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【易错精编讲义】苏教版数学六年级下册：第6讲《圆锥的体积》知识梳理讲义+易错练习
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这是一份【易错精编讲义】苏教版数学六年级下册：第6讲《圆锥的体积》知识梳理讲义+易错练习，共24页。试卷主要包含了圆锥的体积，圆柱和圆锥的关系等内容，欢迎下载使用。
第6讲 圆锥的体积（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、圆锥的体积。
圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的。圆锥的体积计算公式是V圆锥=V圆柱=Sh。
温馨提示：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高。
2、圆柱和圆锥的关系。
（1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积少23。
（2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。
（3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。
掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。
1、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。
2、不是任何一个圆锥的体积都是圆柱的三分之一，只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。
3、明确等体积变化的问题，解决此类问题注意体积不变，只是形状发生了改变。
【易错一】一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降（ ）厘米。
A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
【解题思路】根据题意，水面下降的部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积；代入数据，即可求出杯中的水面会下降多少厘米。
【完整解答】3.14×（12÷2）2×18×÷（3.14×122）
＝3.14×36×18×÷（3.14×144）
＝113.04×18×÷452.16
＝2034.72×÷452.16
＝678.24÷452.16
＝1.5（厘米）
一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降1.5厘米。
故答案为：B
【易错点】熟练掌握和利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
【易错二】把一个高为的圆柱截成两个相等的小圆柱后，表面积增加，把这样的一个小圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )。
【解题思路】把一个高是的圆柱截成两个相等的小圆柱后，增加的表面积为圆柱底面积的2倍，根据圆柱的体积公式，算出大圆柱的体积；小圆柱的底面积不变，高为原来圆柱高的，根据圆柱的体积公式，先算出小圆柱的体积，再乘即为圆锥的体积，由此即可解答。
【完整解答】6×（30÷2）××
＝6×15××
＝15（）
【易错点】此题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，抓住圆柱的切割特点得出圆柱的底面积是解决本题的关键。
【易错三】一个底面半径为12厘米的圆柱形水槽中装有水，将一个底面半径为6厘米的圆锥形铅块完全没入水槽中，水面升高6厘米。这个铅块高是多少厘米？
【解题思路】根据题干，这个圆锥形铅块的体积就是上升6厘米的水的体积，上升这部分水的体积可看作底面半径为12厘米，高为6厘米的圆柱的体积，由圆柱的体积公式：V＝求出，即可得到圆锥形铅块的体积。再通过圆锥的体积公式：V＝，代入体积即可求出这个铅块的高度。
【完整解答】3.14×122×6
＝3.14×144×6
＝2712.96（立方厘米）
2712.96÷（×3.14×62）
＝2712.96÷（×3.14×36）
＝2712.96÷37.68
＝72（厘米）
答：这个铅块高是72厘米。
【易错点】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥铅块的体积是本题的关键。
【易错四】如图，直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米。
（1）请算出这个直角三角形的面积。
（2）分别绕这个直角三角形的两条直角边旋转一周，能够形成两个圆锥，请算出体积较大的那个圆锥的体积。
（3）笑笑有3厘米、4厘米、5厘米的小棒若干根，他设计了如图的拼图方案：
照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒（ ）根，第个图形需要小棒（ ）根。
【解题思路】（1）直角三角形中斜边大于任意一条直角边，所以两条直角边分别是3cm、4cm，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算即可。
（2）由题可知，以3cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是4cm、高为3cm，以4cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是3cm、高为4cm，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据分析即可。
（3）第①个图形需要3根小棒，即（1×2＋1）根；
第②个图形需要5根小棒，即（2×2＋1）根；
第③个图形需要7根小棒，即（2×3＋1）根；
……
第⑧个图形需要（2×8＋1）根小棒，即17根；
……
所以，第a个图形需要（2a＋1）根小棒。
【完整解答】（1）3×4÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
答：三角形的面积是6平方厘米。
（2）以3cm长的直角边为轴旋转一周：
×3.14××3
＝3.14×16
＝50.24（立方厘米）
以4cm长的直角边为轴旋转一周：
×3.14××4
＝3.14×12
＝37.68（立方厘米）
50.24＞37.68
答：较大的那个圆锥的体积是50.24立方厘米。
（3）由分析可知：
第⑧个图形所需小棒：
2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
第a个图形所需小棒：（2a＋1）根。
所以，照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒17根，第个图形需要小棒（2a＋1）根。
【易错点】解决本题的关键是熟悉圆锥的特征，掌握圆锥的体积公式，分析图形找出小棒根数和图形中三角形个数的变化规律。
一、选择题
1．一个圆锥体积是12.6立方分米，底面积是6平方分米，高是（ ）。
A．6.3分米 B．2.1分米 C．12.6分米
2．圆柱和圆锥的体积和高都相等，圆柱和圆锥的底面积之比是（ ）。
A．1∶1 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶9
3．下图是一瓶已经喝了一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯。图中h＝h1，d＝d1。如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满（ ）杯。（容器壁厚度忽略不计）
A．2 B．4 C．6
4．一根体积为120立方分米的圆柱体木料，把它削成一个最大的圆锥。圆锥的体积是（ ）立方分米。
A．40 B．60 C．80
5．一个圆柱形容器的底面半径是10cm，水深8cm，把一块底面半径为4cm圆锥形铅锤完全浸没到水中后，水面上升了3cm，这个铅锤的体积是（ ）cm3。
A．942 B．314 C．50.24 D．2512
6．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体。圆柱体的体积是圆锥体体积的（ ）。
A． B． C． D．3倍
7．下面物体①、②、③的底面积相等，④、⑤的底面积是①的3倍：物体①、②、④、⑤的高都相等，物体③的高是其他物体的3倍。和物体②的体积相等的是（ ）。
A．③和⑥ B．③和④ C．④和⑥ D．只有③
8．一个圆柱和一个圆锥的底相等，体积也相等。圆柱的高是1.8分米，圆锥的高是（ ）分米。
A．0.6 B．5.4 C．1.8
二、填空题
9．将一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果削去部分的体积是12.56立方分米，那么原来圆柱的体积是( )立方分米。
10．一块橡皮泥能捏一个底面半径为3cm，高5cm的圆柱，若捏等底的圆锥，高为( )cm，我还可以捏成一个长( )cm，宽( )cm，高( )cm的长方体。
11．看图填空。
① ②
(1)图②是图①按( )∶( )的比缩小得到的。图②与图①面积的比是( )。
(2)将图②绕一条直角边旋转一周，形成的立体图形的体积最大是( )cm3。
12．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )厘米。
13．用一块原木制作一个陀螺（如图），削去部分的体积是( )立方厘米。
14．一个圆锥体的底面直径和高都扩大3倍，体积就扩大( )倍。
15．两个大小相同的量杯中，都盛有400mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如右下图所示。则圆柱的体积是( )cm3，乙量杯中水面刻度应是( )mL。
16．用一个高30厘米的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。（容器厚度忽略不计）
三、判断题
17．圆柱和圆锥底面积和体积都相等，它们高的比是1∶1。( )
18．一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。( )
19．一个圆锥和一个圆柱等底等高，体积相差16立方厘米，那么这个圆锥的体积是8立方厘米。( )
20．一个圆锥的体积是30立方分米，底面积是10平方分米，则圆锥的高是3分米。( )
四、计算题
21．求组合图形的体积。
22．计算下面图形的体积。
五、解答题
23．一个圆锥形的砂堆，高0.8米，底面直径是6米。如果每立方米的砂子约重1.5吨，那么这堆砂子约重多少吨？
24．一个圆柱形容器，底面直径为40厘米，高32厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径为10厘米的圆锥形铅锤完全浸没在容器中，容器中的水面升高了2厘米，这个圆锥的高是多少？（容器壁的厚度忽略不计）
25．测量经常使用铅锤，下面这个圆锥形铅锤是用某种金属制成的，这种金属每立方厘米约重8克，这个铅锤大约重多少克？
26．一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
27．一个无盖的圆柱形铁皮桶，放入一个圆锥铁块，然后装满水。请根据问题选择需要的信息，进行解答。
①桶的底面直径6分米； ②桶的高5分米；
③圆锥的底面直径3分米； ④取出圆锥铁块后，水面距离桶沿3厘米。
（1）制作这个铁皮桶至少需要铁皮多少平方分米？
（2）圆锥铁块的体积是多少立方分米？
28．如图一个蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。
（1）这个蒙古包的占地面积是多少平方米？
（2）这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
29．红红有一块体积是1立方分米的橡皮泥，在手工课上，红红把这块橡皮泥做成一个圆柱体模型和一个与圆柱体底面积相等，高也相等的围锥体模型，圆柱体模型和圆锥体的体积比是多少？圆锥体模型体积是多少？
30．在奇奇郊游的地方有一个儿童乐园，里面有一个底部平整的圆柱沙坑（如图所示）。
（1）奇奇想知道里面沙子的体积，需要从下面信息中选择的数据是（ ）填序号。
①沙坑直径4米
②沙坑周长12.56米
③沙坑高度1.2米
④沙坑里面沙的厚度0.4米
⑤每立方米沙子的重量约1.5吨
（2）根据上面的信息，计算出沙坑里沙子的质量。
（3）奇奇和妙妙一起用沙滩车装沙子堆城堡，沙滩车的车厢是长方体（如图所示）。这个长方体车厢从里面量，长30厘米，宽18厘米，高5厘米。用这样一车厢沙子堆一个近似的圆锥，高度大约是20厘米，它的底面积是多少平方厘米？
参考答案
1．A
【解题思路】根据圆锥的体积公式求解。
【完整解答】12.
（分米）
故答案为：A。
【易错点】掌握圆锥的体积公式是解题的关键。
2．B
【解题思路】由圆柱的体积＝底面积×高，可知圆柱的底面积＝体积÷高；由圆锥的体积＝底面积×高×，可知圆锥的底面积＝×体积÷高；进而求出它们底面积的比。
【完整解答】设圆柱和圆锥的体积为V，高都为h
圆柱的底面积＝V÷h＝
圆锥的底面积＝V÷÷h＝
圆柱的底面积∶圆锥的底面积
＝∶
＝1∶3
则圆柱和圆锥的底面积之比是1∶3。
故答案为：B
【易错点】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
3．C
【解题思路】根据图和题意，果汁部分和容器外壁形成了圆柱形，玻璃杯是圆锥形，并且圆柱和圆锥底面积相等。圆柱的高为2h，圆锥的高为h。据此，将底面积设为S，再分别将果汁和玻璃杯的体积求出，最后利用除法求出最多可以倒多少杯。
【完整解答】假设瓶子和玻璃杯的底面积均为S，那么有：
S×2h÷（S×h÷3）
＝S×2h÷S÷h×3
＝6（杯）
所以，最多可以倒满6杯。
故答案为：C
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积，解题关键是熟记公式。
4．A
【解题思路】根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，要把圆柱削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是圆柱的。据此解答。
【完整解答】120×＝40（立方分米）
圆锥的体积是40立方分米。
故答案为：A
【易错点】本题考查了圆柱、圆锥的体积以及它们之间的关系。
5．A
【解题思路】由题意可知，铅锤的体积等于上升部分水的体积，则铅锤的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。
【完整解答】3.14×102×3
＝3.14×100×3
＝314×3
＝942（cm3）
故答案为：A
【易错点】把铅锤的体积转化为上升部分水的体积并熟记圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。
6．D
【解题思路】削成的最大圆锥和圆柱等底等高，据此根据圆柱和圆锥的体积关系，解题即可。
【完整解答】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，说明这个圆柱和圆锥是等底等高的，因此圆柱的体积是圆锥体体积的3倍。
故答案为：D
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，所以等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
7．B
【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh÷3，设①、②的底面积是1，高是1，则③的底面积是1，高是3；④、⑤的底面积是3，高是1，分别算出体积，再比较大小即可。
【完整解答】①的体积：1×1÷3＝
②的体积：1×1＝1
③的体积：1×3÷3＝1
④的体积：3×1÷3＝1
⑤的体积：3×1＝3
所以和②的体积相等的是③和④。
故答案为：B
【易错点】本题用设数法解答比较简便。解答本题的关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式。
8．B
【解题思路】根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h可知，当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍。
【完整解答】1.8×3＝5.4（分米）
故答案为：B
【易错点】掌握当圆柱、圆锥等体积等底时，圆柱和圆锥的高的关系是解题的关键。
9．18.84
【解题思路】将一个圆柱削成一个最大的圆锥，可知圆柱和圆锥是等底等高的，根据等底等高的圆柱形的体积是圆锥体积的3倍，削去的体积是圆锥的2倍，除以2求出圆锥的体积，再乘3可求出圆柱的体积，据此解答即可。
【完整解答】12.56÷（3－1）×3
＝12.56÷2×3
＝6.28×3
＝18.84（立方分米）
【易错点】解答本题的关键是明确等底等高的圆柱形的体积是圆锥体积的3倍。
10． 15 9 5 3.14
【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，和圆锥的体积公式：V＝Sh，橡皮泥的体积不变，底面积不变，所以等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的高的3倍。代入数据求出圆锥的高；根据圆柱的体积公式求出这块橡皮泥的体积，再利用长方体的体积公式，即可求出长方体的长、宽、高。（答案不唯一）
【完整解答】5×3＝15（cm）
即圆锥的高为15cm。
3.14×32×5
＝3.14×9×5
＝141.3（cm3）
长、宽、高的数据不唯一，只需满足体积是141.3cm3即可。因为9×5×3.14＝141.3，所以可捏成长为9cm，宽为5cm，高为3.14cm的长方体。
【易错点】此题的解题关键是抓住等积变形的原则，灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。
11．(1) 1 5 1∶25
(2)50.24
【解题思路】（1）把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n；如果把图形按照1∶n缩小，则面积按12∶n2缩小，据此分析。
（2）直角三角形绕一条直角边旋转一周，形成的图形是圆锥，两条直角边分别对应圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别求出绕3cm和4cm旋转形成的圆锥的体积，比较出最大的即可。
（1）
4cm∶20cm＝1∶5
12∶52＝1∶25
图②是图①按1∶5的比缩小得到的。图②与图①面积的比是1∶25。
（2）
3.14×32×4÷3
＝3.14×9×4÷3
＝37.68（cm3）
3.14×42×3÷3
＝3.14×16
＝50.24（cm3）
50.24＞37.68
将图②绕一条直角边旋转一周，形成的立体图形的体积最大是50.24cm3。
【易错点】关键是熟悉圆锥特征，掌握圆锥体积公式，图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等。
12．4
【解题思路】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出甲容器的体积，甲容器的水倒入乙容器，体积不变，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。
【完整解答】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2]
＝3.14×25×12×÷[3.14×25]
＝12×
＝4（厘米）
【易错点】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。
13．25.12
【解题思路】由图可知，下方圆锥的高为：10－7＝3（厘米），根据图中底面直径可以求出底面半径为：4÷2＝2（厘米）。将圆锥部分未削之前的圆柱的体积看作单位“1”，削成后的圆锥是原来圆柱体积的，那么削去部分的体积占原来圆柱体体积的（1－），根据圆柱的体积公式可以求出原来的圆柱体积，列式为：3.14×22×3，得到结果为37.68立方厘米，再用求出的体积乘（1－）即是削去部分的体积。
【完整解答】10－7＝3（厘米）
4÷2＝2（厘米）
3.14×22×3×（1－）
＝3.14×4×3×
＝12.56×3×
＝37.68×
＝25.12（立方厘米）
【易错点】本题考查了用分数乘法解决圆柱和圆锥的体积问题。
14．27
【解题思路】根据圆面积公式可知，圆面积扩大的倍数是直径扩大倍数的平方倍，根据圆锥的体积公式可知，圆锥体积扩大的倍数是底面积扩大的倍数乘高扩大的倍数。
【完整解答】3×3＝9
圆锥的底面直径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍，高扩大到原来的3倍；
则体积扩大到原来的9×3＝27倍。
【易错点】熟练掌握圆锥的体积计算公式是解决本题的关键。
15． 150 450
【解题思路】将圆柱放入左图中，水面上涨的部分为圆柱的体积，那么用550mL减去400mL，即可求出圆柱的体积。将圆柱的体积除以3，求出和它等底等高圆锥的体积，用400mL加上圆锥的体积，求出右图乙量杯中的水面刻度。
【完整解答】圆柱体积：550－400＝150（mL）＝150（cm3）
乙量杯刻度：
150÷3＋400
＝50＋400
＝450（mL）
所以，圆柱的体积是150cm3，乙量杯中水面刻度应是450mL。
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积，圆柱的体积是等底等高圆锥体积的3倍。
16．10
【解题思路】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，圆柱的体积公式：V＝ Sh，圆锥容器中的水和圆柱中的水的体积相等，据此解答即可。
【完整解答】×30＝10（厘米）
【易错点】本题考查圆锥和圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。
17．×
【解题思路】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；即可求出圆柱的高与圆锥的高的比。
【完整解答】设圆柱的底面积为S，高为h1；圆锥的高为h2，则圆锥的底面积是S。
Sh1＝Sh2
h1＝h2
h1∶h2＝1∶3
若一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，则这个圆柱和圆锥高的比是1∶3。
原题干说法错误。
故答案为：×
【易错点】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，以及比的意义进行解答。
18．√
【解题思路】根据圆柱体积公式：V＝Sh，圆锥体积公式：V＝Sh，若把圆锥体积看作单位“1”，则同底等高的圆柱体积是该圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答即可。
【完整解答】由分析可得：
同底等高时，圆柱高是7厘米，
则圆锥高为：7×3＝21（厘米）
综上所述：一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。
故答案为：√
【易错点】本题考查了同底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。
19．√
【解题思路】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱比圆锥的体积大2倍，由此即可解答。
【完整解答】16÷（3−1）
＝16÷2
＝8（立方厘米）
圆锥的体积是8立方厘米，原题说法正确。
故答案为：√
【易错点】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。
20．×
【解题思路】根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此解答。
【完整解答】30×3÷10
＝90÷10
＝9（分米），圆锥的高是9分米。原题说法错误。
故答案为：×
【易错点】此题考查了圆锥体积公式的灵活运用，注意求圆锥的底面积或高，需要先让体积×3再计算。
21．84.78cm3
【解题思路】圆锥的体积计算公式“”，把图中数据代入公式表示出上下两个圆锥的体积，再求出它们的和，据此解答。
【完整解答】×（6÷2）2×3.5×3.14＋×（6÷2）2×5.5×3.14
＝×9×3.5×3.14＋×9×5.5×3.14
＝3×3.5×3.14＋3×5.5×3.14
＝（3.5＋5.5）×3×3.14
＝9×3×3.14
＝27×3.14
＝84.78（cm3）
所以，组合图形的体积为84.78cm3。
22．21980立方厘米
【解题思路】由图可知，组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；根据圆柱的体积公式V＝，圆锥的体积公式V＝，代入数据计算即可。
【完整解答】3.14×＋
＝3.14×100×60＋3.14×100×10
＝3.14×（6000＋1000）
＝3.14×7000
＝21980（立方厘米）
23．11.304吨
【解题思路】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆圆锥形砂子的体积，再乘1.5，即可求出这堆砂子有多重。
【完整解答】3.14×（6÷2）2×0.8××1.5
＝3.14×9×0.8××1.5
＝28.26×0.8××1.5
＝22.608××1.5
＝7.536×1.5
＝11.304（吨）
答：这堆砂子约重11.304吨。
【易错点】本题考查圆锥的体积公式的应用，关键是熟记公式。
24．24厘米
【解题思路】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在圆柱形容器中，容器中的水面升高了2厘米，那么水上升部分的体积等于圆锥形铅锤的体积；水上升部分是一个底面直径为40厘米，高为2厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也是圆锥的体积；然后根据圆锥的底面积S＝πr2，求出圆锥的底面积；由圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出这个圆锥的高。
【完整解答】水上升部分的体积（圆锥的体积）：
3.14×（40÷2）2×2
＝3.14×400×2
＝3.14×800
＝2512（立方厘米）
圆锥的底面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圆锥的高：
2512×3÷314
＝7536÷314
＝24（厘米）
答：这个圆锥的高是24厘米。
【易错点】本题考查圆柱、圆锥的体积公式的灵活应用，明确放入圆锥形铅锤的体积等于水上升部分的体积是解题的关键。
25．200.96克
【解题思路】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出铅锤的体积，然后用铅锤的体积乘每立方厘米的重量即可解答。
【完整解答】×3.14×（4÷2）2×6×8
＝×3.14×4×6×8
＝×602.88
＝200.96（克）
答：这个铅锤大约重200.96克。
【易错点】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
26．100.48米
【解题思路】根据圆锥的体积公式，先求出圆锥的体积。将沙子铺在公路上后，沙子的体积没有发生变化，用沙子的体积除以公路的横截面面积，求出能铺多少米。
【完整解答】8÷2＝4（米）
3.14×42×1.2×
＝3.14×16×0.4
＝20.096（立方米）
2厘米＝0.02米
20.096÷（10×0.02）
＝20.096÷0.2
＝100.48（米）
答：能铺100.48米。
【易错点】本题考查了圆锥和长方体的体积。圆锥体积＝×底面积×高，长方体体积＝底面积×高。
27．（1）122.46平方分米
（2）8.478立方分米
【解题思路】（1）由题目可知，无盖圆柱铁皮桶的表面积＝侧面积＋一个底面积，已知桶的直径与高，根据公式：S＝πdh＋π（d÷2）2，代入数据解答；
（2）取出圆锥铁块后，水下降的体积＝圆锥的体积，求水下降的体积就是圆锥的体积。
【完整解答】（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2
＝3.14×30＋3.14×9
＝3.14×39
＝122.46（平方分米）
答：制作这个铁皮桶至少需要铁皮122.46平方分米。
（2）3厘米＝0.3分米
3.14×（6÷2）2×0.3
＝3.14×9×0.3
＝28.26×0.3
＝8.478（立方分米）
答：圆锥铁块的体积是8.478立方分米。
【易错点】此题考查了无盖圆柱的表面积以及等体积计算的理解。
28．（1）28.26平方米
（2）65.94立方米
【解题思路】（1）这个蒙古包的占地面是一个圆形，根据圆的面积公式即可求出它的占地面积；
（2）根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。
【完整解答】（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：这个蒙古包的占地面积是28.26平方米。
（2）28.26×2＋×28.26×（3－2）
＝56.52＋×28.26×1
＝56.52＋9.42
＝65.94（立方米）
答：这个蒙古包所占的空间是65.94立方米。
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积。圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。
29．3∶1；立方米
【解题思路】由题意可知，这个圆柱体和圆锥体等底等高，设它们的底面积是S，高是h，圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，用圆柱体的体积比上圆锥体体积，再化简即可；把这1立方分米的橡皮泥平均分成3＋1＝4份，圆锥体的体积占其中的1份，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出圆锥体的体积。
【完整解答】假设它们的底面积是S，高是h
Sh∶Sh
＝1∶
＝（1×3）∶（×3）
＝3∶1
1×＝（立方分米）
答：圆柱体模型和圆锥体的体积比是3∶1，圆锥体模型体积是立方米。
【易错点】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
30．（1）①④
（2）7.536吨
（3）405平方厘米
【解题思路】（1）求沙子的体积就用沙坑的底面积乘沙子的厚度即可；
（2）沙子的质量利用沙子的体积乘每立方米沙子的重量约1.5吨即可；
（3）先利用长方体的体积公式V＝abh计算求出沙子的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，利用圆锥的体积乘3除以高度就是底面积。
【完整解答】（1）奇奇想知道里面沙子的体积，需要从下面信息中选择的数据是①④。
（2）3.14×（4÷2）2×0.4×1.5
＝3.14×4×0.4×1.5
＝3.14×1.6×1.5
＝5.024×1.5
＝7.536（吨）
答：沙坑里沙子的质量是7.536吨。
（3）30×18×5×3÷20
＝30×18×15÷20
＝540×15÷20
＝405（平方厘米）
答：它的底面积是405平方厘米。
【易错点】本题考查了圆柱、长方体及圆锥体积公式的应用。
第6讲 圆锥的体积（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、圆锥的体积。
圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的。圆锥的体积计算公式是V圆锥=V圆柱=Sh。
温馨提示：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高。
2、圆柱和圆锥的关系。
（1）等底等高的圆柱与圆锥的体积比是3∶1，即圆柱的体积比圆锥的体积多2倍，也可以说圆锥的体积比圆柱的体积少23。
（2）等体积等高的圆柱与圆锥的底面积的比是1∶3。
（3）等体积等底面积的圆柱与圆锥的高的比是1∶3。
掌握好圆柱体积和圆锥体积的关系，能够相互运用求其中一个。
1、运用圆锥体积的计算公式时不要忘记乘。
2、不是任何一个圆锥的体积都是圆柱的三分之一，只有等底等高的圆柱和圆锥的体积才存在3倍的关系。
3、明确等体积变化的问题，解决此类问题注意体积不变，只是形状发生了改变。
【易错一】一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降（ ）厘米。
A．2 B．1.5 C．1 D．0.5
【解题思路】根据题意，水面下降的部分的体积等于这个圆锥形铁块的体积，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出铁块的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积；代入数据，即可求出杯中的水面会下降多少厘米。
【完整解答】3.14×（12÷2）2×18×÷（3.14×122）
＝3.14×36×18×÷（3.14×144）
＝113.04×18×÷452.16
＝2034.72×÷452.16
＝678.24÷452.16
＝1.5（厘米）
一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，里面有一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥形铁块（完全浸没在水中），当铁块从杯中取出后，杯中的水面会下降1.5厘米。
故答案为：B
【易错点】熟练掌握和利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
【易错二】把一个高为的圆柱截成两个相等的小圆柱后，表面积增加，把这样的一个小圆柱削成最大的圆锥，圆锥的体积是( )。
【解题思路】把一个高是的圆柱截成两个相等的小圆柱后，增加的表面积为圆柱底面积的2倍，根据圆柱的体积公式，算出大圆柱的体积；小圆柱的底面积不变，高为原来圆柱高的，根据圆柱的体积公式，先算出小圆柱的体积，再乘即为圆锥的体积，由此即可解答。
【完整解答】6×（30÷2）××
＝6×15××
＝15（）
【易错点】此题考查了圆柱和圆锥的体积公式的灵活应用，抓住圆柱的切割特点得出圆柱的底面积是解决本题的关键。
【易错三】一个底面半径为12厘米的圆柱形水槽中装有水，将一个底面半径为6厘米的圆锥形铅块完全没入水槽中，水面升高6厘米。这个铅块高是多少厘米？
【解题思路】根据题干，这个圆锥形铅块的体积就是上升6厘米的水的体积，上升这部分水的体积可看作底面半径为12厘米，高为6厘米的圆柱的体积，由圆柱的体积公式：V＝求出，即可得到圆锥形铅块的体积。再通过圆锥的体积公式：V＝，代入体积即可求出这个铅块的高度。
【完整解答】3.14×122×6
＝3.14×144×6
＝2712.96（立方厘米）
2712.96÷（×3.14×62）
＝2712.96÷（×3.14×36）
＝2712.96÷37.68
＝72（厘米）
答：这个铅块高是72厘米。
【易错点】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得圆锥铅块的体积是本题的关键。
【易错四】如图，直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米。
（1）请算出这个直角三角形的面积。
（2）分别绕这个直角三角形的两条直角边旋转一周，能够形成两个圆锥，请算出体积较大的那个圆锥的体积。
（3）笑笑有3厘米、4厘米、5厘米的小棒若干根，他设计了如图的拼图方案：
照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒（ ）根，第个图形需要小棒（ ）根。
【解题思路】（1）直角三角形中斜边大于任意一条直角边，所以两条直角边分别是3cm、4cm，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算即可。
（2）由题可知，以3cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是4cm、高为3cm，以4cm长的直角边为轴旋转一周，则形成的圆锥的底面半径是3cm、高为4cm，根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，代入数据分析即可。
（3）第①个图形需要3根小棒，即（1×2＋1）根；
第②个图形需要5根小棒，即（2×2＋1）根；
第③个图形需要7根小棒，即（2×3＋1）根；
……
第⑧个图形需要（2×8＋1）根小棒，即17根；
……
所以，第a个图形需要（2a＋1）根小棒。
【完整解答】（1）3×4÷2
＝12÷2
＝6（平方厘米）
答：三角形的面积是6平方厘米。
（2）以3cm长的直角边为轴旋转一周：
×3.14××3
＝3.14×16
＝50.24（立方厘米）
以4cm长的直角边为轴旋转一周：
×3.14××4
＝3.14×12
＝37.68（立方厘米）
50.24＞37.68
答：较大的那个圆锥的体积是50.24立方厘米。
（3）由分析可知：
第⑧个图形所需小棒：
2×8＋1
＝16＋1
＝17（根）
第a个图形所需小棒：（2a＋1）根。
所以，照这样拼下去，第⑧个图形需要小棒17根，第个图形需要小棒（2a＋1）根。
【易错点】解决本题的关键是熟悉圆锥的特征，掌握圆锥的体积公式，分析图形找出小棒根数和图形中三角形个数的变化规律。
一、选择题
1．一个圆锥体积是12.6立方分米，底面积是6平方分米，高是（ ）。
A．6.3分米 B．2.1分米 C．12.6分米
2．圆柱和圆锥的体积和高都相等，圆柱和圆锥的底面积之比是（ ）。
A．1∶1 B．1∶3 C．3∶1 D．1∶9
3．下图是一瓶已经喝了一些的果汁和一只圆锥形玻璃杯。图中h＝h1，d＝d1。如果把瓶中的果汁倒入这个圆锥形玻璃杯，最多可以倒满（ ）杯。（容器壁厚度忽略不计）
A．2 B．4 C．6
4．一根体积为120立方分米的圆柱体木料，把它削成一个最大的圆锥。圆锥的体积是（ ）立方分米。
A．40 B．60 C．80
5．一个圆柱形容器的底面半径是10cm，水深8cm，把一块底面半径为4cm圆锥形铅锤完全浸没到水中后，水面上升了3cm，这个铅锤的体积是（ ）cm3。
A．942 B．314 C．50.24 D．2512
6．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体。圆柱体的体积是圆锥体体积的（ ）。
A． B． C． D．3倍
7．下面物体①、②、③的底面积相等，④、⑤的底面积是①的3倍：物体①、②、④、⑤的高都相等，物体③的高是其他物体的3倍。和物体②的体积相等的是（ ）。
A．③和⑥ B．③和④ C．④和⑥ D．只有③
8．一个圆柱和一个圆锥的底相等，体积也相等。圆柱的高是1.8分米，圆锥的高是（ ）分米。
A．0.6 B．5.4 C．1.8
二、填空题
9．将一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果削去部分的体积是12.56立方分米，那么原来圆柱的体积是( )立方分米。
10．一块橡皮泥能捏一个底面半径为3cm，高5cm的圆柱，若捏等底的圆锥，高为( )cm，我还可以捏成一个长( )cm，宽( )cm，高( )cm的长方体。
11．看图填空。
① ②
(1)图②是图①按( )∶( )的比缩小得到的。图②与图①面积的比是( )。
(2)将图②绕一条直角边旋转一周，形成的立体图形的体积最大是( )cm3。
12．如图，先将甲容器注满水，再将水倒入乙容器，这时乙容器中的水高( )厘米。
13．用一块原木制作一个陀螺（如图），削去部分的体积是( )立方厘米。
14．一个圆锥体的底面直径和高都扩大3倍，体积就扩大( )倍。
15．两个大小相同的量杯中，都盛有400mL水。将等底等高的圆柱与圆锥零件分别放入两个量杯中，甲量杯中水面刻度如右下图所示。则圆柱的体积是( )cm3，乙量杯中水面刻度应是( )mL。
16．用一个高30厘米的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是( )厘米。（容器厚度忽略不计）
三、判断题
17．圆柱和圆锥底面积和体积都相等，它们高的比是1∶1。( )
18．一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。( )
19．一个圆锥和一个圆柱等底等高，体积相差16立方厘米，那么这个圆锥的体积是8立方厘米。( )
20．一个圆锥的体积是30立方分米，底面积是10平方分米，则圆锥的高是3分米。( )
四、计算题
21．求组合图形的体积。
22．计算下面图形的体积。
五、解答题
23．一个圆锥形的砂堆，高0.8米，底面直径是6米。如果每立方米的砂子约重1.5吨，那么这堆砂子约重多少吨？
24．一个圆柱形容器，底面直径为40厘米，高32厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径为10厘米的圆锥形铅锤完全浸没在容器中，容器中的水面升高了2厘米，这个圆锥的高是多少？（容器壁的厚度忽略不计）
25．测量经常使用铅锤，下面这个圆锥形铅锤是用某种金属制成的，这种金属每立方厘米约重8克，这个铅锤大约重多少克？
26．一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
27．一个无盖的圆柱形铁皮桶，放入一个圆锥铁块，然后装满水。请根据问题选择需要的信息，进行解答。
①桶的底面直径6分米； ②桶的高5分米；
③圆锥的底面直径3分米； ④取出圆锥铁块后，水面距离桶沿3厘米。
（1）制作这个铁皮桶至少需要铁皮多少平方分米？
（2）圆锥铁块的体积是多少立方分米？
28．如图一个蒙古包由一个圆柱和一个圆锥组成。
（1）这个蒙古包的占地面积是多少平方米？
（2）这个蒙古包所占的空间是多少立方米？
29．红红有一块体积是1立方分米的橡皮泥，在手工课上，红红把这块橡皮泥做成一个圆柱体模型和一个与圆柱体底面积相等，高也相等的围锥体模型，圆柱体模型和圆锥体的体积比是多少？圆锥体模型体积是多少？
30．在奇奇郊游的地方有一个儿童乐园，里面有一个底部平整的圆柱沙坑（如图所示）。
（1）奇奇想知道里面沙子的体积，需要从下面信息中选择的数据是（ ）填序号。
①沙坑直径4米
②沙坑周长12.56米
③沙坑高度1.2米
④沙坑里面沙的厚度0.4米
⑤每立方米沙子的重量约1.5吨
（2）根据上面的信息，计算出沙坑里沙子的质量。
（3）奇奇和妙妙一起用沙滩车装沙子堆城堡，沙滩车的车厢是长方体（如图所示）。这个长方体车厢从里面量，长30厘米，宽18厘米，高5厘米。用这样一车厢沙子堆一个近似的圆锥，高度大约是20厘米，它的底面积是多少平方厘米？
参考答案
1．A
【解题思路】根据圆锥的体积公式求解。
【完整解答】12.
（分米）
故答案为：A。
【易错点】掌握圆锥的体积公式是解题的关键。
2．B
【解题思路】由圆柱的体积＝底面积×高，可知圆柱的底面积＝体积÷高；由圆锥的体积＝底面积×高×，可知圆锥的底面积＝×体积÷高；进而求出它们底面积的比。
【完整解答】设圆柱和圆锥的体积为V，高都为h
圆柱的底面积＝V÷h＝
圆锥的底面积＝V÷÷h＝
圆柱的底面积∶圆锥的底面积
＝∶
＝1∶3
则圆柱和圆锥的底面积之比是1∶3。
故答案为：B
【易错点】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
3．C
【解题思路】根据图和题意，果汁部分和容器外壁形成了圆柱形，玻璃杯是圆锥形，并且圆柱和圆锥底面积相等。圆柱的高为2h，圆锥的高为h。据此，将底面积设为S，再分别将果汁和玻璃杯的体积求出，最后利用除法求出最多可以倒多少杯。
【完整解答】假设瓶子和玻璃杯的底面积均为S，那么有：
S×2h÷（S×h÷3）
＝S×2h÷S÷h×3
＝6（杯）
所以，最多可以倒满6杯。
故答案为：C
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积，解题关键是熟记公式。
4．A
【解题思路】根据圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，要把圆柱削成一个最大的圆锥，则这个圆锥的体积是圆柱的。据此解答。
【完整解答】120×＝40（立方分米）
圆锥的体积是40立方分米。
故答案为：A
【易错点】本题考查了圆柱、圆锥的体积以及它们之间的关系。
5．A
【解题思路】由题意可知，铅锤的体积等于上升部分水的体积，则铅锤的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。
【完整解答】3.14×102×3
＝3.14×100×3
＝314×3
＝942（cm3）
故答案为：A
【易错点】把铅锤的体积转化为上升部分水的体积并熟记圆柱的体积计算公式是解答题目的关键。
6．D
【解题思路】削成的最大圆锥和圆柱等底等高，据此根据圆柱和圆锥的体积关系，解题即可。
【完整解答】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，说明这个圆柱和圆锥是等底等高的，因此圆柱的体积是圆锥体体积的3倍。
故答案为：D
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积关系，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高，所以等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
7．B
【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh÷3，设①、②的底面积是1，高是1，则③的底面积是1，高是3；④、⑤的底面积是3，高是1，分别算出体积，再比较大小即可。
【完整解答】①的体积：1×1÷3＝
②的体积：1×1＝1
③的体积：1×3÷3＝1
④的体积：3×1÷3＝1
⑤的体积：3×1＝3
所以和②的体积相等的是③和④。
故答案为：B
【易错点】本题用设数法解答比较简便。解答本题的关键是掌握圆柱和圆锥的体积公式。
8．B
【解题思路】根据V柱＝πr2h，V锥＝πr2h可知，当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱的3倍。
【完整解答】1.8×3＝5.4（分米）
故答案为：B
【易错点】掌握当圆柱、圆锥等体积等底时，圆柱和圆锥的高的关系是解题的关键。
9．18.84
【解题思路】将一个圆柱削成一个最大的圆锥，可知圆柱和圆锥是等底等高的，根据等底等高的圆柱形的体积是圆锥体积的3倍，削去的体积是圆锥的2倍，除以2求出圆锥的体积，再乘3可求出圆柱的体积，据此解答即可。
【完整解答】12.56÷（3－1）×3
＝12.56÷2×3
＝6.28×3
＝18.84（立方分米）
【易错点】解答本题的关键是明确等底等高的圆柱形的体积是圆锥体积的3倍。
10． 15 9 5 3.14
【解题思路】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，和圆锥的体积公式：V＝Sh，橡皮泥的体积不变，底面积不变，所以等底等体积的情况下，圆锥的高是圆柱的高的3倍。代入数据求出圆锥的高；根据圆柱的体积公式求出这块橡皮泥的体积，再利用长方体的体积公式，即可求出长方体的长、宽、高。（答案不唯一）
【完整解答】5×3＝15（cm）
即圆锥的高为15cm。
3.14×32×5
＝3.14×9×5
＝141.3（cm3）
长、宽、高的数据不唯一，只需满足体积是141.3cm3即可。因为9×5×3.14＝141.3，所以可捏成长为9cm，宽为5cm，高为3.14cm的长方体。
【易错点】此题的解题关键是抓住等积变形的原则，灵活运用圆柱和圆锥的体积公式求解。
11．(1) 1 5 1∶25
(2)50.24
【解题思路】（1）把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n；如果把图形按照1∶n缩小，则面积按12∶n2缩小，据此分析。
（2）直角三角形绕一条直角边旋转一周，形成的图形是圆锥，两条直角边分别对应圆锥的底面半径和高，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别求出绕3cm和4cm旋转形成的圆锥的体积，比较出最大的即可。
（1）
4cm∶20cm＝1∶5
12∶52＝1∶25
图②是图①按1∶5的比缩小得到的。图②与图①面积的比是1∶25。
（2）
3.14×32×4÷3
＝3.14×9×4÷3
＝37.68（cm3）
3.14×42×3÷3
＝3.14×16
＝50.24（cm3）
50.24＞37.68
将图②绕一条直角边旋转一周，形成的立体图形的体积最大是50.24cm3。
【易错点】关键是熟悉圆锥特征，掌握圆锥体积公式，图形放大或缩小后，对应边长的比相等，周长的比相等，但面积的比不相等。
12．4
【解题思路】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出甲容器的体积，甲容器的水倒入乙容器，体积不变，再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，代入数据，即可解答。
【完整解答】3.14×（10÷2）2×12×÷[3.14×（10÷2）2]
＝3.14×25×12×÷[3.14×25]
＝12×
＝4（厘米）
【易错点】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式进行解答，关键是熟记公式，灵活运用。
13．25.12
【解题思路】由图可知，下方圆锥的高为：10－7＝3（厘米），根据图中底面直径可以求出底面半径为：4÷2＝2（厘米）。将圆锥部分未削之前的圆柱的体积看作单位“1”，削成后的圆锥是原来圆柱体积的，那么削去部分的体积占原来圆柱体体积的（1－），根据圆柱的体积公式可以求出原来的圆柱体积，列式为：3.14×22×3，得到结果为37.68立方厘米，再用求出的体积乘（1－）即是削去部分的体积。
【完整解答】10－7＝3（厘米）
4÷2＝2（厘米）
3.14×22×3×（1－）
＝3.14×4×3×
＝12.56×3×
＝37.68×
＝25.12（立方厘米）
【易错点】本题考查了用分数乘法解决圆柱和圆锥的体积问题。
14．27
【解题思路】根据圆面积公式可知，圆面积扩大的倍数是直径扩大倍数的平方倍，根据圆锥的体积公式可知，圆锥体积扩大的倍数是底面积扩大的倍数乘高扩大的倍数。
【完整解答】3×3＝9
圆锥的底面直径扩大到原来的3倍，面积扩大到原来的9倍，高扩大到原来的3倍；
则体积扩大到原来的9×3＝27倍。
【易错点】熟练掌握圆锥的体积计算公式是解决本题的关键。
15． 150 450
【解题思路】将圆柱放入左图中，水面上涨的部分为圆柱的体积，那么用550mL减去400mL，即可求出圆柱的体积。将圆柱的体积除以3，求出和它等底等高圆锥的体积，用400mL加上圆锥的体积，求出右图乙量杯中的水面刻度。
【完整解答】圆柱体积：550－400＝150（mL）＝150（cm3）
乙量杯刻度：
150÷3＋400
＝50＋400
＝450（mL）
所以，圆柱的体积是150cm3，乙量杯中水面刻度应是450mL。
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积，圆柱的体积是等底等高圆锥体积的3倍。
16．10
【解题思路】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，圆柱的体积公式：V＝ Sh，圆锥容器中的水和圆柱中的水的体积相等，据此解答即可。
【完整解答】×30＝10（厘米）
【易错点】本题考查圆锥和圆柱的体积，熟记公式是解题的关键。
17．×
【解题思路】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；即可求出圆柱的高与圆锥的高的比。
【完整解答】设圆柱的底面积为S，高为h1；圆锥的高为h2，则圆锥的底面积是S。
Sh1＝Sh2
h1＝h2
h1∶h2＝1∶3
若一个圆柱和一个圆锥的体积和底面积都相等，则这个圆柱和圆锥高的比是1∶3。
原题干说法错误。
故答案为：×
【易错点】利用圆柱的体积公式和圆锥的体积公式，以及比的意义进行解答。
18．√
【解题思路】根据圆柱体积公式：V＝Sh，圆锥体积公式：V＝Sh，若把圆锥体积看作单位“1”，则同底等高的圆柱体积是该圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的体积相等、底面积也相等时，圆锥的高就是圆柱高的3倍，据此解答即可。
【完整解答】由分析可得：
同底等高时，圆柱高是7厘米，
则圆锥高为：7×3＝21（厘米）
综上所述：一个圆柱形橡皮泥的高是7厘米，把它捏成底面半径相同的圆锥，这个圆锥的高是21厘米。
故答案为：√
【易错点】本题考查了同底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，熟记圆柱和圆锥的体积公式是解题的关键。
19．√
【解题思路】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以等底等高的圆柱比圆锥的体积大2倍，由此即可解答。
【完整解答】16÷（3−1）
＝16÷2
＝8（立方厘米）
圆锥的体积是8立方厘米，原题说法正确。
故答案为：√
【易错点】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。
20．×
【解题思路】根据圆锥的体积公式可知，圆锥的高＝体积×3÷底面积，据此解答。
【完整解答】30×3÷10
＝90÷10
＝9（分米），圆锥的高是9分米。原题说法错误。
故答案为：×
【易错点】此题考查了圆锥体积公式的灵活运用，注意求圆锥的底面积或高，需要先让体积×3再计算。
21．84.78cm3
【解题思路】圆锥的体积计算公式“”，把图中数据代入公式表示出上下两个圆锥的体积，再求出它们的和，据此解答。
【完整解答】×（6÷2）2×3.5×3.14＋×（6÷2）2×5.5×3.14
＝×9×3.5×3.14＋×9×5.5×3.14
＝3×3.5×3.14＋3×5.5×3.14
＝（3.5＋5.5）×3×3.14
＝9×3×3.14
＝27×3.14
＝84.78（cm3）
所以，组合图形的体积为84.78cm3。
22．21980立方厘米
【解题思路】由图可知，组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积；根据圆柱的体积公式V＝，圆锥的体积公式V＝，代入数据计算即可。
【完整解答】3.14×＋
＝3.14×100×60＋3.14×100×10
＝3.14×（6000＋1000）
＝3.14×7000
＝21980（立方厘米）
23．11.304吨
【解题思路】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出这堆圆锥形砂子的体积，再乘1.5，即可求出这堆砂子有多重。
【完整解答】3.14×（6÷2）2×0.8××1.5
＝3.14×9×0.8××1.5
＝28.26×0.8××1.5
＝22.608××1.5
＝7.536×1.5
＝11.304（吨）
答：这堆砂子约重11.304吨。
【易错点】本题考查圆锥的体积公式的应用，关键是熟记公式。
24．24厘米
【解题思路】根据题意，把一个圆锥形铅锤完全浸没在圆柱形容器中，容器中的水面升高了2厘米，那么水上升部分的体积等于圆锥形铅锤的体积；水上升部分是一个底面直径为40厘米，高为2厘米的圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水上升部分的体积，也是圆锥的体积；然后根据圆锥的底面积S＝πr2，求出圆锥的底面积；由圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算，求出这个圆锥的高。
【完整解答】水上升部分的体积（圆锥的体积）：
3.14×（40÷2）2×2
＝3.14×400×2
＝3.14×800
＝2512（立方厘米）
圆锥的底面积：
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
圆锥的高：
2512×3÷314
＝7536÷314
＝24（厘米）
答：这个圆锥的高是24厘米。
【易错点】本题考查圆柱、圆锥的体积公式的灵活应用，明确放入圆锥形铅锤的体积等于水上升部分的体积是解题的关键。
25．200.96克
【解题思路】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此求出铅锤的体积，然后用铅锤的体积乘每立方厘米的重量即可解答。
【完整解答】×3.14×（4÷2）2×6×8
＝×3.14×4×6×8
＝×602.88
＝200.96（克）
答：这个铅锤大约重200.96克。
【易错点】本题考查圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
26．100.48米
【解题思路】根据圆锥的体积公式，先求出圆锥的体积。将沙子铺在公路上后，沙子的体积没有发生变化，用沙子的体积除以公路的横截面面积，求出能铺多少米。
【完整解答】8÷2＝4（米）
3.14×42×1.2×
＝3.14×16×0.4
＝20.096（立方米）
2厘米＝0.02米
20.096÷（10×0.02）
＝20.096÷0.2
＝100.48（米）
答：能铺100.48米。
【易错点】本题考查了圆锥和长方体的体积。圆锥体积＝×底面积×高，长方体体积＝底面积×高。
27．（1）122.46平方分米
（2）8.478立方分米
【解题思路】（1）由题目可知，无盖圆柱铁皮桶的表面积＝侧面积＋一个底面积，已知桶的直径与高，根据公式：S＝πdh＋π（d÷2）2，代入数据解答；
（2）取出圆锥铁块后，水下降的体积＝圆锥的体积，求水下降的体积就是圆锥的体积。
【完整解答】（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2
＝3.14×30＋3.14×9
＝3.14×39
＝122.46（平方分米）
答：制作这个铁皮桶至少需要铁皮122.46平方分米。
（2）3厘米＝0.3分米
3.14×（6÷2）2×0.3
＝3.14×9×0.3
＝28.26×0.3
＝8.478（立方分米）
答：圆锥铁块的体积是8.478立方分米。
【易错点】此题考查了无盖圆柱的表面积以及等体积计算的理解。
28．（1）28.26平方米
（2）65.94立方米
【解题思路】（1）这个蒙古包的占地面是一个圆形，根据圆的面积公式即可求出它的占地面积；
（2）根据圆柱和圆锥的体积公式，分别求出这个蒙古包上下两部分的体积，再相加求出它的总体积。
【完整解答】（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：这个蒙古包的占地面积是28.26平方米。
（2）28.26×2＋×28.26×（3－2）
＝56.52＋×28.26×1
＝56.52＋9.42
＝65.94（立方米）
答：这个蒙古包所占的空间是65.94立方米。
【易错点】本题考查了圆柱和圆锥的体积。圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝×底面积×高。
29．3∶1；立方米
【解题思路】由题意可知，这个圆柱体和圆锥体等底等高，设它们的底面积是S，高是h，圆柱的体积公式：V＝Sh，圆锥的体积公式：V＝Sh，用圆柱体的体积比上圆锥体体积，再化简即可；把这1立方分米的橡皮泥平均分成3＋1＝4份，圆锥体的体积占其中的1份，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出圆锥体的体积。
【完整解答】假设它们的底面积是S，高是h
Sh∶Sh
＝1∶
＝（1×3）∶（×3）
＝3∶1
1×＝（立方分米）
答：圆柱体模型和圆锥体的体积比是3∶1，圆锥体模型体积是立方米。
【易错点】本题考查圆柱和圆锥的体积，熟记公式是解题的关键。
30．（1）①④
（2）7.536吨
（3）405平方厘米
【解题思路】（1）求沙子的体积就用沙坑的底面积乘沙子的厚度即可；
（2）沙子的质量利用沙子的体积乘每立方米沙子的重量约1.5吨即可；
（3）先利用长方体的体积公式V＝abh计算求出沙子的体积，再根据圆锥的体积公式V＝Sh，利用圆锥的体积乘3除以高度就是底面积。
【完整解答】（1）奇奇想知道里面沙子的体积，需要从下面信息中选择的数据是①④。
（2）3.14×（4÷2）2×0.4×1.5
＝3.14×4×0.4×1.5
＝3.14×1.6×1.5
＝5.024×1.5
＝7.536（吨）
答：沙坑里沙子的质量是7.536吨。
（3）30×18×5×3÷20
＝30×18×15÷20
＝540×15÷20
＝405（平方厘米）
答：它的底面积是405平方厘米。
【易错点】本题考查了圆柱、长方体及圆锥体积公式的应用。
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