第09讲 解三角形(判断三角形形状)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第09讲 判断三角形形状【必备知识】1.公式总结1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中       推论$2.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中,3.正弦定理变形及推广(1);(2)为的外接圆半径);(3)(R为的外接圆半径).4.三角形中内角的三角函数关系在 中,,则(1).(2)(3) (4)5.三角形中的边角关系(大边对大角,大角对大边).6.三角形面积公式  2.三角形解的形状判断三角形的形状, 应围绕三角形的边角关系进行思考, 看其是不是特殊三角形, 要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 依据已知条件中的边角关系进行判断时,主要有如下两条途径:(1) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断出三角形的形状.(2) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用"在 中, "在使用以上两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.    【典例剖析】类型一:化角为边判断三角形形状1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的形状（       ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【详解】由，可得，即则，又，则则的形状为钝角三角形故选：C2．已知a，b，c分别为△三个内角A，B，C的对边，且，则△是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【详解】由余弦定理得：，所以，整理得，当时，△是等腰三角形；当时，△是直角三角形.故选：D3．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（       ）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【详解】因的三个内角，而，则，又，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，所以是等边三角形.故选：B4．已知的三个内角、、满足，则的形状是______．【答案】直角三角形【详解】解：由二倍角公式，可化为1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin2C， 即sin2A+sin2C＝sin2B． 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2+c2＝b2． 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．故答案为：直角三角形5．在中，，则的形状为________（填“锐角三角形”、“钝角三角形”或“直角三角形“）【答案】钝角三角形【详解】因为，结合正弦定理得，设，则，所以,结合余弦定理，又，所以，即为钝角，所以为钝角三角形，故答案为：钝角三角形.6．在△中，已知，试判断△的形状.【答案】直角三角形【详解】由，，∴，结合已知条件知：，即，∴△为直角三角形.  类型二:化边为角判断三角形形状1．的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则为（       ）A．等腰非等边三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】C【详解】解：，所以.在中，，故，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：C．2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（       ）A．正三角形 B．等腰直角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【详解】解：由题，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：C.3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状为（       ）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由已知可得，即．由正弦定理得：．在中，，从而有，即．在中，，所以．由此得，故为直角三角形.故选：B.4．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，则的形状是______．【答案】等腰三角形或直角三角形【详解】在中，由余弦定理得：，所以可化为：.由正弦定理得：,所以.所以或，即或.所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.5．在中，若，则的形状是___________.【答案】直角三角形【详解】解：因为，所以，即，由于在中，，所以，因为，，所以，所以，即三角形为直角三角形.故答案为：直角三角形6．在中，已知，判断的形状．【答案】直角三角形或等腰三角形.【详解】因为，结合正弦定理可得,因此,即，故，从而，所以或，即或，故为直角三角形或等腰三角形.       【过关检测】一、单选题1．在△ABC中，a＝7，b＝10，c＝6，则△ABC是（       ）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．以上答案都不对【答案】B【详解】∵a＝7，b＝10，c＝6，即b>a>c，∴∠B为最大角．由余弦定理，得：cos B＝，∴∠B为钝角．故选：B.2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则为（       ）A．等腰非等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】B【详解】由，可得，所以，所以.在中，，故，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：B3．的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（       ）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【详解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形状一定是等腰三角形，故选：A．4．在中，角A，，的对边分别是，，，若，则的形状为（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【详解】解：因为，所以，因为，整理得，即，所以，所以或，因为，，，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.故选：C.5．在中，角，，的对边分别是，，，已知，则的形状是（       ）．A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】C【详解】解：，，即，又，，整理得，所以为直角三角形．故选：C.6．在中，若，则的形状为（       ）.A．等边三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【详解】由正弦定理和余弦定理可得：即为，化简可得：，故或即，故为等腰三角形或直角三角形.故选：D.二、多选题7．对于，有如下命题，其中正确的有（       ）A．若，则为等腰三角形B．若，则为直角三角形C．若，则为钝角三角形D．若，则的面积为或【答案】ACD【详解】对于A：是等腰三角形，A正确；对于B：或不一定是直角三角形，B错误；对于C：，为钝角三角形，正确；对于D：由正弦定理，得而或或当时，，当时，，或D正确.故选：ACD.8．已知的内角、、所对的边分别为、、，下列四个命题中正确的命题是       （       ）A．若，则一定是等边三角形B．若，则一定是等腰三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，则一定是锐角三角形【答案】AC【详解】对于A．若，则，，即，即△ABC是等边三角形，故A正确；对于B，若，则由正弦定理得，，则或，即或，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若，则即，则△ABC是等腰三角形，故C正确；对于D，△ABC中，∵，∴，所以角C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故D错误．故选：AC．三、填空题9．在中，若，则是________三角形．【答案】直角【详解】依题意，，由正弦定理得，所以三角形是直角三角形.故答案为：直角10．在中，若，则这个三角形是________．【答案】等腰或直角三角形##直角或等腰三角形【详解】因为，所以，，，则，所以，，即，所以，，，即，整理可得，即或，因此，为等腰或直角三角形.故答案为：等腰或直角三角形.11．在中，已知，且，确定的形状___________.【答案】等边三角形【详解】由三角形的内角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B）∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA∴sinAcosB-sinBcosA=0，∴sin（A-B）=0，∴A=B∵∴即由余弦定理可得cosC= ，∵，∴，∴A=B=C=，故△ABC为等边三角形．故答案为：等边三角形．12．在中，角､､所对的边分别为､､，若，且，则的形状是___________.【答案】等边三角形【详解】，由于，故.由于，∴ .∴ ，利用正弦定理得，所以，故，所以为等边三角形.故答案为; 等边三角形.四、解答题13．中，，且，判断的形状．【答案】直角三角形【详解】由，得；由，得，，，，又，则，所以的形状为：直角三角形.14．在中，若试判断的形状.【答案】等腰三角形或直角三角形【详解】由已知条件及正弦定理可得，，，即，由正弦定理和余弦定理可得=，整理得，即，或，或，为等腰三角形或直角三角形.15．已知，，分别为的内角，，的对边，且满足，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（1）证明：；（2）若，判断的形状.【答案】（1）证明见解析；（2）等边三角形.【详解】（1）∵，∴，∴，∴.又∵（为的外接圆半径），∴，，，∴，∴.（2）由题意知，∴，∴∴，又∵，∴，由余弦定理知，∴.∵，∴，即，∴，又∵，∴为等边三角形.16．在中，角，，所对边长为，，，.（1）求角的大小；（2）若，证明：是直角三角形.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）解：，由正弦定理有：，，，因为所以因为所以，因为，所以．（2）证明：因为，所以，即，又因为，可得，即，即，而，解得，所以，由故，即是直角三角形．得证．