高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布精品巩固练习

7.5 正态分布 （精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础 

一、单选题

1．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）某次数学考试成绩近似服从正态分布，若，则可以估计考试成绩大于或等于80分的概率为（    ）

A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744

【答案】C

【详解】由正态分布的对称性可知：，

故估计考试成绩大于或等于80分的概率为.

故选：C

2．（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】因为，

由正态分布的对称性可得，故B正确，A错误，

而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误.

故选：B．

3．（2022春·浙江宁波·高二效实中学校考期中）在某地举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有14名．参加此次数学竞赛的学生数大约为（    ）

参考数据：；；

A．1200 B．900 C．600 D．300

【答案】C

【详解】用表示参赛学生的竞赛成绩，

由已知可得全体参赛学生的竞赛成绩,所以，，

则，

即 ，

则参加此次数学竞赛的学生数大约为，

故选：C.

4．（2022·全国·高三专题练习）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ）

（注：正态曲线的函数解析式为，）

A．甲类水果的平均质量

B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大

D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数

【答案】A

【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，

所以，，，故A正确，C错误；

因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中），

所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；

因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误．

故选：A．

5．（2022秋·上海黄浦·高三上海市光明中学校考期中）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且，

可得随机变量的方差为，即，所以A错误；

对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，

所以，所以B错误；

对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，

所以，所以C正确；

对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，

即，所以D错误.

故选：C.

6．（2022·全国·高三专题练习）设随机变量M服从正态分布，且函数没有零点的概率为，函数有两个零点的概率为，若，则（    ）

A．17 B．10 C．9 D．不能确定

【答案】A

【详解】解：因为函数没有零点，

所以，解得，

又因随机变量M服从正态分布，且，

所以正态曲线关于对称，

因为函数有两个零点，

所以，解得，则，

又，

所以与关于对称，

所以.

故选：A.

7．（2022春·福建福州·高二校联考期末）已知随机变量服从正态分布，函数，则（    ）

（参考数据：；）

A．是偶函数 B．的图象关于对称

C．的图象关于对称 D．方程有解

【答案】B

【详解】因为，则

，

故函数的图象关于直线对称，AC均错，B对；

由于正态密度曲线呈现中间高两边低的形状，且关于直线对称，

故，

因此，无解，D错.

故选：B.

8．（2022秋·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知函数在R上单调递增的概率为，且随机变量．则等于（    ）

[附：若，则，

．]

A．0.1359 B．0.1587 C．0.2718 D．0.3413

【答案】A

【详解】使在R上单调递增的充要条件是，即，故.

由于随机变量，则，即，即，.

故，

，

所以

．

故选：A．

二、多选题

9．（2022秋·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，若从中随机取一件，

则下列结论正确的是（    ）．

（附：若随机变量服从正态分布，则，，．

A．

B．长度误差落在内的概率为0.6826

C．长度误差落在内的概率为0.1359

D．长度误差落在内的概率为0.1599

【答案】ABC

【详解】由图中密度函数解析式，可得，A选项正确；

又由图像可知，

则长度误差落在内的概率为

，B选项正确；

长度误差落在内的概率为

，C选项正确；

长度误差落在内的概率为

，D选项错误；

故选：ABC.

10．（2022春·辽宁大连·高二统考期末）坐式高拉训练器可以锻炼背阔肌，斜方肌下束.小明是一个健身爱好者，他发现健身房内的坐式高拉训练器锻炼人群的配重（单位：）符合正态分布，下列说法正确的是（    ）

（参考数据：，，）

A．配重的平均数为

B．

C．

D．10000使用该器材的人中，配重超过的有135人

【答案】ABC

【详解】因为配重（单位：）符合正态分布，

所以，

所以配重的平均数为

所以AC正确，

对于B，因为，

所以

，所以B正确，

对于D，因为

，

所以10000使用该器材的人中，配重超过的有

（人），所以D错误，

故选：ABC

三、填空题

11．（2022·全国·高三专题练习）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸服从正态分布，若x落在内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为___________.（附：若随机变量服从正态分布，则，，.）

【答案】455

【详解】解：由正态分布可知：，，，，

，，

直径高于的个数大约为.

故答案为：455

12．（2022·全国·高二专题练习）随机变量服从正态分布，，，则的最小值为___________.

【答案】##

【详解】随机变量服从正态分布，∴，

由，得，

又，

∴，且，，

则．

当且仅当，即，时等号成立．

∴的最小值为．

故答案为：．

四、解答题

13．（2022·全国·高三专题练习）为了响应2022年全国文明城市建设的号召，某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会.该市文明办随机抽取了人的得分（满分：分），统计结果如下表所示：

(1)若此次调查问卷的得分服从正态分布，近似等于样本的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替），求；

(2)该市文明办为鼓励市民积极参与调查问卷，规定：调查问卷得分不低于的可以用本人手机随机抽取次手机话费奖励，次抽取互不影响，有三种话费奖励金额，每种金额每次被抽到的概率如下表：

如果某市民参加调查问卷的得分不低于，记“该市民获得手机话费奖励总金额为”.

（i）求时的概率；

（ii）证明：.

参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）证明见解析

【详解】（1）这人的平均成绩为，

所以近似等于，

故；

（2）（i）当时，次抽取话费的金额情况是有两次抽到元，一次抽到元，

因为每次抽取是相互独立的，所以，

（ii）证明：由题意知的所有可能取值为，，，，，，，，，，则，

又，

，

，

，

由（1）知，，

所以，

又，

所以，

即，所以.

14．（2022·全国·高三专题练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等笑，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以党为样本绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

（ⅰ）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值．

附参考数据：若随机变量X服从正态分布，

则，，．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）1587，（ⅱ）分布列见解析；均值为

（1）获三等奖的频率为，获二等奖的频率为，获一等奖的频率为，

所以获奖学生占样本学生人数的概率为，

所以样本中有30人获奖，70认没有获奖，

则现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率为

（2）（ⅰ）

，

所以X近似服从正态分布

故，所以，

所以，

故该市共有10000名学生参加了竞赛，估计参赛学生中成绩超过79分的学生数为1587；

（ⅱ）因为竞赛成绩均值为64分，故64分以上的学生数，

所以，，，，

所以随机变量的分布列如下：

均值为

 B能力提升 

15．（2022春·山东临沂·高二统考期末）在某种产品的生产过程中，需对该产品的关键指标进行检测，为保障产品质量，检验员在一天的生产中定期对生产线上的产品进行检测，每次检测要从该产品的生产线上随机抽取16件测量其关键指标数据.根据生产经验，可以认为这条产品生产线正常状态下生产的产品的关键指标数据服从正态分布，在检测中，如果有一次出现了关键指标数据在之外的产品，就认为这条生产线在这一天的生产过程出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查.

(1)下面是检验员在一次抽取的16件产品的关键指标数据：

经计算得，，其中为抽取的第件产品的关键指标数据，.用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？

(2)如果某一天内进行了四次检测，若出现两次以上（含两次）生产过程检查，则需停止生产并对生产设备进行检修.试求该天需对生产设备进行检修的概率（精确到0.01）.

附：若随机变量服从正态分布，则，

，，，

【答案】(1)需要

(2)

（1）解：由, ，得的估计值为，的估计值为，

则，，

又，

即由样本数据可以看出有一件产品的关键指标数据为在（即）之外，

因此需对本次的生产过程进行检查．

（2）解：设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件，

则，

依题意，需对生产设备进行检修的概率

，

故一天中需对生产设备进行检修的概率为．

16．（2022·全国·高三专题练习）李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份水果的重量服从期望为1000克，标准差为50克的正态分布，李师傅从2022年3月1日至6月8日连续100天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在（单位：克）上的有60份，重量在（单位：克）上的有40份.

(1)李师傅的儿子刚参加完2022年高考，准备于6月9日在家中招待几名同学，李师傅为此在平台上网购了4份水果，记这4份水果中，重量不少于1000克的有份，试以这100天的频率作为概率，求的分布列与数学期望；

(2)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.记李师傅这100天购买的每份水果平均重量为克，试利用该结论来解决下面的问题：

①求；

②如果李师傅这100天得到的水果的重量都落在（单位：克）上，且每份水果重量的平均值，李师傅通过分析，决定向有关部门举报该平台商家卖出的水果缺斤少两，试从概率角度说明李师傅的举报是有道理的.

附：①随机变量服从正态分布，则②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不㕕发生.

【答案】(1)分布列见解析，

(2)①；②见解析

（1）X的所有取值为，因为重量不少于1000克的概率为，所以，，则的分布列为

.

（2）①由题意知，因为，所以，因为，

又因为，所以，所以.

②由①知，这100天收到的每份水果重量的平均值，而，

所以概率为的事件是小概率事件，小概率事件基本不会发生，因此，李师傅的举报是有道理的.

C综合素养

17．（2022·全国·高三专题练习）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.

举例说明.

某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学科的转换等级分为，，求得.

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.

（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；

（ii）求物理原始分在区间的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.

（附：若随机变量，则，，）

【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.

【详解】（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，

，

求得.

小明转换后的物理成绩为83分；

（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，

所以

.

所以物理原始分在区间的人数为（人）；

（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，

随机抽取4人，则.

，，

，，

.

的分布列为

数学期望.

18．（2021·全国·高二专题练习）2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）

（1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；

（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，并已求得．该厂决定将消毒液分为，，级三个等级，其中质量指标值不高于2.6的为级，高于38.45的为级，其余为级，请利用该正态分布模型解决下列问题：

（ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中级消毒液的总瓶数；

（ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价（单位：元/瓶）的关系如下表所示：

假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由．

附：若，则，，．

【答案】（1）26.5；；答案见解析；（2）（ⅰ）级消毒液有81860瓶；（ⅱ）甲厂能在半年之内收回投资．理由见解析.

【详解】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为

．

设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为，

则，解得．

统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）

①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当；

②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．

③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．

④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25．

⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为．

⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．

（2）（ⅰ）

，

因为，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，级消毒液有81860瓶．

（ⅱ）设每瓶消毒液的利润为元，则的可能取值为10，5，，

，

由（ⅰ）知，

所以，故的分布列为

所以每瓶消毒液的平均利润为（元），

故生产半年消毒液所获利润为（千万元），

而5．5885（千万元）4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．