高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征精品课时作业

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7.3.2 离散型随机变量的方差（精练）A夯实基础   B能力提升   C综合素养A夯实基础  一、单选题1．（2022秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若随机变量X的概率分布表如下：X01P0.4则（    ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【详解】根据概率的性质可得，所以，所以，故选:C.2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期中）随机变量的分布列是.若，则（    ）-212A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，解得，所以.故选：B.3．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）已知随机变量X满足，，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】，得，，.故选：C4．（2022·高二课时练习）设，若随机变量ξ的分布列如下：ξ−102Pa2a3a则下列方差值中最大的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，，，，，．，，．其中最大．故选：C．5．（2022秋·广东梅州·高二校考期中）若随机变量的分布列如下：123Px则的最大值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，解之得，，则，故当时，取得最大值.故选：C.6．（2022秋·山西临汾·高二校联考期中）已知随机变量满足，，则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】因为，，所以，，即，.故选：A.7．（2022·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期末）从装有个白球和个黑球的袋中无放回任取个球，每个球取到的概率相同，规定：（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量 （2）取出白球得分，取出黑球得分，取出个球所得分数和记为随机变量则（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】根据题意，，，，分布列如下： 根据题意，，，，分布列如下：，，，，可得，故选：C.8．（2022·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列如表所示，随机变量满足，则当在上增大时，关于的表述，下列正确的是（    ）-2-10A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】A【详解】由分布列的性质：，可得，∴，， ∴，又，∴在上增大时，增大.故选：A二、多选题9．（2022秋·江苏常州·高二校考阶段练习）设离散型随机变量的分布列为：012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】对A：由，解得，故A正确；对B：，，故B正确；对C：，故C正确；对D：，故D错误.故选：ABC.10．（2022秋·河北衡水·高二校考期中）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则（    ）A．B．C．D．【答案】BC【详解】已知表示小球落入格子的号码，则的所有取值范围为，，，，，，则，由对称性可知，而，，所以，综上得选项BC正确．故选：BC三、填空题11．（2022·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为： 01245 若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为______．①；②；③；④．【答案】①③【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，则，，所以①③正确；又由离散型随机变量Y满足，所以，，所以②④错误，故答案为：①③．12．（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量取值，，，，的概率均为0.2，随机变量取值，，，，的概率也均为0.2．若记，分别为，的方差，则______（填“”“”或“”）．【答案】【详解】互不相等，∴，记作，∴，同理，∵，…，，∴，∴．故答案为：.四、解答题13．（2022秋·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．【答案】(1)(2)， (1)设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件， 则，所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为；(2)随机变量的所有可能值为，，，，4.，∴，，，，.所以随机变量的分布列是： 4=．14．（2022秋·辽宁·高二渤海大学附属高级中学校考阶段练习）有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示．甲公司乙公司职位ABCD职位ABCD月薪/千元5678月薪/千元46810获得相应职位概率0.40.30.20.1获得相应职位概率0.40.30.20.1(1)若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为，求的分布列．(2)若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率．(3)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由．【答案】(1)分布列见详解(2)0.49(3)甲公司，理由见详解(1)根据题意可知：随机变量的可能取值有：0，1，2随机变量的分布列为：0120.640.320.04(2)小方月薪高于小芳月薪的概率：(3)入职甲公司，月薪的期望为，方差入职乙公司，月薪的期望为方差乙公司月薪高于甲公司的概率为即，即两家公司月薪的期望相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大,且甲公司月薪高于乙公司的月薪概率更大，故选甲公司． B能力提升  15．（2022·高二课时练习）某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这位被访问者得分频数分布情况如下：经济前景等级悲观尚可乐观问卷得分12345678910频数23510192417974假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：经济前景等级乐观尚可悲观物联网项目年回报率（%）124人工智能项目年回报率（%）75根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.【答案】(1)(2)见解析（1）由题意可知名被采访者中，预测中国经济前景为“乐观”的人数为人，概率为0.2，若又随机访问了两名业内人士，至少有一个预测中国经济前景为“乐观”的概率为.（2）由题意可知，预测中国经济前景为“乐观”的概率为，预测中国经济前景为“尚可”的概率为，预测中国经济前景为“悲观”的概率为设投资物联网和人工智能项目年回报率的期望分别为，，方差分别为，则，，，，则，投资物联网项目比投资人工智能项目平均年回报率要高，但二者相差不大.,投资人工智能项目比投资物联网项目年回报率稳定性更高，风险要小，建议投资人工智能项目.16．（2022春·江苏宿迁·高二沭阳如东中学期末）现有A，B两个项目，投资A项目100万元，一年后获得的利润为随机变量（万元），根据市场分析，的分布列为：1211.811.7P投资B项目100万元，一年后获得的利润（万元）与B项目产品价格的调整（价格上调或下调）有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，且在每次调整中价格下调的概率都是p（0≤p<1）．经专家测算评估B项目产品价格的下调与一年后获得相应利润的关系如下表：B项目产品价格一年内下调次数X（次）012投资100万元一年后获得的利润（万元）1312.52（1）求的方差；（2）求的分布列；（3）若p=0.3，根据投资获得利润的差异，你愿意选择投资哪个项目？（参考数据：1.22×0.49+0.72×0.42+9.82×0.09=9.555）．【答案】（1）0.01；（2）分布列见解析；（3）从获得稳定收益考虑, 当p=0.3时应投资A项目.【详解】（1）依题意，，所以． （2）设表示事件”第i次调整，价格下调”（i=1，2），则；； ，所以的概率分布列为：1312.52P（3）当p=0.3时，，，由（1）知，，当投资两个项目的利润均值相同的情况下，投资B项目的风险高于A项目，所以从获得稳定收益考虑，当p=0.3时应投资A项目．C综合素养17．（2022·高二课时练习）如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口．如果开车到五个路口因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线? (2) 对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.【答案】(1) 这位工人应该选择行驶路线（2）【详解】（1）设这位工人选择行驶路线、、的分别堵车、、次，则、1、2；、1、2、3由于 ，，，则期望值由于 ，，，则期望值由于 ，，，,则期望值.比较知最小，所以这位工人应该选择行驶路线（2）已求 最小，且 ，，，则  ，所以符合题意的方差为