【易错精编讲义】苏教版数学四年级下册：第15讲《平行四边形和梯形》知识梳理讲义+易错练习

第15讲 平行四边形和梯形（讲义）

（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）

1、平行四边形的基本特征。

平行四边形的两组对边分别平行且相等。

2、平行四边形的特性。

平行四边形具有不稳定性。

3、平行四边形的底和高。

从平行四边形一条边上的一点到它的对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。平行四边形的高和底是互相依存的关系。

4、梯形的基本特征。

梯形只有一组对边平行。

5、梯形的底和高。

互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。

6、等腰梯形。

两腰相等的梯形是等腰梯形。

1、平行四边形有无数条高，但过一个顶点向每条对边都只能画一条高。

2、平行四边形的两组对边都必须平行。

3、判断梯形的标准是有且只有一组对边平行的四边形。

4、梯形的高必须是垂直于两底的线段。

【易错一】用4cm、4cm、5cm、5cm长的四根小棒，可以搭出（    ）个形状不同的平行四边形。

A．1 B．2 C．无数

【分析】依据平行四边形的意义，即两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形，据此解答即可。

【详解】两根4cm的为对边，两根5cm的为对边，就可以组成平行四边形，

所以用4cm、4cm、5cm、5cm长的四根小棒，可以搭出无数个形状不同的平行四边形。

故答案为：C

【点睛】此题关键是根据平行四边形的特征进行分析、解答。

【易错二】一个平行四边形的周长是54厘米，一条边长是13厘米，与它相邻的另一条边长是(        )厘米。

【分析】根据平行四边形的特点可知，平行四边形的周长＝相邻两边的长度之和×2，因此用平行四边形的周长除以2后，再减去13厘米即可，依此计算。

【详解】54÷2＝27（厘米）

27－13＝14（厘米）

与它相邻的另一条边长是14厘米。

【点睛】熟练掌握平行四边的周长的计算是解答此题的关键。

【易错三】在下面的方格里（每个最小正方形的边长是1厘米），画一个底是5厘米，高是3厘米的平行四边形，并画出两条不同的高。

【分析】根据平行四边形的特征：平行四边形的对边平行且相等，即画出的平行四边形底为5格（5厘米）、高为3格（3厘米）的平行四边形；平行四边形的高指从平行四边形的一条边上的任意一点向对边画的垂直线段；因为平行四边形两组对边平行，所以有两种情形；由此进行画图。

【详解】如图：

（画法不唯一）

【点睛】此题主要考查对平行四边形的定义、画法，以及不同的两条高的理解。

【易错四】一个平行四边形的广告牌，相邻两边的长度分别是140cm和80cm，现在要在广告牌的四周围上彩带，彩带至少长(        )cm；用一根长40cm的铁丝正好围成一个上底是6cm，下底是18cm的等腰梯形，这个等腰梯形的一条腰长(        )cm。

【分析】彩带的长度等于平行四边形的广告牌的周长，平行四边形的周长＝相邻两边的长度之和×2，依此计算。

等腰梯形的两腰相等，因此用铁丝的总长度减上底和下底的长度之和后，再除以2即可，依此计算。

【详解】（140＋80）×2

＝220×2

＝440（cm）

6＋18＝24（cm）

40－24＝16（cm）

16÷2＝8（cm）

即现在要在广告牌的四周围上彩带，彩带至少长440cm；这个等腰梯形的一条腰长8cm。

【点睛】此题考查的是平行四边形的周长的计算，以及等腰梯形的周长，应熟练掌握等腰梯形的特点，以及熟记：平行四边形的周长＝相邻两边的长度之和×2。

【易错五】按要求画。

（1）把上面的平行四边形的两条相邻边画完整，画完这个四边形，并作出一条高。

（2）量出上图中∠1＝（    ）度。

（3）用一条线段把画完成的平行四边形分成一个三角形和一个等腰梯形。

【分析】（1）平行四边形的两组对边分别平行且相等，依此补全这个平行四边形即可。平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。

（2）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。

（3）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；由三条边组成的封闭图形是三角形，因此可在平行四边形的底边，且靠中间的位置取一个点，再用直尺连接这个点与这个点对边的一个顶点即可，依此分割即可。

【详解】（1）、（3）画图如下：

（2）经过测量可知，图中∠1＝60度。

【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握平行四边形、梯形、三角形的特点，以及角的度量方法。

【易错六】在方格纸中画一个直角梯形，并量出这个直角梯形中最大角的度数。

画出的直角梯形中最大角的度数是（    ）度。

【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，据此画出一个直角梯形。再用量角器量出最大的角即可。（答案不唯一）

【详解】

画出的直角梯形中最大角的度数是（125）度。

【点睛】量角器上有两条0刻度线，一条是内圈的，一条是外圈的；0刻度线在内圈，度数就读内圈；零刻度线在外圈，度数就读外圈。

一、选择题

1．学校的电动伸缩门是利用了平行四边形的（    ）。

A．稳定性 B．容易变形的特点 C．节省材料

2．小亮在画一个四边形（如图），他画的图形（    ）。

A．可能是长方形 B．可能是平行四边形

C．可能是梯形 D．可能是正方形

3．把一个长方形拉成一个平行四边形，周长（    ）。

A．变大 B．不变 C．变小

4．一个平行四边形框架沿对角拉成一个长方形后，周长（    ）。

A．不变 B．变小 C．变大

5．一个图形被一张纸遮住了一部分（如图），这个图形不可能是（    ）。

A．平行四边形 B．梯形 C．三角形 D．长方形

6．把一个四边形撕成三部分，其中两部分如下图，这个四边形可能是（    ）。

A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．梯形

7．利用下面各组纸条可以拼成梯形的是（    ）。

A．B．C．

8．下面说法中错误的是（    ）。

A．有两条边相等的梯形一定是等腰梯形 B．梯形只有一组对边平行

C．长方形是特殊的平行四边形 D．任意一个四边形的内角和都是360°

二、填空题

9．电子伸缩门采用平行四边形的设计是因为平行四边形具有(        )性，折叠梯是利用三角形具有(        )性设计的。

10．将两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。已知每个梯形的上底是5厘米，下底是7厘米，高是6厘米，则拼成的平行四边形的底是(        )厘米，高是(        )厘米。

11．下图中有(        )个三角形，有(        )个平行四边形，有(        )个梯形。

12．一个等腰梯形，腰长5厘米，上底长2厘米，下底长是上底长的4倍，这个梯形的周长是(        )厘米。

13．如图，将一个平行四边形沿着它的高剪开后可以拼成一个长方形，拼成长方形的长是(          )cm，宽是(          )cm，周长是(          )cm；拼成后长方形的周长(          )，面积(          )。（填“变小””不变”“变大”）

14．将四个相同的等边三角形按下面的方式拼到一起后，可以得到(            )个平行四边形，(            )个梯形。

15．用4根小棒围成一个直角梯形（如图），这个梯形的高是(        )厘米。从这4根小棒中拿走(        )厘米长的小棒，剩下的3根就不能围成一个三角形。

16．一个梯形下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就变成了一个平行四边形，这个梯形上底是(      )厘米，下底是(      )厘米。

三、判断题

17．用一条线把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形中高总是相等。(        )

18．在直角梯形中，只有一个角是直角。(        )

19．两个等底等高的三角形一定可以拼成一个平行四边形。(        )

20．平行四边形的高有无数条，而梯形的高只有一条。(        )

四、作图题

21．画出下列图形底边上的高。

22．在方格纸上分别画一个底4厘米高3厘米的三角形、底3厘米高4厘米的平行四边形，上底4厘米、下底5厘米高3厘米的梯形。（每个小方格表示1平方厘米）

五、解答题

23．一个等腰梯形的腰长是8厘米，它的下底是20厘米，上底是下底的一半，这个梯形的周长是多少厘米？

24．一个平行四边形操场，相邻两条边分别长85米和55米。玲玲沿着操场的边跑了5圈，一共跑了多少米？

25．一个平行四边形的周长是66厘米，相邻两条边的差是7厘米，这个平行四边形相邻的两条边分别是多少厘米？

26．一个平行四边形的周长是20厘米，相邻的两条边相差2厘米。相邻的两条边的长度分别是多少厘米？

27．一个梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长6厘米，就成了一个平行四边形。那么这个梯形的上底是几厘米？下底是几厘米？

28．小明用一根长30厘米的铁丝围成了一个平行四边形，其中一条边长为11厘米，另外三条边分别是多少厘米？

29．用一根217厘米长的铁丝正好围成一个等腰梯形。梯形的上底是31厘米，下底是66厘米，它的一条腰长多少厘米？

30．把图2向左平移 格，可以和图1拼成一个平行四边形，把拼成的平行四边形画在右边的方格纸上。

参考答案

1．B

【分析】平行四边形容易变形，具有不稳定性，依此选择。

【详解】根据分析可知，学校的电动伸缩门是利用了平行四边形容易变形的特点。

故答案为：B

【点睛】熟练掌握平行四边形的不稳定性及应用是解答此题的关键。

2．C

【分析】根据他所画图形的特点，分析每个选项图形的特点，找出和所画图形相同特点的即可。

【详解】A．长方形的四个角都是直角，不可能是长方形；

B．平行四边形的两组对边分别平行且相等，不可能是平行四边形；

C．梯形只有一组对边平行，他可能在右下方画一条与左上方互相平行的线段，则可能是梯形；

D．正方形的四个角都是直角，不可能是正方形。

故答案为：C

【点睛】本题考查了学生对长方形、正方形、平行四边形和梯形的特征的掌握与运用。

3．B

【分析】平行四边形和长方形的周长就是围成它们的所有的线段的和，每条线段长度没有变化，所以将长方形框架拉成一个平行四边形后，它的周长不变；据此解答即可。

【详解】把一个长方形拉成一个平行四边形，周长不变。

故答案为：B

【点睛】解答此题的关键是明确四边形的形状虽然发生了变化，但长和宽没有变化，周长就不发生变化。

4．A

【分析】把一个平行四边形框架沿对角拉成一个长方形，它每条边的长度没有改变，依此根据对周长的认识进行选择。

【详解】根据分析可知，一个平行四边形框架沿对角拉成一个长方形后，周长不变。

故答案为：A

【点睛】熟练掌握对周长的认识是解答此题的关键。

5．D

【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形；有一个角是直角的平行四边形是长方形；三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

【详解】上图中，这个图形可能是平行四边形、梯形、三角形，因为长方形的四个角都是直角，图中出现的一个角明显不是直角，所以这个图形不可能是长方形。

故答案为：D

【点睛】本题考查的是长方形、平行四边形、梯形和三角形的定义，熟练掌握它们的定义是解答此题的关键。

6．D

【分析】根据题图可知，这个四边形有一个直角和一个锐角，看哪一个四边形符合这个要求。

【详解】A．长方形中有4个直角，没有锐角；

B．正方形有4个直角，没有锐角；

C．平行四边形有2个锐角，2个钝角，没有直角；

D．梯形中的直角梯形里面有2个直角，1个锐角和1个钝角；

故答案为：D

【点睛】熟练掌握长方形、正方形、平行四边形和梯形的特征是解决本题的关键。

7．A

【分析】根据梯形的定义和特征可知，梯形一定有一组对边平行且不相等，据此即可解答。

【详解】A．两条不相等的纸条作为底，两条相等的纸条为腰，可以拼成梯形；    

B．四条纸条都相等，只能拼成正方形或平行四边形；    

C．有两组纸条分别相等，只能拼成平行四边形或一般四边形。

故答案为：A

【点睛】本题主要考查学生对梯形定义和特点的掌握。

8．A

【分析】A．一组对边互相平行，且两腰相等，才是等腰梯形；

B．只有一组对边平行的四边形是梯形；

C．长方形的两组对边是互相平行的，所以长方形也是平行四边形；

D．连接四边形的任意一条对角线，可以将四边形分成两个三角形，1个三角形的内角和是180°，2个三角形的内角和是360°，由此可知四边形的内角和是360°。

【详解】A．若梯形的两条腰是相等的，则这个梯形是等腰梯形，所以原话是错的；

B．梯形只有一组对边互相平行，这句话是对的；

C．长方形是特殊的平行四边形，这句话是对的；

D．180°×2＝360°，所以任意四边形的内角和是360°，这句话是对的。

故答案为：A

【点睛】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，长方形、正方形都是特殊的平行四边形。此题重点考查学生对平行四边形、梯形的认识。

9．     不稳定     稳定

【分析】三角形具有稳定性，不易变形；平行四边形具有不稳定性，容易变形，在日常生活中，人们利用这两种特性设计了很多实用的物品，据此即可解答。

【详解】电子伸缩门采用平行四边形的设计是因为平行四边形具有不稳定性，折叠梯是利用三角形具有稳定性设计的。

【点睛】本题主要考查学生对三角形和平行四边形的特点的掌握和灵活运用。

10．     12     6

【分析】两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底是梯形上底与下底的和，高等于梯形的高。

【详解】5＋7＝12（厘米）

则拼成的平行四边形的底是12厘米，高是6厘米。

【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键是知道拼成的平行四边形和梯形的关系。

11．     4     1     3

【分析】三角形是由同一平面内，不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形；平行四边形的两组对边分别平行且相等；只有一组对边平行的四边形是梯形。

【详解】图中有4个三角形，有1个平行四边形，有3个梯形。

【点睛】此题主要考查三角形、平行四边形和梯形的掌握与运用，养成按照一定顺序观察思考问题的习惯，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力。

12．20

【分析】下底长是上底长的4倍，则用上底长乘4，求出下底长。等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，代入数据计算即可。

【详解】2×4＝8（厘米）

2＋8＋5×2

＝2＋8＋10

＝20（厘米）

则这个梯形的周长是20厘米。

【点睛】本题考查梯形的周长，关键是熟记公式。等腰梯形的两条腰相等。

13．     8     4     24     变小     不变

【分析】观察图片可知：将一个平行四边形沿着它的高剪开后可以拼成一个长方形，拼成长方形的长是平行四边形的底，即8cm，宽为平行四边形的高，即4cm，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2代入数据即可；原来平行四边形的边是5cm，所以长方形的周长变小；面积都是8×4，不变；据此即可解答。

【详解】（8＋4）×2

＝12×2

＝24（cm）

如图，将一个平行四边形沿着它的高剪开后可以拼成一个长方形，拼成长方形的长是8cm，宽是4cm，周长是24cm；拼成后长方形的周长变小，面积不变。

【点睛】明确平行四边形的底是长方形的长，平行四边形的高是长方形的宽是解题的关键。

14．     3     3

【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等；只有一组对边平行的四边形是梯形。

【详解】图中有3个平行四边形，3个梯形。

【点睛】熟练掌握平行四边形及梯形的定义是解答此题的关键。

15．     8     12

【分析】从图中可知：8厘米的线段垂直于12厘米的线段和18厘米的线段，8厘米的线段就是梯形的高；

根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；10＋8＝18，10厘米、8厘米和18厘米的线段一定不能围成一个三角形，由此解答即可。

【详解】如上图，用4根小棒围成一个直角梯形，这个梯形的高是8厘米；从这4根小棒中拿走12厘米长的小棒，剩下的3根就不能围成一个三角形。

【点睛】本题考查了学生对梯形的高的认识以及三角形的三边关系的掌握与运用。

16．     3     9

【分析】这个梯形的下底是上底的3倍，即下底是3个上底长；延长6厘米后，变成了平行四边形，也就是延长了3－1＝2个上底长，即2个上底长＝6厘米；求一个数的几倍是多少，用乘法；据此求解即可。

【详解】根据分析可得：

上底长：

6÷（3－1）

＝6÷2

＝3（厘米）；

下底长：3×3＝9（厘米）；

【点睛】本题的关键是要清楚变成平行四边形后对边的长度是相等的。

17．√

【分析】平行四边形的两组对边是平行的，它的高有无数条且都是相等的，据此判断。

【详解】由于平行四边形有无数条高且都是相等的，所以把一个平行四边形任意分割成两个梯形，这两个梯形的高还是等于原来平行四边形的高，所以这两个梯形中高总是相等，原题干说法是正确的。

故答案为：√

【点睛】解答本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质及特征。

18．×

【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，直角梯形有2个直角；所以判断错误。

19．×

【分析】两个三角形的底和高相等时，只能确定三角形的面积，不能确定三角形的形状，形状不一定完全相同，则这两个三角形不一定可以拼成一个平行四边形，据此解答。

【详解】根据分析可知，两个等底等高的三角形不一定拼成一个平行四边形。

原题干说法错误。

故答案为：×

【点睛】本题较易，熟练掌握三角形的面积推导过程是解答本题的关键。

20．×

【分析】根据平行四边形高的含义和梯形高的含义，平行四边形的高是指对边之间的距离，那么两组对边之间可以画无数条垂直线段，所以有无数条高；梯形虽然只有一组对边平行，但是在这组对边里，也可以画无数条垂直线段，所以也有无数条高。

【详解】由分析可知，平行四边形、梯形的高都有无数条，题目说法错误。

故答案为：×

【点睛】此题考查了平行四边形高的含义和梯形高的含义。

21．见详解

【分析】经过三角形的顶点（即底相对的点）向底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高；

从平行四边形的底边所对的那条边上的一个点到平行四边形的底边作垂线段，就是平行四边形的高；

从梯形底边上的点到它对边的垂线段就是梯形的高。

【详解】

【点睛】本题考查的是三角形、平行四边形和梯形的高的画法，要特别注意高要用虚线，并且要标出直角符合。

22．见详解

【分析】每个小方格表示1平方厘米，即图中每个方格的边长是1厘米。

三角形：先画一个长4厘米的线段，再画这条线段的垂线段长3厘米，连接垂线段的一个端点与4厘米长的线段的两个端点即可得到一个三角形。

平行四边形：平行四边形的对边互相平行且相等，画两条互相平行的4厘米长的线段，使得这两条线段间的距离是3厘米，即可得到平行四边形。

梯形：画一条长4厘米的线段，再画一条长5厘米的线段，这两条线段互相平行，且两条线段间的距离是3厘米，据此可以得到一个梯形。

【详解】

【点睛】平行四边形的两组对边互相平行；梯形只有一组对边互相平行。

23．46厘米

【分析】用20除以2，求出上底的长度；用两条腰的长度加上底的长度再加下底的长度，就是这个梯形的周长。

【详解】20÷2＝10（厘米）

2×8＋10＋20

＝16＋10＋20

＝46（厘米）

答：这个梯形的周长是46厘米。

【点睛】此题考查的是梯形的周长计算，解答此题的关键是要明确梯形的周长包括哪些部分，即等腰梯形的周长＝上底＋下底＋两条腰。

24．1400米

【分析】用85加上55的和乘2，求出玲玲沿着操场的边跑1圈的长度；再乘5，求出一共跑了多少米。

【详解】（85＋55）×2×5

＝140×2×5

＝280×5

＝1400（米）

答：一共跑了1400米。

【点睛】解答此题的关键是明确平行四边形的周长＝邻边和×2，再进一步解答。

25．20厘米；13厘米

【分析】平行四边形的周长等于相邻两条边的长度和的2倍，则相邻两条边的和是66÷2＝33厘米。相邻两条边的差是7厘米，则较长的边是（33＋7）÷2厘米，用较长的边的长度减去7厘米，求出较短的边的长度。

【详解】66÷2＝33（厘米）

（33＋7）÷2

＝40÷2

＝20（厘米）

20－7＝13（厘米）

答：这个平行四边形相邻的两条边分别是20厘米和13厘米。

【点睛】本题考查平行四边形的周长公式以及和差问题的解题方法，关键是根据周长公式求出两边和，再根据数量关系式：大数＝（和＋差）÷2，小数＝大数－差解答。

26．4厘米和6厘米

【分析】用20除以2，求出相邻两条边的长度之和；用相邻两条边的长度之和减去2的差，再除以2，求出较短的边；用较短的边加上2，求出较长的边。

【详解】20÷2＝10（厘米）  

（10－2）÷2

＝8÷2

＝4（厘米）

4＋2＝6（厘米）

答：相邻的两条边的长度分别是4厘米和6厘米。

【点睛】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式解答。

27．上底：3厘米；下底：9厘米

【分析】这个梯形的下底是上底的3倍，即下底是3个上底长；上底延长6厘米后，变成了平行四边形，也就是延长了3－1＝2个上底长，即2个上底长＝6厘米；求一个上底是多少，据此求解即可。

【详解】根据分析可得：

上底长：

6÷（3－1）

＝6÷2

＝3（厘米）

下底长：3×3＝9（厘米）

答：这个梯形的上底是3厘米，下底是9厘米。

【点睛】本题的关键是要清楚变成平行四边形后对边的长度是相等的。

28．11厘米、4厘米、4厘米

【分析】平行四边形的对边平行且相等，用30除以2等于相邻两边长度和，再减11等于另一边的长度，据此即可解答。

【详解】30÷2－11

＝15－11

＝4（厘米）

平行四边形的对边平行且相等，所以另外三条边的分别是11厘米、4厘米、4厘米。

答：平行四边形另外三条边分别是11厘米、4厘米、4厘米。

【点睛】本题主要考查学生对平行四边形特点的掌握。

29．60厘米

【分析】等腰梯形的两条腰相等，梯形的周长减去两个底的长度等于两条腰的长度，再除以2即等于一条腰长，据此即可解答。

【详解】（217－31－66）÷2

＝120÷2

＝60（厘米）

答：它的一条腰长60厘米。

【点睛】本题主要考查学生对梯形的周长和分类知识的掌握。

30．4；画图见详解

【分析】根据平移的特征，把图2向左平移4格，可以和图1拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是2格，高是3格，据此即可把拼成的平行四边形画在右边的方格纸上。

【详解】把图2向左平移4格，可以和图1拼成一个平行四边形，把拼成的平行四边形画在右边的方格纸上（下图）。

【点睛】平移作图要注意：①方向；②距离。整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。平移的距离是指对应部分间的距离，不是指最短距离。