人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列精品同步练习题

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7.2 离散型随机变量及其分布列（精练）A夯实基础   B能力提升   C综合素养A夯实基础  一、单选题1．（2022·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（    ）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局二次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次【答案】D【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选：D．2．（2022春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意得：．故选:A3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市阿城区第一中学校校联考期末）随机变量的分布列如表：则（    ）123A． B． C． D．【答案】D【详解】根据随机变量分布列的性质得，所以．故选：D．  4．（2022秋·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）设随机变量的概率分布列为：则（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件，所以.故选：C5．（2022秋·全国·高二期末）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示.456789100.030.050.070.080.260.23则（    ）A．0.72 B．0.75 C．0.85 D．0.90【答案】C【详解】由题意，解得.∴＝．故选：C6．（2022秋·福建泉州·高二泉州市城东中学校考期中）若离散型随机变量的分布列如下图所示．01则实数的值为（    ）A．或 B． C． D．或【答案】C【详解】依题意，，解得，所以实数的值为.故选：C7．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量X的概率分布列如下：则（    ）X－1012PA． B． C． D．【答案】C【详解】由分布列性质可得： ，则 ，由,故选：C8．（2022秋·河南·高二校联考期中）已知的分布列如表所示，其中a，b都是非零实数，则的最小值是（    ）1234PabA．12 B．6 C． D．【答案】B【详解】根据分布列的性质知，．且，所以，当且仅当时等号成立,故选:B．二、多选题9．（2022春·山西太原·高三校考阶段练习）已知随机变量的分布列为： 若，则实数的值可能是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【详解】由随机变量的分布列可知，随机变量的可能取值为，，，，的分布列为：，，，，用表格表示为∴对于A，时，，故选项A错误；对于B，时，，故选项B正确；对于C，时，，故选项C正确；对于D，时，，故选项D正确.故选：BCD.10．（2022·高二课时练习）已知为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．则下列结论正确的是（    ）A．共有24对相交棱 B．C． D．【答案】AC【详解】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，因此，故A正确，B错误；若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故，于是 ，故C正确，D错误．故选：AC．三、填空题11．（2022·高二课时练习）设随机变量X的分布列为，则常数______，______，______．【答案】          ##0.8     ##0.4【详解】由题意，知所给分布列为X1Pa由离散型随机变量分布列的性质得，解得．．∵，∴，，．∴．12．（2022·全国·高三专题练习）一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：，，，，，．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则的概率为___________．【答案】##0.8【详解】易判断，，为偶函数，所以写有偶函数的卡片有3张，的取值范围是． ，，所以．故答案为：四、解答题13．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.【答案】(1)；(2)分布列见解析.【详解】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率.（2）由题设，可能值为，则，，，所以的分布列如下：01214．（2022·高二课时练习）已知随机变量的分布列如表所示．0123(1)求随机变量的分布列；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)分布列见解析(2)（1）由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，则，或，或．可得随机变量的分布列如表所示．0149（2）因为，，又因为，所以.∴实数的取值范围是．15．（2022·高二课时练习）已知离散型随机变量的分布列．(1)求常数的值；(2)求；(3)求．【答案】(1)(2)(3)（1）解：由题意得随机变量的分布列如下表所示．1 由分布列的性质得，，解得．（2）解：．（3）解：∵，∴或，∴．16．（2022春·北京·高三北京市第十二中学校考阶段练习）首届以进口为主题的国家级博览会在中国拉开大幕，本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型智能及高端装备消费电子及家电汽车服装服饰及日用消费品食品及农产品医疗器械及医药保健服务贸易展区的企业数（家）40060706501670300450备受关注百分比25％20％10％23％18％8％24％备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．(1)从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；(2)从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列．【答案】(1)(2) 【详解】（1）7个展区企业数共有家，其中备受关注的智能及高端装备企业共家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件，所以.（2）由表格可知：消费电子及家电备受关注的企业有家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有家，共家.所以的可能取值为.则；；.所以随机变量的分布列为：  B能力提升  17．（2022·高二课时练习）某大型商场为了了解客户对其销售的某品牌五种型号电视机的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：电视机的型号65E3F65E3G65E5G65E7G65E8G回访客户（人数）700150200600350满意率0.50.30.60.30.2满意率是指：该品牌该型号电视机的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意相互独立，且每种型号电视机的回访客户对此型号电视机满意的概率与表格中该型号电视机的满意率相等. (1)从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；(2)从65E3F型号、65E3G型号电视机的所有回访客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析（1）由题意及题表中数据知，抽取的回访客户的总人数是，满意的回访客户的人数为，故所求概率为.（2）易知X的可能取值为0，1，2.设事件A为“从65E3F型号电视机的所有回访客户中随机抽取的人满意”，事件B为“从65E3G型号电视机的所有回访客户中随机抽取的人满意”，易知A，B为相互独立事件.根据题意，可知，，则，，.故X的分布列为X012P0.350.50.1518．（2022春·四川成都·高三川大附中校考开学考试）“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；(2)现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；(3)用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列.【答案】(1)41.5（岁）．(2)(3)分布列见解析（1）由小矩形面积和等于1可得：，∴ a＝0.035∴平均年龄为（岁）．（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30故用分层抽样后，第1组抽取人，第2组抽取人∴再从这5人中抽取3人，设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为.（3）由题意可知X服从二项分布X～B（3，），，，.∴X的分布列为：X0123PC综合素养19．（2022秋·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，设点集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．从集合中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．(1)当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率(用n表示)．【答案】(1)答案见解析；(2).(1)当n=1时，为1，，2，，当n=1时，点集中有6个点，任取两点共有种方法，它们等可能，，，，，所以X的概率分布为：X12P(2)点集中有个点，设和是从中取出的两个点，共有种取法，它们等可能，的事件的对立事件是的事件，若b=d，则，当且仅当这两点为或或取“=”，即有3种；若b=0，d=1，则，当且仅当a=0，c=n或a=n，c=0时取“=”，当时，，此时，而，，即不存在，则的事件为，有2种；若b=0，d=2，则，当且仅当a=0，c=n或a=n，c=0时取“=”，当时，，此时，而，，即不存在，则的事件为，有2种；若b=1，d=2，则，当且仅当a=0，c=n或a=n，c=0时取“=”，同理，的事件为，有2种，当时，X的所有值是或或，且，，，于是得，所以.