人教版八年级下册17.1 勾股定理精品课堂检测

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2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义17.1 勾股定理1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．知识点01：勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.         （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.　 （3）理解勾股定理的一些变式：，， .知识点02：勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.　　　 图（1）中，所以.　　　　　 　　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.　　　　 　　图（2）中，所以.　　　　　　方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.　　　　　　 　　　　   ，所以.知识点03：勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为的线段.  【典例分析01】（2022八上·拱墅月考）如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则 等于(　　) A．9 B．35 C．45 D．无法计算【答案】C【规范解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2-AD2，CD2＝AC2-AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2-AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2-AD2+MD2，
∴MC2-MB2＝（AC2-AD2+MD2）-（AB2-AD2+MD2）＝AC2-AB2
又∵AB=6，AC=9，
∴MC2-MB2＝45．
故答案为：C． 【思路引导】在Rt△ABD和Rt△ADC中分别表示出BD2和CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别表示出BM2和MC2，然后等量代换并作差得到MC2-MB2＝AC2-AB2，再代入数据计算即可.【典例分析02】（2022八上·拱墅月考）已知：如图，的面积为，，现将沿直线向右平移个单位到的位置． （1）求边上的高；（2）若，求线段的长；连接，当是等腰三角形时，求的值．【答案】（1）解：如图，作AM⊥BC于M，

∵△ABC的面积为84，
∴·BC·AM＝84，
解得：AM＝8，即BC边上的高为8.（2）解：①∵在Rt△ABM中，AB=10，AM=8，
∴BM＝＝6，
∴CM＝BC-BM＝15，
在Rt△ACM中，AC＝＝17，
由平移的性质可知，DF＝AC＝17；
②当AB＝BE＝10时，
∴a＝BE＝10；
当AB＝AE＝10时，BE＝2BM＝12，
∴a＝BE＝12；
当EA＝EB＝a时，则ME＝a-6，
在Rt△AME中，AM2+ME2＝AE2，
∴82+（a-6）2＝a2，
整理，解得：a＝，
∴当△ABE是等腰三角形时，a的值为10或12或.【思路引导】（1）作AM⊥BC于M，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）①根据勾股定理求出BM、AC，再由平移的性质解答；②分AB＝BE、AB＝AE、EA＝EB三种情况，根据勾股定理计算即可．【随堂演练01】（2023八上·郑州期末）如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段，，.现在取出这三条线段，，首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（　　）A．能拼成一个锐角三角形 B．能拼成一个直角三角形C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形【随堂演练02】（2022八上·兴平期中）如图，正方形网格中的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上，判断的形状，并说明理由．   【典例分析03】（2022八上·长春期末）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．（1）请结合图①，写出完整的证明过程；（2）如图②，在等腰直角三角形中，，，P是射线BC上一点，以为直角边在边的右侧作，使，．过点D作于点E，当时，则　     　．【答案】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴．（2）【规范解答】解：（2）如图②，过点A作于H， ∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴．故答案为： 【思路引导】（1）先证出是等腰直角三角形，可得，再结合，可得，最后化简可得。
（2）过点A作于H，先利用“AAS”证明，可得，，再利用勾股定理求出BD的长即可。【典例分析04】（2022八上·乳山期中）如图是由单位长度均为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D都是网格线的交点，由其中任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【规范解答】解：由勾股定理得：，，，，， ，，、是直角三角形，∴任意三个点连接而成的三角形是直角三角形的个数为2个，故答案为：B． 【思路引导】利用勾股定理的逆定理判断出、是直角三角形，从而得解。【随堂演练03】（2022八上·河南开学考）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为　         　，该定理的结论其数学表达式是　         　．【随堂演练04】（2022八下·河东期中）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边的长分别为a和b，斜边为c．图②是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个直角梯形．（1）画出拼成的这个图形的示意图，并标注相关数据；（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．   一、选择题1．（2022八上·电白期末）如图，一根长为的竹竿斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B离墙壁距离，则该竹竿的顶端A离地竖直高度为（　　）A． B． C． D．2．（2022八上·太原期中）如图，在中，，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正方形．若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为（　　）A．4 B．8 C． D．343．（2022八上·电白期中）如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为　A．6 B．5 C．4 D．34．（2022八上·杏花岭期中）如图，作一个正方形，使其边长为单位长度，以表示数1的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）A． B． C． D．5．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为尺，根据题意，可列方程为（　　）A． B．C． D．6．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题7．（2023八上·郑州期末）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后点恰好落在边上的点F处.若点D的坐标为，则直线的解析式为　         　.8．（2023八上·郑州期末）如图，已知直角三角形的周长为24，且阴影部分的面积为24，则斜边的长为　     　.9．（2022八上·德惠期末）已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为　     　．10．（2022八上·苍南月考）矩形在平面直角坐标系中，，，将它沿对折，点A落在处，则的坐标是　          　.11．（2022八上·拱墅月考）如图，在中，，为边的中点，、分别为边、上的点，且，若，，则　     　，线段的长度　     　． 12．（2022八上·市北区期末）如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，则下列结论正确的是　         　．①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2）-CD2．   三、解答题13．（2022八下·斗门期末）如图，四边形ABCD中．若∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，CD＝7．AD＝24，先判断∠D是否是直角，再说明理由．   14．（2022八下·兰陵期末）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度．  15．（2022八下·长沙期中）如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都在格点上，试求线段AB的长度. 16．（2023八上·榆林期末）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高）    17．（2022八上·市北区期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．         18．（2023八上·榆林期末）如图，在中，是上一点，若，，，. （1）求证：；（2）求的面积.     19．（2022七上·咸阳月考）如图，在中，.（1）判断的形状，并说明理由；（2）若点为线段上一点，连接BP，且BP=CP，求AP的长.         20．（2022八上·将乐期中）如图所示，直线分别与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是上一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点 处.（1）求：点A，点B的坐标；（2）点，点C的坐标. （3）若P在x轴上运动且是等腰三角形，直接写出所有符合条件的的点P的坐标.