高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理优秀同步训练题

6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．（2022春·北京大兴·高三统考期末）在展开式中，的系数为（    ）

A．10 B．5 C． D．

【答案】C

【详解】展开式中含的项为，所以的系数为，

故选：C

2．（2022·全国·高三专题练习）已知的展开式的各项系数之和为81，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由题意，令得：，解得：．

故选：B

3．（2022·全国·高三专题练习），则（　　）

A．16     B．27     C．43     D．70

【答案】C

【详解】依题意，

令，得.

故选：C

4．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）已知，设，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【详解】因为，所以由组合数的性质得，

所以，

令，得，

即.

故选：C

5．（2022·全国·高三专题练习）的展开式中的系数为（    ）

A．42 B．56 C．62 D．66

【答案】B

【详解】，故的系数为.故选B.

一题多解

可以看成4个相乘，展开式中可以在1个里选择，在1个里选择，在剩下的因式中选择2，此时的系数为，也可以在3个中各选1个，剩下的因式中选择2，此时的系数为，综上所述，展开式中的系数为.故选B.

6．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）的展开式中项的系数为（    ）

A．120 B．160 C．180 D．210

【答案】A

【详解】由题意的展开式中项的系数为 ,

故选：A

7．（2022春·河南·高三信阳高中校联考期末）在的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．30

【答案】C

【详解】因为，其中展开式的通项为，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为.

故选：C.

8．（2022春·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知，则（    ）

A． B．2 C．4 D．12

【答案】C

【详解】令，则，

故，

中得系数为，中得系数为，

所以，

故选：C.

二、多选题

9．（2022春·广东东莞·高三统考期末）已知二项式，则下列结论正确的是（    ）

A．该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等

B．该二项展开式中不含有理项

C．该二项展开式中的常数项是1

D．该二项展开式中含x的项系数是

【答案】AC

【详解】二项式，展开式中，通项公式为，

该二项展开式中二项式系数和为，令各项系数和为，二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等，A选项正确；

由二项式展开式的通项公式可知，为偶数时，对应的项为有理项，B选项错误；

该二项展开式中的常数项是，C选项正确；

该二项展开式中含x的项为，系数是， D选项错误.

故选：AC

10．（2022秋·江苏·高二校联考阶段练习）设，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．中最大的是

D．

【答案】AB

【详解】设，则，

所以选项正确；

令，得选项正确；

为负数，显然选项错误；

令，得，

令，得，所以选项错误.

故选：AB．

三、填空题

11．（2022春·北京海淀·高三海淀实验中学校考期末）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________.

【答案】

【详解】由展开式的二项式系数之和为64得，解得，

即，其展开式的通式为

令得，

故答案为：.

12．（2022·安徽·校联考二模）在的展开式中，的系数为__________.

【答案】

【详解】由题意可知，把二项式看成由和两项构成，

展开式中含的项为，

再将展开可得含的项为

即可知的系数为.

故答案为：

四、解答题

13．（2022春·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）已知二项式，且．

(1)求的展开式中的第5项；

(2)求的二项式系数最大的项．

【答案】(1)(2)

【详解】（1）由，得，即，解得或（舍去）．

的二项式通项为，

当时，，所以的展开式中第5项为．

（2）因为是中最大的，所以第4项的二项式系数最大，

，所以的二项式系数最大的项是．

14．（2022春·福建莆田·高二校考期末）在的展开式中，求：

(1)二项式系数的和；

(2)各项系数的和；

(3)奇数项系数和．

【答案】(1)1024；(2)1；(3).

【详解】（1）由题可知在的展开式中，二项式系数的和为；

（2）在的展开式中，

令可得各项系数的和为：；

（3）设，

令，得到，

令，得，

所以，

即奇数项系数和为.

 B能力提升 

15．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考期中）在①，②展开式中二项式系数最大值为7m，③条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知，且___．

(1)求m的值；

(2)求的值（结果保留指数形式）．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．）

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）若选①，，根据二项式展开式的通项公式可得，解得；

若选②，展开式中二项式系数最大值为7m，由二项式系数的性质可得或，解得，即；

若选③，，由二项式系数和可得，解得.

（2），

令，可得，令，可得，

相减可得，所以

16．（2022春·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）已知展开式的二项式系数和为512，．

(1)求的值；

(2)求系数绝对值即最大的项

(3)设，其中，且，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【详解】（1）由二项展开式的系数和为，于是，解得，设，于是，根据二项展开式的通项，为求，令，则

（2）展开式中第项的绝对值为，记，，令，解得，即时，；令，解得，即时，.于是，且，即最大，故原式中最大，最大项为

（3）

，因为每一项都含有，故能被整除，记，而，根据带余除法可知，.

C综合素养

17．（2022秋·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）的展开式中，把叫做三项式的次系数列．

(1)求的值；

(2)根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：．

【答案】(1)14；

(2).

【详解】（1）当时，，

令，则，

令，则，

两式相加得，

所以

（2）因为，

，

所以展开式中，的系数为

，

因为展开式的通项公式为，

令，得，

所以展开式中的系数为，

因为，

18．（2022春·江西抚州·高二校联考阶段练习）在二项式的展开式中，______．给出下列条件：

①所有偶数项的二项式系数之和为256；

②前三项的二项式系数之和等于46．

试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：

(1)求展开式的常数项；

(2)求展开式中系数绝对值最大的项．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）的二项展开式的通项为．

选①，所有偶数项的二项式系数之和为，可得．

选②，前三项的二项式系数之和为，解得．

由上知，展开式的通项为，

常数项即当时，，∴常数项为．

（2）由（1）得，的二项展开式的通项为，

故第项的系数的绝对值为：．

由题设，令，解得，

∴，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为．