，设，则（       ）A． B．C． D． 3．若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（       ）A．， B．，C．， D．， 4．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，，若，，则（       ）A． B．C． D． 5．已知平行四边形中，若，，，则等于（       ）A． B． C．1 D．  类型五:坐标方程解决向量基本定理问题1．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，，与的夹角为45°.若 ，则（       ）A．2 B． C． D． 2．已知为的垂心，且，则角A的值为（       ）A． B．C． D．3．如图，在矩形中，为上一点，，若，则的值为（       ）A． B． C． D．1 4．原点O是内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝（       ）A．－ B．C．－ D．             【过关检测】一、单选题1．已知 是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有（　　）①；②；③ A．①② B．①③C．②③ D．①②③ 2．如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（       ）A． B． C． D． 3．如图，在梯形中，且，，，与交于点O，则（       ） A． B．C． D． 4．如图所示，四边形中，，，点、、分别为、、的中点，则向量可以表示为A． B．C． D． 5．如图，已知，，，，，若，则（       ）A． B． C． D． 6．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，则（       ）A． B． C． D．2 二、填空题7．设是平面内两个不共线的向量，，，，．若A、、三点共线，则的最小值是____. 8．已知向量，若，则______. 9．在中，，分别为边，上的点，，，与交于点，设，，则___________.（用，表示） 三、解答题10．设两个非零向量与不共线．（1）试证：起点相同的三个向量，，3﹣2的终点在同一条直线上；（2）求实数k，使得k+与2+k共线．   11．如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为. (1)用向量，表示；(2)用向量，表示，并求出和的值.    12．如图所示，在中，，，与相交于点，设，.（1）试用向量，表示；（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求的值.