数学八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式精品练习

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

16.2 二次根式的乘除

1、  掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2、  了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

重点：依据运算法则进行熟练的计算。

难点：根式运算与分式运算的综合问题。

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
要点诠释：
  (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
  (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，≥0，…..≥0）.
  (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

2.积的算术平方根:
　　（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
  (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，      ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；  (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：
　　(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.
　　(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质:
　　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
　　运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
   （1）被开方数不含有分母；

   （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

       满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1) 被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典例分析01】（2022春•牟平区期中）若成立，则m的值可以是（　　）

A．﹣4 B．2 C．4 D．5

【思路引导】根据二次根式有意义的条件进行分析即可．

【规范解答】解：∵成立，

∴m+3≥0，4﹣m＞0，

解得m≥﹣3，m＜4，

即﹣3≤m＜4，

故符合的只有2．

故选：B．

【考察注意点】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

【典例分析02】（2022秋•宁强县期末）计算×的结果是　2　．

【思路引导】利用二次根式的乘法公式，直接计算即可．

【规范解答】解：原式＝＝＝2．

故答案为：2．

【考察注意点】本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握×＝是解决本题的关键．

【随堂演练01】（2022春•牟平区期中）（1）把根式化成最简二次根式．

（2）计算：．

【思路引导】（1）根据二次根式的化简的法则进行求解即可；

（2）把除法转为乘法，再进行乘法的运算，最后化简即可．

【规范解答】解：（1）

＝

＝8x；

（2）

＝

＝

＝．

【考察注意点】本题主要考查二次根式的乘除法，最简二次根式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

【随堂演练02】（2022春•宁武县期末）计算：

（1）；

（2）．

【思路引导】（1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案．

（2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．

【规范解答】解：（1）原式＝××（﹣27）

＝××（﹣27）

＝×（﹣27）

＝﹣45．

（2）原式＝×÷（﹣）

＝÷（﹣）

＝×（﹣）

＝﹣．

【考察注意点】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．

【典例分析03】（2022春•广西月考）的倒数是（　　）

A． B． C． D．

【思路引导】根据倒数的定义解答即可．

【规范解答】解：+1的倒数是＝﹣1．

故选：C．

【考察注意点】本题考查的是实数，熟知倒数的定义是解题的关键．

【典例分析04】（2022秋•徐汇区期末）计算：＝　　．

【思路引导】分子分母同乘以﹣，再化简即可．

【规范解答】解：＝＝．

故答案为：．

【考察注意点】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

【随堂演练03】（2022春•乳山市期末）【材料阅读】

把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．

例如：化简．

解：．

上述化简的过程，就是进行分母有理化．

【问题解决】

（1）化简的结果为：　2+　；

（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：　﹣　；

（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．

【思路引导】（1）分子分母同乘以2+，化简即可．

（2）分子分母同乘以，化简即可．

（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．

【规范解答】解：（1）＝＝＝2+，

故答案为：2+；

（2）＝＝＝﹣，

故答案为：﹣；

（3）化简得，＝（a+b）﹣（b﹣a），

∵＝2﹣1，

∴，

得．

【考察注意点】本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．

【随堂演练04】（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．

（1）求多项式M和N．

（2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值．

【思路引导】（1）将已知两个等式联立方程组，解之可得M、N；

（2）先将所求M、N表示的多项式代入化简，再将a、b的值代入计算可得．

【规范解答】解：（1）将M+N＝2a2，M﹣N＝2ab组成方程组，得，

①+②，得2M＝2a2+2ab，所以M＝a2+ab，

①﹣②，得2N＝2a2﹣2ab，所以N＝a2﹣ab．

（2）＝＝＝，

当a＝+1，b＝﹣1时，

＝＝＝＝．

【考察注意点】本题主要考查分母有理化，以及分式的值，解题的关键是掌握整式、分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运输能力．

【典例分析05】（2022秋•南关区校级期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【思路引导】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．

【规范解答】解：A、＝2，与不是同类二次根式；

B、与不是同类二次根式；

C、与是同类二次根式，正确；

D、与不是同类二次根式；

故选：C．

【考察注意点】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：

（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．

【典例分析06】（2022春•涧西区期中）下列二次根式中，与可以合并的是（　　）

A． B． C． D．

【思路引导】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．

【规范解答】解：A、＝＝2，与不能合并，本选项不符合题意；

B、＝，与可以合并，本选项符合题意；

C、＝＝3，与不能合并，本选项不符合题意；

D、＝＝，与不能合并，本选项不符合题意；

故选：B．

【考察注意点】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

【随堂演练05】（2022秋•宁德期末）若最简二次根式3与5可以合并，则m＝　4　．

【思路引导】根据同类二次根式定义可得2m+5＝4m﹣3，再解即可．

【规范解答】解：由题意得：2m+5＝4m﹣3，

解得：m＝4，

故答案为：4．

【考察注意点】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，则称为同类二次根式．

【随堂演练06】（2022春•交城县期中）若最简二次根式与可以合并．

（1）求a的值；

（2）对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“※”如下：x※y＝，如：3※2＝＝．请求a※[a※（﹣2）]的值．

【思路引导】（1）根据最简二次根式的定义判断即可；

（2）根据新定义计算可得．

【规范解答】解：（1）∵最简二次根式与可以合并，

∴2a﹣2＝﹣a+16，

∴a＝6；

（2）当a＝6时，a※[a※（﹣2）]

＝6※[6※（﹣2）]

＝6※

＝6※

＝

＝．

【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

一、选择题

1．（2022秋·河南郑州·八年级校考阶段练习）下列说法：（1）无理数包含正无理数、零、负无理数；（2）的算术平方根为2；（3）为最简二次根式；（4）实数和数轴上的点是一一对应的；（5）一定有平方根，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【思路引导】根据无理数，算术平方根，最简二次根式，实数与数轴的关系，逐项判断即可求解．

【规范解答】解：（1）无理数包含正无理数和负无理数，故原说法错误；

（2）的算术平方根为2，故原说法正确；

（3），故原说法错误；

（4）实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确；

（5）不一定有平方根，故原说法错误；

所以正确的有2个．

故选：B

【考察注意点】本题主要考查了无理数，算术平方根，最简二次根式，实数与数轴的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是一道基础题．

2．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）下列计算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路引导】根据二次根式乘法法则将四个选项分别计算，再判断．

【规范解答】解：A、，该选项不符合题意；

B、，该选项不符合题意；

C、，该选项不符合题意；

D、，正确，该选项符合题意．

故选：D．

【考察注意点】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键.

3．（2021春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路引导】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．

【规范解答】解：A、是最简二次根式，故该选项符合题意；

B、，故该选项不符合题意；

C、，故该选项不符合题意；

D、，故该选项不符合题意．

故选：A．

【考察注意点】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．

4．（2021春·山东威海·八年级校考期中）计算正确的结果是（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【思路引导】利用二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则计算即可．

【规范解答】∵

=

=

=，

∴选D．

【考察注意点】本题考查了二次根式的乘法，平方差公式，逆用积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键．

5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）估计的值应在（    ）

A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间

【答案】C

【思路引导】先根据二次根式的运算法则进行计算，然后再估算无理数的大小即可．

【规范解答】解：，

∵，

∴，即．

故选：C．

【考察注意点】本题主要考查了二次根式的乘法、无理数的大小估算等知识点，正确掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．

6．（2020春·江苏南通·八年级校考阶段练习）已知，且a>b>0，则的值为(    )

A． B．± C．2 D．±2

【答案】A

【思路引导】已知a2+b2=6ab，变形可得（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，可以得出（a+b）和（a-b）的值，即可得出答案．

【规范解答】解：∵a2+b2=6ab，

∴（a+b）2=8ab，（a-b）2=4ab，

∵a＞b＞0，

∴a+b=，a-b=，

∴=，

故选A．

【考察注意点】本题考查了分式的化简求值问题，完全平方公式的变形求值，二次根式的除法，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a、b的大小关系以及本身的正负关系．

二、填空题

7．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）计算：_______．

【答案】

【思路引导】根据根式乘法法则计算，再根据二次根式性质化成最简二次根式即可得到答案．

【规范解答】解：由题意得，

，

故答案为．

【考察注意点】本题考查二次根式乘法运算及化简最简二次根式，解题的关键是运算结束要化简成最简二次根式．

8．（2022秋·河北秦皇岛·八年级统考期末）计算：（1）______；（2）______．

（3）______；（4）______．

【答案】     2          4     5

【思路引导】（1）根据平方差公式和二次根式的运算法则求解即可；

（2）根据完全平方公式和二次根式的运算法则求解即可；

（3）根据二次根式的性质和除法运算法则求解即可；

（4）根据二次根式的性质和乘法运算法则求解即可．

【规范解答】解：（1）

故答案为：2；

（2），

故答案为：；

（3），

故答案为：4；

（4）

故答案为：5．

【考察注意点】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法和除法运算法则，平方差公式和完全平方公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．

9．（2022秋·上海·八年级校考期中）的有理化因式为______．

【答案】（答案不唯一）

【思路引导】根据有理化因式的定义求解即可．

【规范解答】解：∵．

∴的有理化因式为．

故答案为：（答案不唯一）．

【考察注意点】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定．

10．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）_______．

【答案】

【思路引导】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．

【规范解答】解：

，

故答案为：．

【考察注意点】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确运用二次根式的除法运算法则是解题关键．

11．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，将 ，三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，为第 3排第 2列的数为，则与表示的两个数的积是_____．

【答案】

【思路引导】根据题意和图形中的数据，可以发现数字的变化规律，从而可以得到与表示的两个数，进而与表示的两个数的积，本题得以解决．

【规范解答】解：由题意可得：每三个数一循环，，

在数列中是第个，

，表示的数正好是第轮的最后一个，即表示的数是，

由题意可得：每三个数一循环，，

在数列中是第个，

，表示的数正好是第轮的第一个，

即表示的数是1，

故（与表示的两个数的积是：．

故答案为．

【考察注意点】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出相应的两个数的乘积．

12．（2022秋·江西抚州·八年级校考阶段练习）化简的结果是______．

【答案】##

【思路引导】逆用积的乘方，用平方差公式进行计算即可．

【规范解答】解：

；

故答案为：．

【考察注意点】本题考查积的乘方的逆用，平方差公式．熟练掌握积的乘方法则，以及平方差公式，是解题的关键．

三、解答题

13．（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）（1）计算：；

（2）解方程．

【答案】（1）；（2）

【思路引导】（1）先计算零指数幂，立方根和二次根式乘法，再合并即可；

（2）按照求立方根的方法解方程即可．

【规范解答】解：（1）原式

；

（2）解：∵，

∴，

解得．

【考察注意点】本题主要考查了零指数幂，立方根，二次根式的乘法，熟知相关计算法则是解题的关键．

14．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）计算：．

【答案】

【思路引导】先算乘除法和完全平方，然后合并同类二次根式即可．

【规范解答】解：

．

【考察注意点】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

15．（2022秋·四川达州·八年级校考期中）求下列未知数的值．

(1)

(2)

【答案】(1)或

(2)

【思路引导】（1）移项后将的系数化为1，然后根据平方根的性质求解；

（2）移项后利用二次根式的除法法则求解即可．

【规范解答】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴或；

（2）解：∵，

∴，

∴．

【考察注意点】本题考查了平方根的应用以及二次根式的除法、解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．

16．（2023秋·陕西西安·八年级高新一中校考期末）（1）计算：

（2）解方程组：

【答案】（1）；（2）

【思路引导】（1）先计算负整数指数幂，绝对值和二次根式的乘法，再根据实数的混合计算法则求解即可；

（2）根据加减消元法求解即可．

【规范解答】解：（1）原式

；

（2）

整理得：，

得：，解得，

把代入①得：。解得，

∴方程组的解为．

【考察注意点】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式的乘法，解二元一次方程组，熟知相关计算法则是解题的关键．

17．（2023·全国·八年级专题练习）计算：

【答案】（1）；（2）12；（3）；（4）0；（5）2

【思路引导】（1）将原式展开，然后进行合并即可求解；

（2）将每项化为最简二次根式，然后约分合并即可求解；

（3）将每项化为最简二次根式，分母有理化，然后进行合并即可求解；

（4）将原式化为最简二次根式，然后根号二次根式加减法法则进行计算即可；

（5）首先将原式每一项化为最简二次根式，然后进行合并计算．

【规范解答】（1）原式=

=

（2）原式=

=

=12

（3）原式=

=

=

（4）原式=

=

=

=0

（5）原式=

=

=2

【考察注意点】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

18．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）观察下列等式：

①；

②；

③

…回答下列问题：

（1）利用你观察到的规律，化简：

（2）计算： ．

【答案】（1）；（2）

【规范解答】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可.

试题解析：（1）

=

= ；

（2）

=+…+

=．

19．（2019春·八年级课时练习）体积为18的长方体的宽为1cm，高为cm，求这个长方体的长．

【答案】9cm

【思路引导】已知长方体的宽与高，根据二次根式的乘法，即可求得这个长方体的长．

【规范解答】长方体的高为=2cm，宽为1cm，

则长方体的长为： =9cm，

答：长方体的长是9cm．

【考察注意点】此题考查了二次根式的乘法．此题比较简单，注意÷=（a＞0，b＞0）.

20．（2018春·八年级课时练习）（1）试比较与的大小；

  （2）你能比较与的大小吗？其中k为正整数.

【答案】（1）<；（2）<

【规范解答】试题分析：运用分母有理化进行化简后，再进行比较大小即可.

试题解析：（1），

，

 故<.

（2），

  ，

 故＜．