第10讲 解三角形(利用基本不等式求范围与最值)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第10讲 利用基本不等式求范围与最值【必备知识】1.公式总结1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中       推论$2.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中,3.正弦定理变形及推广(1);(2)为的外接圆半径);(3)(R为的外接圆半径).4.三角形中内角的三角函数关系在 中,,则(1).(2)(3) (4)5.三角形中的边角关系(大边对大角,大角对大边).6.三角形面积公式  2.三角形中求范围与最值的方法求有关面积或周长的最值(范围)问题,一般转化为某个角的正弦(余弦)函数,利用正弦(余弦)函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.1.求三角形周长的取值范围或最值一般转化为求边的取值范围或最值,有时也可以整体求值.把,或看成一个整体,利用均值不等式求解.或者利用正弦定理讲边转化为三角函数,利用角的范围,求解三角函数的范围.2.对于三角形中的面积最值问题,通常利用均值不等式求解,,的范围,或者转化为求三角函数最值,需熟练掌握求三角函数最值的一些常见方法, 解题时注意角的取值范围.      【典例剖析】类型一:利用均值不等式求周长的范围与最值1．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（       ）A． B． C． D． 2．在中，已知，，则周长的最大值为（       ）A．8 B．10 C．12 D．14 3．已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________ 4．已知向量，，函数．(1)求函数在上的最大值；(2)若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围．     类型二:利用均值不等式求面积的范围与最值1．的外接圆半径，角，则面积的最大值为（       ）A． B． C．4 D． 2．在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（       ）A． B． C． D． 3．已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______． 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．    类型三:利用均值不等式求角度的范围与最值1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ）A． B． C． D． 2．已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（       ）A． B． C． D． 3．在中，，若，则的最大值是____________． 4．在中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C．已知a，b，c成等比数列．（1）求角的取值范围；（2）若，求角的值.       类型四:利用均值不等式求线段的范围与最值1．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（       ）A． B． C．1 D． 2．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（       ）A． B． C． D． 3．在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________. 4．在中，角，，对边分别为，，，已知，且．(1)求角；(2)若为中点，求的最大值．     【过关检测】一、单选题1．已知锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积，且，则S的最大值为（       ）A．6 B．4C．2 D．1 2．在中，角所对的边分别为，若，，则周长的取值范围是（       ）A． B． C． D． 3．已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（       ）A． B． C． D． 4．在中，的平分线交于点，，则周长的最小值为（       ）A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且，则的最大值为（       ）A． B． C． D． 3．已知三角形中，角，，所对的边分别为，，，，且，边上的高为，则的最大值为（       ）A． B．3 C． D．12 二、多选题7．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则 8．在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（       ）A．若，则 B．的最大值为C． D．角的最小值为 三、填空题9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______． 10．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三角形ABC的面积为S，若，则______. 11．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．若，则外接圆面积的最小值为______． 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积为，则的最小值为______． 四、解答题13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)若，求的值；(2)若的面积为，求边长c的最小值．   14．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，．(1)求A；(2)若，求△ABC面积的最大值．       15．已知在中，角的对边分别为，，且，(1)若，，求；(2)若，求的最大值．      16．在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若D为AC的中点，且，求 ABC面积的最大值.