期末模拟测试卷二-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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班级              姓名             学号             分数           期末模拟测试卷（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数（i为虚数单位），则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：.故选：B.2．已知向量，若，则（       ）A． B． C． D．4【答案】A【解析】因为，，所以，故选:A3．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（       ）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：则圆锥的体积，所以，即，，则，又，所以，故．故选：C．4．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，故，所以，故x为第二或第四象限角，则，故，即，所以，故选：D5．生男孩和生女孩的概率相等时，一个家庭有三个孩子，至少两个是女孩的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】一个家庭有三个孩子的所有情况是（男男男）、（男男女）、（男女男）、（男女女）、（女男男）、（女男女）、（女女男）、（女女女）共种，至少个是女孩的情况有（男女女）、（女男女）、（女女男）、（女女女）共种，∴所求概率为，故选：C.6．在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，，，，又，由正弦定理得：，，三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；对于B选项，，，，由余弦定理得：，三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；对于D选项，，，，由正弦定理得：，，，，有两解，符合题意，故选：D.7．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（       ）A．105° B．120° C．135° D．150°【答案】B【解析】连接，如下图所示.因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以，解得.又因为，所以.则向量与的夹角大小为120°，故选：B.8．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角在中解得.进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过的平面截球所得截面的面积最大为；又为中点，由正方体结构特征可得由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时，截面圆半径最小为所以.因此，过的平面截球所得截面的面积范围为.故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A（k∈Z），则A的值可以是（       ）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【答案】AD【解析】∵当k为偶数时，A3，∵k为奇数时，A1，∴或.故选：AD．10．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（       ）A．M与N互斥 B． C．M与N相互独立 D．【答案】BCD【解析】解：由题意，第一枚骰子的点数与第二枚骰子的点数互不影响，故事件与事件为相互独立事件，故A错误，C正确；，故B正确；，故D正确.故选：BCD.11．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（       ）A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为【答案】BC【解析】因为，，所以，即，又因为，所以圆柱的侧面积是，圆柱的表面积是，故选：BC12．如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（       ）A． B．BD=2C． D．△CBD的面积为【答案】AC【解析】解：由，得：，又角为钝角，解得：，由余弦定理，得：，解得，可知为等腰三角形，即，所以，解得，故正确，可得，在中，，得，可得，故错误，，可得，可得，故正确，所以的面积为，故错误．故选：AC． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．设复数，其中是虚数单位，则的虚部是______.【答案】0【解析】，所以，则的虚部为0故答案为：014．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为___________.【答案】【解析】如图所示，连接、，分别为，的中点，所以，所以和夹角就是与所成的角，而是正三角形，所以，所以，直线和夹角的余弦值为.故答案为：.15．如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为______．【答案】或【解析】取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，同理可得且，为异面直线与所成的角或其补角，则或.在中，.若，则为等边三角形，此时，；若，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.16．已知向量、满足，在上的投影（正射影的数量）为，则的最小值为_________.【答案】【解析】设向量、的夹角为，在上的投影为，可得出，即，而，所以，因为所以，即，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知平面向量.(1)若，求；(2)若，求与夹角的余弦值.【答案】(1)5；  (2)【解析】(1)向量，由得：，解得，即，则，所以.(2)当时，，，则，所以与夹角的余弦值是.18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角B的大小；（2）若，求的值；（3）若，，求边a的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由正弦定理有：，而为的内角，∴，即，由，可得，（2），∵，，可得，而，∴，（3）由余弦定理知：，又，，，∴，可得.19．2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办.某学校根据该校男女生人数比例，使用分层抽样的方法随机调查了200名学生，统计他们观看开幕式的时长（单位：）情况，样本数据按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值并估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）和中位数；(2)已知样本中有的男生观看开幕式时长小于80，观看开幕式时长不小于80的男女生人数相等，估计该校男生与女生的人数之比.【答案】(1)，平均数和中位数分别为78.4，77.5；  (2)．【解析】(1)由，所以.平均数为.设这200名学生观看开幕式时长的中位数为m，由频率分布直方图可知，且，解得.估计该校学生观看开幕式时长的平均数和中位数分别为78.4，77.5.(2)由频率分布直方图可知样本中观看开幕式时长不小于80的人数为.由题意知这80人中有一半，即40人是男生，又因为观看开幕式时长小于80的男生占男生人数的，故这40名男生占样本中所有男生人数的，因此样本中男生人数为120，女生人数为80，因为样本是用分层抽样的方法得到的，故估计该校男生与女生的人数之比为.20．如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC.（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）若E为PA的中点，求证：BE平面PCD；（3）若直线PC与平面ABCD成角为45°，求三棱锥A﹣PCD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又由CD⊥PC，而PA∩PC=A，则CD⊥平面PAC；（2）取PD的中点F，连接EF，E是PA的中点，F是PD的中点，则EFAD且EFAD，又由AB⊥BC，AB=BC，则∠BAC=45°，则有∠CAD=45°，又由CD⊥平面PAC，则CD⊥AC，则△ACD为等腰直角三角形，又由AB=BC=1，则AC，ADAC=2，必有EFAD=1，而ADBC且BC=1，则EFBC且EF=BC，故四边形EFCB是平行四边形，必有BECF，又由BE不在平面PCD上，但CF在平面PCD内，则有BE平面PCD；（3）根据题意，若直线PC与平面ABCD成角为45°，即∠PCA=45°，则有PA=AC，VA﹣PCD=VD﹣PACDC×S△PAC(). 21．在中，、、分别是角、、所对的边，已知，，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，求的值.（3）求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由已知条件可得，则，，故；（2）由三角形的面积公式可得，，由余弦定理可得，因此，；（3）由正弦定理可得，故，，所以，，，所以，，则，所以，，所以，.因此，的周长的取值范围是.22．已知函数，其中．(1)求使得的取值范围；(2)为锐角三角形，O为其外心，，令，求实数t的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】(1)由题意得：.令，得即，故x的取值范围为．(2)，则，又，则，由正弦定理，可知，则∴又为锐角三角形，则.则，∴