人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式精品课后练习题

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

16.3 二次根式的加减

1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；

2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

重点：依据运算法则进行熟练的计算。

难点：根式运算与分式运算的综合问题。

知识点01：同类二次根式

1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
要点诠释：
　　(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；
　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
2.合并同类二次根式
　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
要点诠释：
　　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
　　(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.

知识点02：二次根式的加减
1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其

中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

要点诠释：

（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.            

（2）二次根式加减运算的步骤：
　　1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
　　2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
　　3)合并同类二次根式.
知识点03：二次根式的混合运算
　　二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
要点诠释：
　　(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；
　　(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；
　　(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.

【典例分析01】（2022秋•九龙坡区校级期末）下列计算正确的是（　　）

A．a4+a6＝a10 B． C． D．

【思路引导】根据合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算即可求出答案．

【规范解答】解：A、a4与a6不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．

B、原式＝3，故B不符合题意．

C、原式＝4，故C符合题意．

D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．

故选：C．

【考察注意点】本题考查合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算，本题属于基础题型．熟练掌握这些知识点是解题的关键．

【典例分析02】（2022春•沂水县期中）下列计算正确的是（　　）

A． B． C．2 D．2＝2

【思路引导】根据二次根式的加减运算法则计算判断即可．

【规范解答】解：﹣＝2﹣＝，A选项正确；

+≠，B选项错误；

2﹣2≠，C选项错误；

2﹣＝，D选项错误．

故选：A．

【考察注意点】本题考查二次根式的加减运算，做题关键要掌握二次根式的加减运算法则．

【随堂演练01】（2022•南岗区校级开学）计算：

（1）（2a+b）（b﹣5a）；

（2）2．

【思路引导】（1）直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案；

（2）直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．

【规范解答】解：（1）原式＝2ab﹣10a2+b2﹣5ab

＝﹣3ab﹣10a2+b2；

（2）原式＝2×2﹣6×+3×4

＝4﹣2+12

＝14．

【考察注意点】此题主要考查了多项式乘多项式运算、二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【随堂演练02】（2022春•武隆区校级期中）计算：

（1）+（）﹣2﹣|﹣2|；

（2）+2﹣（﹣）．

【思路引导】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答．

【规范解答】解：（1）+（）﹣2﹣|﹣2|

＝2+9﹣（2﹣）

＝2+9﹣2+

＝3+7；

（2）+2﹣（﹣）

＝2+2﹣3+

＝3﹣．

【考察注意点】本题考查了实数的运算，二次根式的加减法，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

【典例分析03】（2022春•东莞市校级期中）下列计算不正确的是（　　）

A．•＝ B．+＝ C．÷＝3 D．＝2

【思路引导】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．

【规范解答】解：A．•＝，故此选项不合题意；

B．+无法计算，故此选项符合题意；

C．÷＝3，故此选项不合题意；

D．＝2，故此选项不合题意．

故选：B．

【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【典例分析04】（2022秋•渠县校级期末）计算：（）（）（）＝　﹣　．

【思路引导】直接利用平方差公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【规范解答】解：原式＝[（）2﹣（）2]×（）

＝（6﹣5）×（﹣）

＝1×（﹣）

＝﹣．

故答案为：﹣．

【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

【随堂演练03】（2022秋•惠济区校级期末）（1）解方程组：；

（2）计算：．

【思路引导】（1）利用加减消元法解方程组即可；

（2）根据二次根式的性质、完全平方公式计算、化简．

【规范解答】解：（1）①+②，得3x＝12，

解得：x＝4，

将x＝4代入①，得4+5y＝9，

解得：y＝1，

则原方程组的解是；

（2）原式＝

＝

＝．

【考察注意点】本题考查加减消元法解二元一次方程组、二次根式的乘除法、完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

【随堂演练04】（2022秋•碑林区校级期末）计算：

（1）3﹣﹣；

（2）（3+）（3﹣）．

【思路引导】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可解答本题；

（2）根据平方差公式即可解答本题．

【规范解答】解：（1）3﹣﹣

＝3﹣2+﹣3

＝﹣；

（2）（3+）（3﹣）

＝（3）2﹣（）2

＝18﹣6

＝12．

【考察注意点】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．

【典例分析05】（2022春•藁城区校级月考）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（　　）

A． B． C． D．

【思路引导】由题意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝2，再整理所求的式子，代入运算即可．

【规范解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，

∴ab＝（+1）×（﹣1）＝2，

a﹣b＝+1﹣（﹣1）＝2，

a+b＝+1+﹣1＝2，

∴

＝

＝

＝

＝．

故选：A．

【考察注意点】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

【典例分析06】（2022秋•海淀区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则+的值为 　　．

【思路引导】先将所求根式化简，再整体代入求值即可．

【规范解答】解：当a+b＝3，ab＝2时，

+

＝+

＝

＝

＝

＝．

故答案为：．

【考察注意点】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是将所求二次根式化简，再整体代入求值．

【随堂演练05】（2022秋•丰城市校级期末）先化简，再求值：a+，其中a＝2020．

如图是小亮和小芳的解答过程．

（1）　小亮　的解法是错误的；

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　＝|a|　；

（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．

【思路引导】（1）根据二次根式的性质判断即可；

（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a＝﹣2代入计算即可．

【规范解答】解：（1）小亮的解法是错误的，

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：＝|a|，

故答案为：小亮；＝|a|；

（2）原式＝a+2＝a+2|a﹣3|，

∵a＝﹣2＜3，

∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8．

【考察注意点】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．

【随堂演练06】（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，其中．

【思路引导】求出a的值，根据平方差公式得出a2﹣3﹣a2+6a，推出6a﹣3，把a的值代入求出即可．

【规范解答】解：∵a＝+＝+，

∴（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6），

＝a2﹣3﹣a2+6a，

＝6a﹣3，

＝6×（+）﹣3，

＝3．

【考察注意点】本题考查了平方差公式和二次根式的化简求值的应用，关键是根据性质进行化简，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．

【典例分析07】（2022春•许昌期末）已知矩形的面积为4，一条边长a为，则相邻的另一边长b为（　　）

A． B． C． D．4

【思路引导】根据矩形的面积公式计算即可．

【规范解答】解：由题意可得：S＝ab，即，

∴b＝＝．

故选：B．

【考察注意点】本题考查二次根式的应用，解题关键是掌握矩形面积公式．

【典例分析08】（2022春•潮安区校级月考）设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b，已知a＝，b＝，则S＝（　　）

A． B． C． D．

【思路引导】运用矩形的面积公式直接计算，即可解决问题．

【规范解答】解：（1）∵a＝，b＝，

∴S＝ab＝×＝3，

故选：C．

【考察注意点】该题主要考查了二次根式的化简、求值问题；解题的关键是正确运用二次根式运算法则及运算公式来化简、计算．

【随堂演练07】（2022秋•宁德期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．

（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；

（2）求阴影部分的面积．

【思路引导】（1）根据正方形的面积公式求得边长；

（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积．

【规范解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC＝，

正方形ECFG的边长为：CF＝；

（2）∵BF＝BC+CF，BC＝2，CF＝4，

∴BF＝6；

∴S△BFG＝GF•BF＝24；

又S△ABD＝AB•AD＝4，

∴S阴影＝S正方形ABCD+S正方形ECFG﹣S△BFG﹣S△ABD

＝8+32﹣24﹣4，

＝12．

【考察注意点】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第（2）题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．

【随堂演练08】（2022春•周至县期末）在一个长为4，宽为3的矩形内部挖去一个边长为（2﹣）的正方形，求剩余部分的面积．

【思路引导】根据矩形的面积﹣正方形的面积即可得到剩余部分的面积．

【规范解答】解：4×3﹣（2﹣）2

＝60﹣（60﹣20+5）

＝60﹣60+20﹣5

＝（20﹣5）平方米，

答：剩余部分的面积为（20﹣5）平方米．

【考察注意点】本题考查了二次根式的应用，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．

一、选择题

1．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【思路引导】先化为最简二次根式，根据同类二次根式的定义一一判断选择即可．

【规范解答】解：A． 与不是同类二次根式，故A不符合题意；

B． 与是同类二次根式，故B符合题意；

C．与不是同类二次根式，故C不符合题意；

D．与不是同类二次根式，故D不符合题意．

故选：B．

【考察注意点】本题考查的是同类二次根式的定义与二次根式的化简，最简二次根式，能够化简选项中的二次根式是解题的关键．

2．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：的结果为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【思路引导】先计算二次根式的乘法和除法，再计算二次根式的减法.

【规范解答】

故选：A

【考察注意点】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键.

3．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期末）下列运算正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】D

【思路引导】根据二次根式的加减法、二次根式的乘法法则、二次根式的除法法则依次进行判断．

【规范解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；

B、，故该选项不符合题意；

C、，故该选项不符合题意；

D、，故该选项符合题意；

故选：D．

【考察注意点】本题考查了二次根式的加减运算和乘除运算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

4．（2023春·八年级单元测试）已知，，则的值为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】D

【思路引导】利用已知，代入求值即可．

【规范解答】解：，

当，时，

，，

原式．

故选：D．

【考察注意点】本题考查了分式化简求值，二次根式的加减．

5．（2023春·八年级单元测试）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为16cm2和12 cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【思路引导】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．

【规范解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和，

它们的边长分别为，，

，，

空白部分的面积

．

故选：D．

【考察注意点】本题考查了二次根式的应用，算术平方根的定义，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．

6．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【思路引导】根据二次根式的性质进行计算化简判断即可．

【规范解答】因为和不是同类二次根式，

故无法计算，

所以A错误；

因为，

所以B错误；

因为，

所以C正确；

因为和不是同类二次根式，

故无法计算，

所以D错误；

故选C．

【考察注意点】本题考查了二次根式的乘法，加减运算，熟练掌握二次根式加减运算的性质，乘法运算的性质是解题的关键．

二、填空题

7．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）的算术平方根是______，的倒数是______，的绝对值是______。

【答案】              

【思路引导】根据求一个数的算术平方根，分母有理化，实数的性质，即可求解．

【规范解答】解：的算术平方根是，的倒数是，的绝对值是，

故答案为：，，．

【考察注意点】本题考查了求一个数的算术平方根，分母有理化，实数的性质，掌握以上知识是解题的关键．

8．（2023春·湖南常德·八年级校考期末）已知x＝，y＝，= _____．

【答案】

【思路引导】先分母有理化，求出，的值，再同分根据完全平方公式变形计算即可．

【规范解答】解：∵，，

∴，

∴

，

故答案为：．

【考察注意点】此题考查了分母有理化，整式的混合运算，异分母分式加减法，完全平方公式的变形计算，正确掌握各知识点是解题的关键．

9．（2022秋·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则______．

【答案】

【思路引导】由于，则，，然后代入所求代数式进行计算即可．

【规范解答】解：，

，，

．

故答案为：3．

【考察注意点】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．

10．（2022秋·八年级单元测试）比较大小：__．（选填“”、“”或“”）

【答案】

【思路引导】根据二次根式的性质进行求解即可．

【规范解答】解：∵，，

∴．

故答案为：．

【考察注意点】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．

11．（2022秋·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）已知，则的值为___________．

【答案】

【思路引导】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可．

【规范解答】解：∵，

∴，

∴

故答案为：

【考察注意点】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把代入所求式子进行化简求值．

12．（2022·全国·八年级假期作业）形如的根式叫做复合二次根式，对可进行如下化简：＝＝+1，利用上述方法化简：＝_____．

【答案】

【思路引导】根据题目中复合二次根式的化简方法及二次根式的性质进行化简，再将化简结果运用二次根式的加减法法则计算即可．

【规范解答】解：

．

故答案为：．

【考察注意点】此题考查了二次根式的化简及运算，熟练掌握二次根式的性质及正确理解题目中复合二次根式的化简方法是解题的关键．

三、解答题

13．（2023秋·山东济南·八年级校考期末）化简计算：

(1)

(2)

【答案】(1)

(2)

【思路引导】（1）根据二次根式的加减进行计算即可求解；

（2）根据求一个数的立方根以及二次根式的乘除法进行计算即可求解．

【规范解答】（1）解：

；

（2）解：

．

【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，求一个数的立方根，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

14．（2022秋·甘肃兰州·八年级校考期末）计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)；

(2)．

【思路引导】（1）利用二次根式的乘法运算法则和二次根式的性质化简即可求解；

（2）利用零次幂、负整数指数幂以及去绝对值，再计算得出答案．

【规范解答】（1）解：

；

（2）解：

．

【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键．

15．（2020秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期中）先化简，再求值：，其中．

【答案】，7

【思路引导】根据整式的运算及乘法公式进行化简即可，然后把代入求解即可．

【规范解答】解：原式

，

把代入得：原式．

【考察注意点】本题主要考查整式的运算及乘法公式，关键是熟记公式及方法是解题的关键．

16．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）（1）解方程组：

（2）计算：

【答案】（1）；（2）．

【思路引导】（1）先利用代入消去x得到关于y的一次方程，把解得的y的值代入②计算出x的值，从而得到方程组的解；

（2）根据二次根式的混合运算计算即可．

【规范解答】（1）解：，

由①得：，

将代入②得：，

解得：，

将代入①，得：，

所以方程组的解为： ；

（2）解：

．

【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．也考查了解二元一次方程组．

17．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）先化简，再求值：，其中， ．

【答案】，

【思路引导】利用乘法公式和单项式乘多项式的运算法则先计算括号内的乘方，乘法，然后合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，再代入求值．

【规范解答】解：

，

当， 时，原式．

【考察注意点】本题考查了整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式法则、合并同类项法则、多项式除以单项式法则等知识是解题的关键．

18．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：

；；；

(1)请用含的等式表示你发现的规律___________________；

(2)证明一下你写的等式成立；

(3)利用等式计算：；

(4)计算：．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

(4)

【思路引导】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可以写出一般性等式；

（2）根据分数的运算法则即可验证；

（3）根据（1）中的结论进行计算即可；

（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．

【规范解答】（1）解：根据题意，由规律可得：

它的一般性等式为；

（2）证明：

原式成立；

（3）解：

；

（4）解：

．

【考察注意点】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．

19．（2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）阅读下列材料，解答后面的问题：

；

；

(1)写出下一个等式；

(2)计算的值；

(3)请求出的运算结果．

【答案】(1)

(2)

(3)

【思路引导】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；

（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；

（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．

【规范解答】（1）解：

（2）解：

．

（3）解：

【考察注意点】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

20．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．

材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．

请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；

(2)化简：；

(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（，m）且，点是点M的“横负纵变点”，求点'的坐标．

【答案】(1)（，）；（，）

(2)+

(3)（﹣，﹣）

【思路引导】（1）根据“横负纵变点”的定义，，即可；

（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将化为，再根据，即可化简；

（3）根据，得；将化简得；根据，得，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，，即可求出的坐标．

（1）

∵

∴点（，）的“横负纵变点”为（，）

∵

∴点（，）的“横负纵变点”为（，）

故答案为：（，）；（，）．

（2）

∴化简得：．

（3）

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴点（，）

∵

∴（，）

故的坐标为：（，）．

【考察注意点】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．