数学选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.3 离散型随机变量的数字特征精品同步测试题

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7.3.2 离散型随机变量的方差 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 求离散型随机变量的方差、标准差
题型2：离散型随机变量的方差公式及性质
题型3：两点分布的方差
题型4：方差的实际应用
三、高考（模拟）题体验

一、必备知识分层透析

知识点1：离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：



…

…




…

…

则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
（2）离散型随机变量的方差的深层理解
①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
③均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差.
④方差公式的变形：
⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负.
（3）两点分布的方差公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:.

1
0



（4）方差的性质
若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较
（1）样本方差
样本数据；；；；记
均值：，其中.
方差：
（2）离散型随机变量方差
离散型随机变量的分布列



…

…




…

…

均值
方差：
知识点3：求离散型随机变量的方差步骤
(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.
(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.
(4)写出离散型随机变量的分布列.
(5)利用均值的定义求.
(6)利用求方差.
其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.
二、重点题型分类研究
题型1: 求离散型随机变量的方差、标准差
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（    ）


0
1




A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【详解】解：，
则.
故选：D.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为：

0

1




则当在上增大时（    ）
A．单调递增，最大值为
B．先增后减，最大值为
C．单调递减，最小值为
D．先减后增，最小值为
【答案】D
【详解】由题知，解得，
所以
所以

由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有最小值.
故选：D
例题3．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的可能值，且，则D的最大值为___________.
【答案】1
【详解】因为随机变量的可能值有1，2，3，且，
所以，
由，得
所以.
，
，
当时，的最大值为
故答案为：1
例题4．（2023·全国·高三专题练习）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为，求，．
【答案】(1)
(2)；
（1）
解：由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，
因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，
可得，解得．
（2）
解：由题意，随机变量可能为，
则，，，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2




则期望为，
方差为.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的分布列如下表：

0
1
2
P
？
!
？
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】设“？”处的数据为则“!”处数据为 ,则,故
,

故选:C
2．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列为
X
0
1
2
P


b

则当在内增大时（    ）
A．增大 B．减小 C． 先减小后增大 D．先增大后减小
【答案】A
【详解】根据随机变量分布列的性质可知，
，

，
因为，所以单调递增，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量X的分布列是（    ）
X

0
1
P

b

则当a在内增大时，（    ）
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】C
【详解】解折：因为，所以，
因为，
所以
所以当时，增大增大，当时，减小减小.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下，

0
1
2
P

b
a
(1)求的取值范围；
(2)当a为何值时，取最大值？并求出的最大值.
【答案】(1)，；
(2)当时，取得最大值.
（1）
依题意，，解得，又，解得，
所以，.
（2）
由（1）知，，，
所以当时，取得最大值.
题型2：离散型随机变量的方差公式及性质
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：
(1)求摸出2个红球的概率；
(2)设获得优惠券金额为，求的方差．
【答案】(1)
(2)261
（1）
记事件A：摸出2个红球.则.
（2）
由题意可得：X的可能取值为：0，20，50.则：
；；.
所以数学期望，
方差.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的数学期望和方差
【答案】（1）；（2），.
【详解】（1）因为，所以
（2）的可能取值为
，，
所以的分布列为：

0
1
2




所以

例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知两个投资项目的利润率分别为随机变量和，根据市场分析，和的分布列如下：














(1)在两个项目上各投资200万元，和（单位：万元）表示投资项目和所获得的利润，求和；
(2)将万元投资项目，万元投资项目，表示投资项目所得利润的方差与投资项目所得利润的方差之和.则当为何值时，取得最小值？
【答案】(1)=24，=36；
(2).
（1）
依题意得：

10
20




4
16
24





，

.
（2）
设投资项目所获利润为，投资项目所获利润为.

，
故当时，取得最小值.

例题4．（2023·全国·高三专题练习）随着经济的飞速发展，市场条件的成熟以及监管机制的不断完善，投资理财逐渐融入人们的生活.若家庭有资产万，他们的投资预期年收益率不低于，通过考察，有两个投资方案供他们选择：
甲方案：
年收益(万元)


概率()


乙方案：
年收益(万元)



概率()



（1）如果家庭投资甲方案，且达到他们的投资预期年收益率，试求的最小值；
（2）在（1）的条件下他们投资哪个方案较好？请说明理由；
（3）若年收益率不变，根据（2）中的选择，那么他们至少需要多少年才会使资产翻一番？
注：上年度的收益和本金都作为下年度的投资本金，，.
【答案】（1）；（2）甲方案比较好，理由见解析；（3）年.
【详解】（1）设他们投资甲方案的年收益为，
则，
∴要达到他们的投资预期年收益率，则，解得，
又∵，，∴，即；
（2）由（1）知：，
设投资乙方案的年收益为，则，  
设投资甲方案的方差为，则，
设投资乙方案的方差为，
则，
∵，，∴选择甲方案比较好，
（3）假设至少需要年才会使资产翻一番，由已知得甲方案的年收益率为，
∴，即，
∴至少需要年才会使资产翻一番.
同类题型演练
1．（2023·全国·高三专题练习）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
（2）ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，
则P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝．
所以ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P





E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80，
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．
2．（2023·全国·高三专题练习）为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜作赠品处理．
(1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：个，）的函数解析式；
(2)水果店记录了100天西瓜的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若水果店一天购进16个西瓜，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①分布列见解析；期望为，方差；②应购进17个；理由见解析
（1）解：当时，，
当时，，
所以.
（2）解：①依题意可得的可能取值为，，，
所以，，，
所以的分布列为








所以，
．
②购进个时，当天的利润为
，

因为，所以应购进17个．
3．（2023·全国·高三专题练习）袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次模出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
【答案】(1)
(2)，
（1）
记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，
摸出一球是白球的概率为，摸出一球是黑球的概率为，
由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到．
（2）
由题意知，的可能取值为0，1，2，
当时，表示摸出两球中白球的个数为0，
当时，表示摸出两球中白球的个数为1，
当时，表示摸出两球中白球的个数为2，
∴，
．
即摸出白球个数ξ的期望和方差分别是，．
4．（2023·全国·高三专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量，，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于环，且甲射中，，，环的概率分别为，，，，乙射中，，环的概率分别为，，.
(1)求，的分布列；
(2)求，的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.
【答案】(1)答案见解析；
(2)，，，，甲的射击技术好，选甲.
（1）
解：依据题意知，，解得.
因为乙射中，，环的概率分别为，，，
所以乙射中环的概率为.
所以，的分布列分别为





















（2）
解：结合中，的分布列，可得：
，
，
，
.
因为，说明甲平均射中的环数比乙高.
又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
所以甲的射击技术好，故应选甲.
5．（2023·全国·高三专题练习）为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，，.
【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，
.
所以，随机变量的分布列为












.
.

题型3：两点分布的方差
典型例题
例题1．（2022·全国·高二专题练习）随机变量的概率分布为，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意，得，∴，．
由题意知随机变量服从参数为的两点分布，故．
故选：D
例题2．（2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知随机变量满足，，且，．若，则（    ）．
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】B
【详解】由题知变量，的分布列均为两点分布．变量，的分布列如下：

0
1


0
1







则，，，，
由，因为，，
函数在上单调递增，所以.
故选:B．
例题3．（多选）（2022秋·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：ABC
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【答案】C
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
2．（2022秋·北京·高二北京八十中校考期中）已知随机变量满足，，若，则
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】C
【详解】依题意可知：

0
1





0
1




由于，不妨设.故,，故选C.
3．（多选）（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确．
故选：ABD．
题型4：方差的实际应用
典型例题
例题1．（2022·上海虹口·统考一模）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．

(1)若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期望；
(2)已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%．现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；
(3)现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本．若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人的方差．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为171.7；
(2)0.0312；
(3)27.25
【详解】（1）由，解得．
所以的分布列为
X
155
165
175
185
195
205
P
0.22
0.27
0.25
0.15
0.1
0.01

（2）设事件A为任取一名本市市民的身高位于区间，
事件为任取一名本市市民为高中生，则，
．
所以．
于是，此人是高中生的概率为0.0312．
（3）由于身高在区间，的人数之比为5：3，
所以分层抽样抽取80人，区间，内抽取的
人数分别为50人与30人．
在区间中抽取的50个样本记为，，…，其均值为176，
方差为10，即，．
在区间中抽取的30个样本记为，，…，．其均值为184，
方差为16，即，；
所以这80人身高的均值为．
从而这80人身高的方差为






因此，这80人身高的方差为27.25．
例题2．（2022春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率（结果用分数表示）；
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，
方案1：不分类卖出，单价为21元；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价（元
16
18
22
24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及方差.
【答案】(1)
(2)应该采用第二种方案，理由见详解
(3)分布列见详解，
【详解】（1）记“从这100个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果”为事件A，则，
从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为，则，
故恰好有2个水果是礼品果的概率.
（2）方案2：每公斤的单价为（元），
∵，故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.
（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数分别为，即4个精品果，6个非精品果，
由题意可得：的可能取值有：，则有：
,
的分布列如下：

0
1
2
3
P




则，
.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知投资甲､乙两个项目的利润率分别为随机变量和.经统计分析，和的分布列分别为
表1：








表2：






(1)若在甲､乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资甲､乙两项目所获得的利润，求和的数学期望和方差，并由此分析投资甲､乙两项目的利弊；
(2)若在甲､乙两个项目总共投资100万元，求在甲､乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率.
【答案】(1)，，，，分析答案见解析
(2)甲项目投资25万元，乙项目投资75万元
（1）
由题意，得
，
，
，
，
由，
又，得，
，
因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.
（2）
设万元投资甲，则万元投资了乙，
则投资甲的利润，投资乙的利润
设为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，
则

当时，的值最小.
故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.
例题4．（2022·高二课时练习）为响应市政府“绿色出行”的号召，王老师将工作日上下班的方式由自驾车改为乘坐地铁或骑共享单车.根据王老师从2020年3月到2020年5月的出行情况统计可知，王老师每次出行乘坐地铁的概率是0.4，骑共享单车的概率是0.6.乘坐地铁单程所需的费用是3元，骑共享单车单程所需的费用是1元.记王老师在一个工作日内上下班（一个工作日内上､下班各一次）的交通总费用为元，假设王老师上下班选择出行方式是相互独立的.
（1）求的分布列和数学期望.
（2）已知王老师在2020年6月的所有工作日（按22个工作日计）的交通总费用共110元，请依据以下原则，判断王老师6月的出行规律与3~5月的出行规律相比是否发生明显变化.原则：设表示王老师某月每个工作日出行的平均费用，若，则有95%的把握认为王老师该月的出行规律与前几个月的出行规律相比有明显变化.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望为；（2）有95%的把握认为王老师6月的出行规律与3~5月的出行规律相比发生了明显变化.
【详解】（1）依题意，的可能取值是2，4，6，
则，
，.
的分布列为

2
4
6

0.36
0.48
0.16
.
（2）∵6月共有22个工作日，其交通总费用为110元，
∴每个工作日出行的平均费用（元）.
又，
则，
∴有95%的把握认为王老师6月的出行规律与3~5月的出行规律相比发生了明显变化.
同类题型演练
1．（2022秋·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮箱被锁定.
(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为，求的分布列及，的值.
【答案】(1)
(2)的分布列见解析，，
（1）
设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件，
则
（2）
由题意，可能取到1，2，3，
则，，，
所以的分布列为：

1
2
3




所以，
2．（2022秋·重庆万州·高二校考期中）甲、乙两名同学与一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，甲得1分；如果甲输而乙赢，甲得-1分；如果甲和乙同时赢或同时输，甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率为0.5.
(1)在一轮比赛中，甲的得分X的分布列；
(2)在两轮比赛中，甲的得分Y的分布列；
(3)Y的均值和方差.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
(1)
由题设，的可能取值为－1，0，1，
，
，
．
的概率分布为
X
－1
0
1
P
0.2
0.5
0.3
(2)
由题设，的可能取值－2，－1，0，1，2，
，
，
，
，
．
的概率分布为
Y
－2
－1
0
1
2
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
(3)
所以.



3．（2022·高二课时练习）某校辩论队计划在周六、周日各参加一场辩论赛，分别由正、副队长负责，已知该校辩论队共有10位成员（包含正、副队长），每场比赛除负责人外均另需3位队员（同一队员可同时参加两天的比赛，正、副队长只能参加一场比赛）．假设正、副队长分别将各自比赛的通知信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位，且所发信息都能收到．
(1)求辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率；
(2)设辩论队收到正队长或副队长所发比赛通知信息的队员人数为X，求X的分布列及其数学期望和方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
（1）
设事件A为“辩论队员甲收到正队长的通知信息”，
则，．
设事件B为“辩论队员甲收到副队长的通知信息”，
则，．
所以，
所以辩论队员甲收到正队长或副队长所发比赛通知信息的概率为．
（2）
由题意可得随机变量X可能的取值为3，4，5，6，
则，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P




故数学期望，
方差．
4．（2022·高二课时练习）为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”．
【答案】（1）分布列见解析；期望为50；（2）应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个
【详解】解：（1）设顾客获得的奖励额为，随机变量的可能取值为.
，，
所以的分布列如下：






所以顾客所获的奖励额的期望为
（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为元.
所以可先寻找使期望为60元的可能方案：
当球标有的面值为元和元时，
若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最大值，所以期望不可能为；
若选择“”的面值设计，因为元是面值之和的最小值，所以期望不可能为.
因此可能的面值设计是选择“”，
设此方案中顾客所获得奖励额为，则的可能取值为.
.
的分布列如下：








所以的期望为
的方差为
当球标有的面值为元和元时，同理可排除“”、“ ”的面值设计，
所以可能的面值设计是选择“”，
设此方案中顾客所获的奖励额为，则的可能取值为.
.
的分布列如下：








所以的期望为
的方差为
因为
即两种方案奖励额的期望都符合要求，
但面值设计方案“”的奖励额的方差要比面值设计方案“”的方差小，
所以应该选择面值设计方案“”，即标有面值元和面值元的球各两个.
三、高考（模拟）题体验
1．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（    ）
A．8 B． C． D．16
【答案】D
【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故：

又因为 根据方差的性质可得：

故选：D
2．（2022·河南洛阳·校联考模拟预测）随机变量的概率分布列为，k＝1，2，3，其中c是常数，则的值为（    ）
A．10 B．117 C．38 D．35
【答案】C
【详解】，k＝1，2，3，
，解得，
，
，
.
故选：C
3．（2022·浙江·校联考三模）随机变量的分布列如下所示，其中，则下列说法中正确的是（    ）


0
1
P



A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据分布列可得：，
则，
因为，故，即．



令（）
则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减
又因为
所以与大小无法确定
故选：D．
4．（2022·全国·模拟预测）小明、小红进行打靶比赛，各打5次且5次打靶成绩如表所示，其中a，，若小明、小红5次打靶成绩的平均数相等，要使小明5次成绩的方差大于小红5次成绩的方差，则为______．
小明
7
8
9
6
10
小红
7
9


10


【答案】
【详解】解：由题意得：
设小明、小红5次成绩的平均数分别为，，方差分别为，
∵小明、小红5次成绩的平均数相等
∴
∴，易得．
∵，
又
∴，且
∴满足条件的是．
故答案为：
5．（2022·江西·校联考模拟预测）某学校举行“百科知识”竞赛，每个班选派一位学生代表参加.某班经过层层选拔，李明和王华进入最后决赛，决赛方式如下：给定个问题，假设李明能且只能对其中个问题回答正确，王华对其中任意一个问题回答正确的概率均为.由李明和王华各自从中随机抽取个问题进行回答，而且每个人对每个问题的回答均相互独立.
(1)求李明和王华回答问题正确的个数均为的概率；
(2)设李明和王华回答问题正确的个数分别为和，求的期望､和方差､，并由此决策派谁代表该班参加竞赛更好.
【答案】(1)
(2)，，，，派李明代表该班参加竞赛更好
(1)李明回答问题正确的个数为的概率；
王华回答问题正确的个数为的概率；
李明和王华回答问题正确的个数均为的概率.
(2)
由题意知：李明回答问题正确个数所有可能的取值为，
，，
，；
王华回答问题正确的个数，
，；
，，派李明代表该班参加竞赛更好.
6．（2022·浙江宁波·镇海中学模拟预测）随机变量X的取值为，0，1，若，则_______，________．
【答案】          ##
【详解】设，则，因此分布列如图所示，由题意可知：


0
1




所以，
，
所以．
故答案为：；．
7．（2022·浙江·统考模拟预测）随机变量的分布列如下表，其中．当________时，取最小值；当______时，有最小值．

1
2
3
p
p


【答案】     ##     ##
【详解】解：由题意可得，
故当时，取最小值；

，
因为对称轴方程为，，
故当时，取最小值.
故答案为：；.