数学18.2.2 菱形精品练习题

2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义

18.2.2 菱形

1. 理解菱形的概念.

2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．

知识点01：菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

知识点02：菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

          （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

知识点03：菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典例分析01】（2022八下·巴彦期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为AC上一点，连接DE，AB＝CE＝5AE，BD＝8，则DE的长为　     　．

【答案】2

【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，AB＝CD，DO＝BO，AC⊥BD，

设AE＝x，则AB＝CE＝5x，

∴CO＝AC＝3x，

在Rt△COD中，由勾股定理得，OD＝4x，

∴4x＝4，

∴x＝1，

∴OD＝4，AE＝1，CE＝5，

∴OE＝2，

在Rt△ODE中，由勾股定理得，

DE＝＝，

故答案为：2．

【思路引导】根据题意先求出OD＝4，AE＝1，CE＝5，再利用勾股定理计算求解即可。

【典例分析02】（2022八下·巴彦期末）若一个菱形的两条对角线长分别为10和24，则这个菱形的边长是　     　．

【答案】13

【规范解答】解：如图，BD＝10，AC＝24，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝AC＝12，OB＝BD＝5，AC⊥BD，

∴AB＝＝13．

故答案为：13．

【思路引导】利用菱形的性质和勾股定理计算求解即可。

【随堂演练01】（2022八下·铁东期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，E是CD的中点，则OE的长是（　　）

A．2.5 B．3 C．4 D．5

【随堂演练02】（2022八下·顺平期末）如图，在菱形中，，对角线，则菱形的周长是　     　，面积是　     　．

【典例分析03】（2022八下·威县期末）如图，在中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，交BC于点G．

（1）证明：四边形EFGB是菱形；

（2）若，求DF的长度．

【答案】（1）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，∵，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∵∠AFB=90°，点E是AB的中点，
∴FE=BE=AB，∴四边形EFGB是菱形；

（2）解：∵点D，点E分别是边AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×19=
在△ABF中，∵∠AFB=90°，∴AF2+BF2=AB2，
∵AF=5，BF=12， ∴AB=13
∴EF=AB=×13= ，
∴DF=DE－EF=－=3

【思路引导】（1）利用菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 DE是△ABC的中位线， 再求出 AF2+BF2=AB2， 最后计算求解即可。

【典例分析04】（2022八下·巴彦期末）在四边形ABCD中，ADBC，AD＝BC，BD平分∠ABC．

（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如图2，连接AC，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE面积相等的三角形（CDE除外）．

【答案】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴ABCD为平行四边形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为菱形；

（2）解：∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有BCD，ABD，ACD，ABC．

【思路引导】（1）利用菱形的判定方法证明即可；
（2）先求出 AC∥DE， 再求出 BC＝AD＝CE， 最后求解即可。

【随堂演练03】（2022八下·顺平期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）

A．当时，是菱形

B．当时，是矩形

C．当时，是菱形

D．当且时，是正方形

【随堂演练04】（2022八下·铁东期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作，交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：四边形ADCF是菱形；

（2）若AB＝AC，试判定四边形ADCF的形状．

【典例分析05】（2022八下·威县期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，要在对角线BD上找两点M、N，使得四边形AMCN是菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则正确的方案是（　　）

A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．甲乙都不是

【答案】C

【规范解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，

∵BM=DN，

∴OM=ON，

∵OA=OC，MN⊥AC，

∴四边形AMCN是菱形，

故方案甲符合题意；

∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，∠BAC=∠DAC，

∵AM，AN是∠BAC和∠DAC的平分线，

∴∠MAC=∠NAC，

∵∠AOM=∠AON=90°，

在△AOM和△AON中，

，

∴△AOM≌△AON（ASA），

∴OM=ON，

∵OA=OC，

∴四边形AMCN是平行四边形，

∵AC⊥MN，

∴四边形AMCN是菱形．

故方案乙符合题意．

故答案为：C．

【思路引导】利用菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，结合图形求解即可。

【典例分析06】（2022八下·宣化期末）如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求平行四边形的面积．

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，
∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO＝BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC×BD＝120．

【思路引导】（1）利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定方法证明求解即可；
（2）先求出 AC⊥BD，BO＝BD＝5， 再利用勾股定理求出AO=12，最后计算求解即可。

【随堂演练05】（2022八下·范县期末）如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）过点D作，交的延长线于点E，连接，若，求菱形的边长．

【随堂演练06】（2022八下·南昌期末）如图，将两张长为10，宽为4的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．

（1）证明：四边形AGCH是菱形；

（2）求菱形AGCH的周长．

一、选择题

1．（2023·全国·八年级专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（            ）

A．24 B．48 C．72 D．96

2．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，将沿方向平移得到，连接，下列条件能够判定四边形为菱形的是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021春·重庆江北·八年级重庆十八中校考期中）已知四边形是平行四边形，下列说法正确的有（    ）．

①当时，它是矩形；

②时，它是菱形；

③当时，它是菱形；

④当时，它是矩形．

A．①② B．② C．②④ D．③④

4．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，菱形的周长为，对角线、相交于点O，，垂足为E，，则为（    ）

A． B． C． D．4cm

5．（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

6．（2022秋·江苏南京·八年级期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点G，交于点E，于点F，交于点Q．下列结论：①；②；③；④为等边三角形．其中所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④

7．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在， 边上，将纸片沿直线折叠，点落在上的一点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点A重合时，．以上结论中，你认为正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

8．（2022秋·山东潍坊·八年级校考期末）如图，在菱形中，点是的中点，，，点为上一动点，求的最小值______．

9．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别是，，，垂足为点，则的长是______．

10．（2022春·广西百色·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，若点P是对角线上的一个动点，E为的中点，则的最小值等于______．

11．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是、的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形，要使四边形是菱形，可添如条件__________．

12．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条件是__．

13．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，过点A作的平行线，交的延长线于点F，在的延长线上截取，连接、，若，，则四边形的面积为___．

14．（2021春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，，分别为线段，的中点．若线段的长为8，则的长为______．

三、解答题

15．（2022春·广西钦州·八年级阶段练习）如图，已知菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上．

(1)求点的坐标；

(2)如图，对角线，相交于点，求，的长及点的坐标．

16．（2022春·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学校考期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）．

(1)在图1中，画出一个三角形，使其三边长分别为2，，．

(2)在图2中，画出一个非正方形的特殊平行四边形，使其面积为4，对角线的交点在格点上．

17．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接、．

(1)求证：四边形为平行四边形；

(2)求证：四边形为矩形．

18．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）如图，已知菱形的对角线，，于点E，试求的长．

19．（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若，，求的长；

20．（2021春·四川成都·八年级校考期中）如图，将沿射线平移得到，使得点落在的平分线上，连接，．

(1)求证：四边形为菱形．

(2)在中，，，若，求四边形的面积．