第11讲 解三角形(利用三角函数值域求范围与最值)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第11讲 利用三角函数值域求范围与最值【必备知识】1.公式总结1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,即中       推论$2.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在中,3.正弦定理变形及推广(1);(2)为的外接圆半径);(3)(R为的外接圆半径).4.三角形中内角的三角函数关系在 中,,则(1).(2)(3) (4)5.三角形中的边角关系(大边对大角,大角对大边).6.三角形面积公式  2.三角形中求范围与最值的方法求有关面积或周长的最值(范围)问题,一般转化为某个角的正弦(余弦)函数,利用正弦(余弦)函数的有界性求解,或利用余弦定理转化为边的关系,再应用基本不等式求解.1.求三角形周长的取值范围或最值一般转化为求边的取值范围或最值,有时也可以整体求值.把,或看成一个整体,利用均值不等式求解.或者利用正弦定理讲边转化为三角函数,利用角的范围,求解三角函数的范围.2.对于三角形中的面积最值问题,通常利用均值不等式求解,,的范围,或者转化为求三角函数最值,需熟练掌握求三角函数最值的一些常见方法, 解题时注意角的取值范围.  【典例剖析】类型一:利用三角函数值域求周长的范围与最值1．在中，若，，则的周长的最大值为A．9 B．6 C． D． 2．设锐角的三个内角的对边分别为 且，，则周长的取值范围为（       ）A． B． C． D． 3．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________. 4．在中，分别为内角的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.  类型二:利用三角函数值域求面积的范围与最值1．设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（       ）A． B． C． D． 2．已知，，是锐角的三个内角，的对边为，若数列，，是等差数列，，则面积的取值范围是（       ）A． B． C． D． 3．在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________． 4．为边上一点，满足，，记，．(1)当时，且，求的值；(2)若，求面积的最大值．     类型三:利用三角函数值域求角度的范围与最值1．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．2．设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（       ）A． B． C． D． 3．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______． 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.(1)求角C；(2)求的取值范围.       类型四:利用三角函数值域求线段的范围与最值1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(       )A． B． C． D． 2．在中，若，，则的最大值为（       ）A．7 B． C． D． 3．在锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若，则的取值范围是______． 4．锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，,且∥.(1)求A；(2)若，求的取值范围.      【过关检测】一、单选题1．在中，若，，则面积的取值范围是（       ）A． B．C． D． 2．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则面积的取值范围为（       ）A． B． C． D． 3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值是（     ）A． B．C． D．3 4．如图，设的内角，，所对的边分别为，，，若，，是外一点，，，则四边形面积的最大值是（       ）A． B． C． D． 5．在中，内角，，的对边分别是，，．若，的面积等于，则的取值范围是（       ）A． B． C． D． 6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则的最小值为（       ）A．－1 B． C．3 D． 二、多选题7．设的内角，，所对的边分别为，，，，且，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（       ）A．的内角 B．的内角C．的面积为 D．四边形面积的最大值为8．已知三个内角，，的对应边分别为，，，且∠，，则（       ）A．面积的最大值为 B．的最大值为C．的取值范围为 D． 三、填空题9．在中，已知向量，且，记角的对边依次为.若，且是锐角三角形，则的最大值为______________. 10．在锐角中，内角所对的边分别是，，则的取值范围是________. 11．在中，，，分别是角，，的对边，已知，若，则的取值范围是__________． 12．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为________. 四、解答题13．已知锐角的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)当时，求周长的取值范围.      14．在中，角所对的边分别为，满足(1)求角；(2)若，求的取值范围.     15．已知分别为三个内角的对边，.(1)求；(2)若 ，求的最大值.      16．在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围.