第12讲 复数相关题型汇总-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第12讲 复数相关题型汇总【必备知识】一.数系的扩充和复数的概念1.复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集.2.复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式.其中,分别叫做复数的实部、虚部.3.复数相等的充要条件:(1)且.)(2)且;(3)且.(.)(只有实数才能比较大小!)4.复数的分类:当时,是实数;当时,是虚数(当时,是纯虚数).5.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴;显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数..规定:相等的向量表示同一个复数.6.复数的模(或绝对值):向量的模叫做,记作|z|或;7.共轭复数当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数记作.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数是:.它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,.     二.复数代数形式的四则运算1.复数的四则运算法则：(1) ; 满足交换律、结合律.(2) ; 加法的逆运算. (3) ; 满足交换律、结合律、分配律.(4) . 分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 2.加减法的几何意义:向量加、减法的平行四边形法则..(1)的几何意义是复平面上两点间的距离,即.(2)复平面上的两点间的距离公式:.(3)当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆.(4)当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3.实系数一元二次方程的解对于实系数一元二次方程,令,则(1)  若; (2)  (2)若,则;(3)  若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根:(虚根成对).    【典例剖析】类型一:复数的有关概念1．设集合，，，则，，间的关系为（       ）A． B． C． D． 2．若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（       ）A．1 B．-2 C． D． 3．对于复数，下列结论中正确的是（       ）A．若，则为纯虚数B．若，则，C．若，则为实数D．若，则z不是复数 4．以下复数中是纯虚数的是（       ）A． B． C．  D．  类型二:复数的四则运算1．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（       ）A．i B．-i C．1 D．-1 2．已知，则（       ）A． B． C． D． 3．已知为虚数单位，则复数可化简为（       ）A． B． C． D． 4．已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（       ）A．1 B． C．2 D． 5．已知复数满足，则（       ）A． B．1 C．2 D． 类型三:利用复数的概念求参数1．已知复数是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为（       ）A．1 B．2 C．3 D．4 2．若，其中为虚数单位，则实数m的值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知，若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部是（       ）A．1 B．－i C．i D．－1 4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 类型四:复数相等的条件求参数1．设（为虚数单位），则复数的虚部为（       ）A． B． C． D． 2．设复数满足，则（       ）A．-i B．-1 C．0或-1 D．0或-i 3．已知复数，且，则（       ）A．3 B．0 C． D． 4．已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（       ）A．4 B．-1C．-1或4 D．-1或6 5．求满足下列条件的实数，的值：(1)；(2)．    类型五:复数的几何意义1．已知是虚数单位，，则复数所对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．非零复数满足，则复平面上表示复数的点位于（       ）A．实轴      B．虚轴      C．第一或第三象限       D．第二或第四象限 3．在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数.(1)求复数的实部、虚部、模长及表示复平面上的点的坐标；(2)若，试求实数、的值.       类型六:复数的模1．若复数是纯虚数，则（       ）A． B． C． D． 2．已知m，，是虚数单位，若，则（       ）A． B．4 C． D．3 3．设复数z满足，且z的实部小于虚部，则（       ）A． B．C． D． 4．已知复数z满足，则（       ）A． B．2 C． D． 5．已知复数(1)若为纯虚数，求实数的值；(2)若在复平面内的对应点位于第四象限，求实数的取值范围及 的最小值.   类型七:共轭复数1．已知，则复数的共轭复数是（       ）A． B． C． D． 2．复数，则（       ）A． B． C． D． 3．已知复数z满足条件，则（       ）A． B． C．或 D．或 4．已知复数（是虚数单位）．(1)若z是实数，求实数m的值；(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．    类型八:根据几何意义求参数或模的范围1．已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．2．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（       ）A． B． C． D． 3．设，且，则的最小值为（       ）A．0 B．1 C． D． 4．当x复数 的模长的最小值是（     ）A．2 B． C．10 D． 类型九:复数的轨迹问题1．世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（       ）A． B． C． D． 2．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（       ）A．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆.B．复数的虚部为.C．若，则复平面内对应的点位于第二象限.D． 3．已知为虚数单位，复数满足，则的最大值为（       ）A．1 B． C．2 D．3 4．若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）A． B． C． D． 5．设为复数，则下列命题中错误的是（       ）A． B．若，则的最大值为2C． D．若，则 6．已知复数满足，则的最大值是（       ）A．5 B．9 C．7 D．3 类型十:复数范围内方程的根1．已知是关于x的方程的根，则实数（       ）A． B． C．2 D．4 2．已知复数是关于的方程的一个根，则 （       ）A．25 B．5 C． D．41 3．若关于x的实系数一元二次方程的两个根分别是和，则这个一元二次方程可以是（       ）.A． B． C． D． 4．二次方程的根的情况是（       ）A．有两个不相等的实数根 B．有一个实数根，一个虚数根C．有一对共轭虚数根 D．有两个虚数根   【过关检测】一、单选题1．已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）A．3＋i B．3－iC．－3－i D．－3＋i 2．已知复数（为虚数单位），则等于（       ）A． B． C． D． 3．复数的虚部是（       ）A． B． C． D． 4．复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足，则动点Z的轨迹为（       ）A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆 5．若复数的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（       ）A． B．y＝C． D． 6．设关于x的实系数一元二次方程在复数集中的两个根为､，则下列结论中恒成立的是（       ）.A．和互为共轭复数 B．，C． D．  二、多选题7．若复数满足，则（       ）A． B．C．在复平面内对应的点在直线上 D．的虚部为 8．对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（       ）A． B．C． D． 三、填空题9．若复数，，则的虚部为___________． 10．已知是复数，，则复数_________ 11．若，则取值范围是______ 12．在复数范围内分解因式：___________. 四、解答题13．计算下列各式的值.(1)；(2)；(3).    14．已知复数，，，，．(1)在如图所示复平面内，作出各复数对应的向量；(2)求各复数的模；(3)求各复数的共轭复数，并在复平面内作出这些共轭复数对应的向量．      15．求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；(1)位于第二象限；(2)位于第一或第三象限；(3)在直线上．        16．设复数、满足.(1)若、满足，求、；(2)若，则是否存在常数，使得等式恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.