人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.4 二项分布与超几何分布优秀练习题

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7.4.2 超几何分布 (精讲）
目录
一、必备知识分层透析
二、重点题型分类研究
题型1: 对超几何分布的理解
题型2：超几何分布
题型3：二项分布与超几何分布
题型4：超几何分布的综合应用
三、高考（模拟）题体验
一、必备知识分层透析

知识点1：超几何分布
（1）超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，.
其中，，，，．
如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．
（2）对超几何分布的理解
①在超几何分布的模型中，“任取件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取件”.如果是有放回地抽取，就变成了重伯努利试验，这时概率分布是二项分布.所以两个分布的区别就在于是否为有放回地抽取.
②若随机变量满足：
试验是不放回地抽取次；
随机变量表示抽到两类中其中一类物品的件数.则该随机变量服从超几何分布.
③超几何分布的特点：
不放回抽样；
考察对象分两类；
已知各类对象的个数；
从中抽取若干个个体，考察其中某类个体个数的概率分布列.
（3）超几何分布的均值
若随机变量服从超几何分布，则(是件产品的次品率).
知识点2：二项分布与超几何分布的区别和联系
（1）区别
由古典概型得出超几何分布，由伯努利试验得出二项分布.这两个分布的关系是，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件，用表示抽取的件产品中的次品数，若采用有放回抽样的方法抽取，则随机变量服从二项分布，即(其中)若采用不放回抽样的方法抽取，则随机变量服从超几何分布.超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”.超几何分布的概率计算是古典概型问题，二项分布的概率计算是相互独立事件的概率问题.
（2）联系
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同.每次试验只有两种可能的结果：成功或失败.当总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，即对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，超几何分布可以近似为二项分布.
二、重点题型分类研究
题型1: 对超几何分布的理解
典型例题
例题1．（2022·高二课时练习）【微思考】在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？
__________________
【答案】随机变量服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体（共有个个体）内含有两种不同事物（个）、（个），任取个，其中恰有个的概率分布问题.
【解析】略
例题2．（多选）（2022·高二课时练习）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（       ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为
【答案】ABD
【详解】解：依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
故选：ABD
例题3．（2022·高二课时练习）下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)
①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为；
②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；
③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量.
【答案】①②
【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．
故答案为：①②.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；
④X表示取出的黑球个数．
这四种变量中服从超几何分布的是(　　)
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，
而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，
故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.
对于③，的可能取值为，
表示取出4个白球；
表示取出3个白球1个黑球；
表示取出2个白球2个黑球；
表示取出1个白球3个黑球；
表示取出4个黑球；
因此服从超几何分布.
由超几何分布的概念知④符合，
故选：B.
2．（2022·高二课时练习）下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．
（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；
（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；
（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；
（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；
（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．
【答案】答案见解析
【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．
(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．
(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．
3．（2022·高二课时练习）判断正误
（1）超几何分布就是一种概率分布模型．( )
（2）一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则取出的黑球个数X服从超几何分布．( )
【答案】     √     √
【详解】根据超几何分布的定义可知（1）（2）正确.

题型2：超几何分布
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从中随意抽取2件进行检测，记取到的正品数为，则数学期望为(    )
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】方法一：可能取0，1，2，其对应的概率为，
∴．
方法二：由题可知，服从超几何分布，故．
故选：D．
例题2．（2023·高二课时练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是______________
【答案】
【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
.
点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

例题3．（2023·高二课时练习）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中语文教师的人数，求的均值和方差．
【答案】(1)(2)，．
【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，
这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，
设事件表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”， 表示“恰好选出2名语文教师”，
则，彼此互斥，且，
，
选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为，
从6名教师中任取3人，其中恰有名语文教师的结果为，，1，2，
那么从6名教师中任选3人，恰有名语文教师的概率
所以，
于是，．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率．
(2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列．
【答案】(1)；
(2)答案见解析﹒
【详解】（1）现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，
从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
基本事件总数，
其中接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的基本事件有：
．
接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率．
（2）设表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，则的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，

的分布列为：

0
1
2
3
4






例题5．（2022春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]，(12，14]，(14，16]，(16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12，14]，(14，16]，(16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在(14，16]内的学生人数为，求的分布列及.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；
（1）
由概率和为1得：，
解得：；
（2）
由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在，，，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
由分层抽样性质知，从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0,1,2,3，
，，
，，
则的分布列为

0
1
2
3





所以
同类题型演练
1．（多选）（2022秋·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（     ）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
【答案】BD
【详解】A：取出白球个数X可能为0、1、2、3、4，则，，，，，
所以，即取出的白球个数X服从超几何分布，错误；
B：同A，取出黑球个数Y可能为0、1、2、3、4，易得，即取出的黑球个数Y服从超几何分布，正确；
C：由A知取出2个白球的概率为，错误；
D：总得分最大，即取出的都是黑球，由A知：概率为，正确.
故选：BD
2．（2023·全国·高三专题练习）某校高一，高二年级的学生参加书法比赛集训，高一年级推荐了4名男生，2名女生，高二年级推荐了3名男生，5名女生，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队参加市上比赛.
(1)求高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
(2)正式比赛时，从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛，设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望
【答案】(1)；
(2)的分布列见解析，.
（1）
从参加集训的男生中随机抽取人，
女生中随机抽取人组成代表队的抽取方法数为，
代表队中恰好有名高一学生的抽取方式中，
恰有名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为，
若学生为女生，则抽取方法数为，
高一恰好有1名学生入选代表队的概率；
（2）
依题意得，的所有可能取值为，
则，
，
，
的分布了如下：








.
3．（2023·全国·高三专题练习）一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球．
(1)求至少摸到个红球的概率；
(2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望．
【答案】(1).
(2)分布列见解析，.
（1）
设至少摸到1个红球为事件A，
则.
（2）
服从超几何分布，，
，，
，.
所以摸到红球的个数的概率分布列为

0
1
2
3





.
4．（2022·湖北十堰·高三十堰东风高级中学校考阶段练习）吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3个.
(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
(2)求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．
(3)设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有种可能,
其中恰有1个肉粽的可能选法有种,
∴由古典概型的概率计算公式有.
（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有种，
所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有种，
故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为.
（3）由题意知，ξ可能取的值为，则
∴，，，
故ξ的分布列为：

0
1
2




则的期望为.
5．（2022·全国·高三专题练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；
(2)若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)X的分布列见解析，
（1）
由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，
整理得到即，解得．
若2个全是大集团，共有种情况；
若2个全是小集团，共有种情况；
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．
（2）
由题意知，随机变量的可能取值为，
计算，，
，，
故的分布列为：

0
1
2
3





数学期望为．
题型3：二项分布与超几何分布
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【答案】(1)答案见解析
(2)甲通过面试的概率较大
【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：，，
所以，，，
所以的分布列为：

1
2
3




由题意可得，
所以，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3





（2），.
，
，
因为，所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
【答案】(1)X的分布列为：
X
1
2
3
P



；
(2)①．
②．
【详解】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



；
例题3．（2023·全国·高三专题练习）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．
(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；
(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以表示这2人中使用作业的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“作业”的学生，用“”表示该使用“作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该使用“作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“”表示该不使用“作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“”表示该不使用“作业”的学生没有掌握“向量数量积”．直接写出方差和的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望为；
(3)；
（1）
在两所学校被调查的200名学生中，
对“向量数量积”知识点基本掌握的学生有140人，
所以估计从两校高一学生中随机抽取1人．
该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率为
（2）
依题意，，1，2，且，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
P



故
（3）
由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为，求随机变量的分布列和期望.
【答案】分布列答案见解析，数学期望：
【详解】若选①，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列为

0
1
2
3






期望；
若选②，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列为：

0
1
2
3





期望.
同类题型演练
1．（2022·高二课时练习）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果，一般地，果径越大售价越高.为帮助果农创收，提高水果的果径，某科研小组设计了一套方案，并在两片果园中进行对比实验，其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[21，26），[26，31），[31，36），[36，41），[41，46]（单位：mm）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36 mm及以上的为“大果”.

(1)估计实验园的“大果”率；
(2)现采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，再从这10个果实中随机抽取3个，记其中“大果”的个数为X，求X的分布列；
(3)以频率估计概率，从对照园这批果实中随机抽取n（，）个，设其中恰有2个“大果”的概率为P(n)，当P(n)最大时，写出n的值.
【答案】(1)60%
(2)分布列见解析
(3)6
（1）
由题中实验园的频率分布直方图得这100个果实中大果的频率为，所以估计实验园的“大果”率为60%.
（2）
由题中对照园的频率分布直方图得，这100个果者实中大果的个数为.采用分层抽样的方法从对照园选取的100个果实中抽取10个，其中大果有个，
从这10个果实中随机抽取3个，其中“大果”的个数X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




（3）
由题可知，，，
要使最大，则且，
∴，又∵，∴.
2．（2022·高二课时练习）某学校要招聘志愿者，参加应聘的学生要从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对其中的3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．
(1)试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过初试的可能性更大；
(2)若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙的得分为Y，求Y的分布列和数学期望．
【答案】(1)甲通过初试的可能性更大
(2)分布列见解析，15
（1）由题意得，甲通过初试的概率，乙通过初试的概率．
∵，∴甲通过初试的可能性更大．
（2）设乙答对试题的个数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，且，
∴，，
，，
，易知，
∴Y的分布列为
Y
0
5
10
15
20
P





．
3．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）袋中有6个白球､3个黑球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的次数为，求的分布列和期望；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)分布列答案见解析，数学期望：
（1）
由题意，每次抽取后都放回，取得黑球的次数的可能取值为，
其中每次抽取到黑球的概率均为，
所以2次取球可以看成2次的独立重复试验，则，
可得：，
，
，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2




；
（2）
若每次抽取后都不放回，取到黑球的个数的可能取值为，
可得，
所以随机变量的分别列为：

0
1
2




.
4．（2022春·天津河西·高二天津市新华中学校考期中）甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.甲乙两人的答题情况相互独立
(1)求甲得分的分布列和数学期望；
(2)求甲、乙两人同时入选的概率；
【答案】(1)分布列见解析，12
(2)
(1)
设甲答对的题目数量为随机变量X，则
得分为随机变量Y，
，，
，

Y
-15
0
15
30
P





(2)
设乙入选的事件为，则

甲入选的概率为
甲乙同时入选的概率为
题型4：超几何分布的综合应用
典型例题
例题1．（2022·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了所学校进行研究，得到如下数据：

(1)“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数都超过人的学校可以作为“参与冬奥运动积极学校”，现在从这所学校中随机选出所，记为选出“参与冬奥运动积极学校”的学校个数，求的分布列和数学期望；
(2)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、跳跃、停止”这个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这个动作中至少有个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学“滑行”这个动作达到“优秀”的概率均为，其余每个动作达到“优秀”的概率都为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)轮
【详解】（1）解：“单板滑雪”与“自由式滑雪”每项参与人数超过人的学校共所，的所有可能取值为、、、，
所以，，，，
所以的分布列如下表：










所以．
（2）解：记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件，
，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意可得，得到，因为，所以的最小值为，故至少要进行27轮测试．
例题2．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）近期，国家出台了减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担“双减”政策．为了坚决落实“双减”政策，提高教学质量，提升课后服务水平，某中心小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该中心小学三年级的10个班级并调查了解需要课后看护的学生人数，如下面频数分布表：
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
需看护学生人数
20
18
27
30
24
23
32
35
21
20
已知该中心小学每个班级50人，为了节约资源并保证每个看护教室有两名看护教师，该校计划：若需要课后看护的学生人数超过25人的班级配备1名班主任和1名其他科任教师；若需要课后看护的学生人数不超过25人的班级只配备1名班主任，但需要和另一个人数不超过25人的班级合班看护．
(1)若将上述表格中人数不超过25人的6个班两两组合进行课后看护，求班级代号为1，2的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的10个班级中随机抽取3个班，记3个班中需要课后看护的学生人数超过25人的班级数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）
解：若将上述表各中人数超过25人的6个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，
其中班级代号为1，2的两个班合班看护共种不同的方法．
记A表示事件“班级代号为1，2的两个班合班看护”，则其概率.
（2）
解：随机变量的可能取值为，
可得，，，，
则的分布列为：

0
1
2
3





所以数学期望
例题3．（2022·云南保山·统考模拟预测）某高中学校为了解学生的课外体育锻炼时间情况，在全校学生中随机抽取了200名学生进行调查，并将数据分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼达标，将平均每天课外体育锻炼时间在上的学生评价为锻炼不达标

(1)根据频率分布直方图估计这200名学生每天课外体育锻炼时间的众数、中位数；
(2)为了了解学生课外体育锻炼时间不达标的原因，从上述锻炼不达标的学生中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这三人中每天课外体育锻炼时间在的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)中位数为，众数等于25
(2)分布列见解析，0.9
（1）
众数就是直方图中最高矩形底边中点的横坐标，则样本众数等于25．
由频率分布直方图可得，在上的频率为0.08，在上的频率为0.16，在上的频率为0.32，，则中位数在区间上．
设中位数为，则，，即样本中位数为．
（2）
根据题意，在，，，上抽取的人数分别为1，2，4，3，其中在上抽取的人数为3，则，1，2，3．，
．
从而得到随机变量的分布列如下表：

0
1
2
3
P




随机变量的期望
例题4．（2022·四川德阳·统考二模）2021年9月以来，多地限电的话题备受关注，广东省能源局和广东电网有限责任公司联合发布《致全省电力用户有序用电、节约用电倡议书》，目的在于引导大家如何有序节约用电.某市电力公司为了让居民节约用电，采用“阶梯电价”的方法计算电价，每户居民每月用电量不超过标准用电量（千瓦时）时，按平价计费，每月用电量超过标准电量（千瓦时）时，超过部分按议价计费.随机抽取了100户居民月均用电量情况，已知每户居民月均用电量均不超过450度，将数据按照，，…分成9组，制成了频率分布直方图（如图所示）.

(1)求直方图中的值；
(2)如果该市电力公司希望使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准（千瓦时）的值；
(3)在用电量不小于350（千瓦时）的居民样本中随机抽取4户，若其中不小于400（千瓦时）的有户居民，求的分布列.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析.
(1)
解：由题得
解得.
所以直方图中的值为.
(2)
解：由频率分布直方图得月均用电量小于250（千瓦时）的居民家庭所占百分比为：
，
同理，的居民用电量小于300（千瓦时）
所以，
所以，解得（千瓦时）.
所以若使85%的居民每月均能享受平价电费，请估计每月的用电量标准（千瓦时）的值
(3)
解：根据频率分布直方图，样本中用电量不小于350（千瓦时）的居民共有（户），
不小于400（千瓦时）的有户居民（户），
所以随机变量的可能取值为，
，，，
所以随机变量的分布列为：








同类题型演练
1．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考一模）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】(1)，68
(2)分布列见解析，
(3)，，1，3，，40，40
（1）
由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，
，解得．
（2）
，，，，，的三组频率之比为，
从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3





故．
（3）
等级的概率为，
，，1，3，，100，
令①，②，
由①可得，，解得，由②可得，，解得，
故时，取得最大．
2．（2022·陕西·统考模拟预测）2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．截至2019年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1109万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2019年的0.6%，连续8年每年减贫规模都在500万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤，某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．

(1)求出频率分布直方图中的的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
(2)现从这50户2019年的家庭人均年纯收入在之间的家庭中任抽取3户进行调查，进一步了解家庭生活情况，设抽取的家庭人均年纯收入在的户数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)，平均数为
(2)分布列见解析，
(1)，.
平均数为.
(2)有户，
有户，
共有户.
的可能取值为，
，
，
所以分布列为：










.
3．（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜(因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展)，市从该地区小学生中随机抽取容量为的样本，其中因近视佩戴眼镜的有人(其中佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生).
（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
（2）从这名戴角膜塑形镜的学生中，选出个人，求其中男生人数的分布列；
（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数的期望和方差.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析；（3）期望是，方差是.
【详解】解：（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：








（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
4．（2022·四川泸州·泸县五中校考二模）期中考试后，老师把学生的成绩分为较低､及格(不含优秀)､优秀三类，制成下表.
类别
较低
及格
优秀
人数
7


其中低分率与优秀率分别是与.
（1）求全班人数及，的值；
（2）老师重点关注成绩较低的及成绩优秀的学生，利用课外时间给他们的家长打电话做电话家访，为了保证电话家访的质量，他每天随机打给三位学生的家长，求在第一天老师抽取的三位学生中成绩优秀者的人数X的分布列及数学期望.
【答案】（1）全班人数为50人，，；（2）分布列见解析，.
【详解】解：（1），，.
（2）需要家访的共11人，其中成绩优秀的有4人，依题意可得所有可能的取值为.
；；
；，
X
0
1
2
3
P




.
三、高考（模拟）题体验
1．（多选）（2022·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（    ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
2．（2022·福建龙岩·统考模拟预测）某产品有5件正品和3件次品混在了一起（产品外观上看不出有任何区别），现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为___________.
【答案】
【详解】设取出的3件产品中次品的件数为X，3件产品中恰好有一件次品的概率为.
故答案为：.
3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为A，B两个等级（见下表）
等级
A
B
询单转化率
[70%，90%）
[50%，70%）
人数
6
4
视A，B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值，完成下列两个问题的解答；
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率；
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】(1)(2)
（1）
依题意得：A，B等级客服的询单转化率分别为，
设事件C表示“这4人的询单转化率的中位数不低于70%”，
A等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4，
对应每种情况的询单转化率中位数分别为，
故；
（2）
设改革前后A等级客服的接待顾客人数分别为Y，Z
改革前，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
因为A，B等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为，
改革后，每位进店咨询顾客被A等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为，
由得：，①
因为每位顾客被一位A等级客服接待的概率为，所以每位顾客被一位B等级客服接待的概率为，
则，解得：，②
由①②得：，所以a应该控制在
4．（2022·广西河池·校联考模拟预测）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值：
(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
（1）由频率分布直方图得：.解得；
（2）由频率分布直方图得：
这1000名学生中日平均阅读时间在，两组内的学生人数之比为，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取（人）
在日平均阅读时间在内的学生中抽取4人，
现从这10人中随机拍取3人，则服从超几何分布，其可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列为：

0
1
2
3





.
5．（2022·北京东城·统考二模）某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示．

(1)从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；
(2)从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：
(3)由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析；数学期望
(3)自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小
（1）由折线图可知：从年到年中，该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的共有个；
所求概率.
（2）从年到年这年中，女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值的年份有个；
所有可能的取值为，
；；；
则的分布列为：








的数学期望.
（3）由折线图知：自年开始的连续三年视力平均值接近且连续三年数据相差不大，
自年开始的连续三年，名学生的视力平均值波动幅度最小，
则自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小.
6．（2022·北京顺义·统考二模）为了解顺义区某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的（）班（）班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽名学生进行身体素质监测.经统计，每班名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下：（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（）班的名学生中抽出人，设表示人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望
(3)
（1）抽取的人中，身体素质监测成绩达到优秀有人，
从高一年级学生中任意抽测人，该生身体素质监测成绩达到优秀的概率.
（2）由散点图可知：高一（）班的名学生中，身体素质监测成绩达到优秀的人数为人，
所有可能的取值为，
；；；
则的分布列为：








数学期望.
（3）由散点图知：，，；
，，；
，，；
，，；
.
7．（2022·河南·统考三模）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图.

(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率；
(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲､乙､丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲､乙､丙抢购成功的概率分别为0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为X，求X分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(1)由频率分布直方图可得，二级品的频率为，
一级品的频率为
按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级､一级口罩个数分别为6、2，
故事件“至少有一个一级品”的概率.
(2)
由题知X的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，

所以X分布列为
X
0
1
2
3
P
0.504
0.398
0.092
0.006
.
8．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.

(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)有效，理由见解析
（1）解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，
由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.
（2）解：由可得，
所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，
故随机变量的可能取值有、、、，
，，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：










因此，.
（3）解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，
所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.