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【重难点讲义】人教版数学八年级下册-19.1 函数 讲义
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这是一份【重难点讲义】人教版数学八年级下册-19.1 函数 讲义，文件包含191函数原卷版docx、191函数解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共89页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.1 函数
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
知识点01：变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
知识要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
知识点02：函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
知识要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
知识点03：函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
知识要点：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
知识点04：自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
知识要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
知识要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
知识点06：函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【典例分析01】（2022秋·八年级课时练习）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
用电量x（千瓦时）
1
2
3
4
…
应交电费y（元）
0.55
1.1
1.65
2.2
…
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数
B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元
D．y不是x的函数
【答案】D
【思路点拨】结合表格中数据变化规律进而得出y是x的函数且用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元．
【规范解答】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，正确，不合题意；
B、用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，正确，不合题意；
C、若用电量为8千瓦时，则应交电费元，正确，不合题意；
D、y是x的函数，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【考点评析】此题考查了函数的概念以及常量与变量，正确获取信息是解题关键．
【变式训练01】（2022春·河南新乡·八年级校考期中）科学研究表面，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长． 某同学测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的重量x(kg)之间的关系如下表所示：
0
1
2
3
4
5
20
21
22
下列说法不正确的是( )A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体的重量每增加，弹簧的长度增加
C．与的关系表达式是
D．所挂物体的重量为时，弹簧的长度为
【变式训练02】（2022·全国·八年级假期作业）某条河受暴雨袭击，水位的变化情况如下表：
时间/h
0
4
8
12
16
20
24
水位/m
2
2.5
3
4
5
6
8
（1）上表反映了___________和___________之间的关系，自变量是___________，因变量是___________．
（2）12h时，水位是___________．
（3）___________至___________水位上升最快．
【变式训练03】（2022秋·八年级课时练习）一家快递公司的收费标准如图．用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数．
(1)填写下表．
t（千克）
3
6
10
11
12.5
13
p（元）
(2)在投寄快递邮件的事项中，t，p，n是常量，还是变量？若，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t，p，n，w中哪些是常量？哪些是变量？
【典例分析02】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）小王上学时以每小时 的速度行走，他所走的路程（ ）与时间（h）之间的关系为： ，则下列说法正确的是（ ）
A．s、t和6都是变量 B．s是常量，6和t是变量
C．6是常量，s和t是变量 D．t是常量，5和s是变量
【答案】C
【思路点拨】根据变量的定义：在某事件中能够发生变动的量，逐项分析即可．
【规范解答】解：在中，6是常量， 和 是变量，
A选项：6是常量，不符合题意；
B选项：s是变量，不符合题意；
C选项：符合题意；
D选项：t是变量，不符合题意，
故选：C．
【考点评析】本题考查变量与常量，关键是理解变量定义．
【变式训练04】（2023秋·河北保定·八年级统考期末）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
下列说法不正确的是（ ）A．y与x的函数表达式为
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”
D．挂30kg物体时，弹簧长度为23cm
【变式训练05】（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：
x/元
…
15
20
25
…
y/件
…
25
20
15
…
(1)求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
(2)当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是多少元？
【变式训练06】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各菜市场开设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
(1)若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利______元；
(2)为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式；
②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？
【典例分析03】（2022秋·八年级课时练习）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲的速度为8米/秒 B．甲比乙先到达终点
C．乙跑完全程需12.5秒 D．这是一次100米赛跑
【答案】A
【思路点拨】利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．
【规范解答】解：结合图象可知：s=100m，甲比乙先到达终点，乙跑完全程需12.5秒，
故B、C、D说法正确；
甲的速度是100÷12≈8.3(米/秒)，故A说法不正确；
故选：A．
【考点评析】此题考查了利用图象得出正确信息，解题的关键是能从图中获取相应的信息．
【变式训练07】（2022秋·八年级课时练习）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．
【变式训练08】（2022秋·八年级课时练习）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
【变式训练09】（2022秋·八年级课时练习）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)请直接写出点B所对应的数；
(2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
(3)轿车出发多长时间追上货车？
【典例分析04】（2022春·吉林长春·八年级校考阶段练习）大年三十晚上，小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花炮竹，小六驾车匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后小六加快速度继续匀速行驶，零点之前到达指定燃放地点，燃放结束后，小六按驾车匀速返回．其中，x表示小六从家出发后所用时间，y表示小六离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】根据题意可得离家的距离越来越远，根据途中遇到堵车原地等待一会儿，可得路程不变，根据加速行驶，可得路程变化快，燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，再匀速回家，离家距离越来越近，即可得出结论．
【规范解答】解：由题意得：离家的距离越来越远，直线呈上升趋势，
根据途中遇到堵车原地等待一会儿，可得路程不变，时间加长，直线呈水平状态，
后来加速行驶，可得路程变化快，直线上升快，
燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，直线呈水平状态，
再匀速回家，离家距离越来越近，直线呈下降趋势．
故选：A．
【考点评析】本题考查了函数图象，观察路程随时间的变化是解题的关键．
【变式训练10】（2023春·浙江·八年级开学考试）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶后，与B港的距离分别为、，、与x的函数关系如图所示．考察下列结论：
①甲船的速度是；
②从A港到C港全程为；
③甲船比乙船早1.5小时到达终点；
④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；
⑤如果两船相距小于10能够相互望见，那么，甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是．
其中正确的结论有____．
【变式训练11】（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是___________（填序号）．
【变式训练12】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间x(分钟)之间的函数关系如图，则BC两地的距离为___________米．
【典例分析05】（2023秋·广东深圳·八年级统考期末）小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究．
(1)在自变量x的取值范围内，x与y的几组对应值如下表：其中______．
x
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
2
1
0
1
2
3
m
5
…
(2)在平面直角坐标系中，已知函数y的部分图象如图所示，请补全函数y的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：____________；
(3)已知函数的图象与函数y的图象关于y轴对称．
①请在图中画出函数的图象；
②把函数与函数y的图象合称为图象w，若点与点均在图象w上，则a的值为______．
【答案】(1)
(2)函数图象见详解；当时，随的增大而增大
(3)①图象见详解；②：或或；
【思路点拨】（1）将代入中即可；
（2）直接根据表格描点连线画出图象，根据图象分析出性质即可；
（3）①根据找出原图上点的对称点，连接即可；②根据与都在图象上，可知，的纵坐标相等，分三种情况讨论：①，关于y轴对称；②，关于轴对称；③，关于轴对称．
【规范解答】（1）解：当时，（），
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）解：补全函数图象如下所示：
根据图象分析可知：当时，随的增大而增大；
（3）画出函数的图象如下所示：
解：∵与都在图象上，
，的纵坐标相等，
则分三种情况：
①，关于y轴对称，
∴，
∴，
②，关于轴对称，
∴，
∴，
③，关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【考点评析】本题考查一次函数的图象，分段函数，轴对称，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【变式训练13】（2022秋·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知气温随高度升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空高处，每升高，气温下降6℃：高于时，气温几乎不再变化，设某处地面气温，该处高空处气温为．
(1)当时，写出关于的函数关系式；
(2)画出该处气温随高度（包括高于）而变化的图象；
(3)分别求出该处在离地面及的高空处的气温．
【变式训练14】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）探索函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察、分析图象特征，概括函数图象与性质的过程．结合自己已有的学习经验，画出函数的图象（部分画图步骤已写出来，补写没有完成的步骤），研究该函数的图象性质，并解答后面的问题：
(1)列表．表中a＝ ，b＝ ．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
23
1
2
4
2
a
1
b
…
(2)描点、连线，画出函数图象．
(3)分析图象，概括函数的性质．下列关于该函数的性质，正确的为 （填序号）．
①函数的图象关于直线对称．②自变量x的取值范围是全体实数，函数y取值范围是．③函数y随自变量x的增大而增大．④当时，函数y取得最小值，其最小值为4．⑤当时，函数表达式无意义，所以．
(4)若关于x的方程＝m有两个实数解，则m的取值范围为 ．
【变式训练15】（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
0
c
…
①___________； ___________； ___________．
②若，为该函数图象上不同的两点，则___________；
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)①根据函数图象可得，当___________时，该函数y的最大值为___________；
②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：___________；___________；
【典例分析06】（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，矩形中，，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】分当和两种情况讨论，分别求得函数关系式，即可判断．
【规范解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，则
当时，，
当时，，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是经过原点和点的一条线段，然后为经过点和点的一条水平线段．
故选：C．
【考点评析】本题以动态的形式考查了分段函数，函数图象的知识和三角形面积，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式训练16】（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）如图1，在矩形中，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的时间为秒，面积为，如果与的函数图象如图2所示，则___________，___________．
【变式训练17】（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
(1)图①中 ， ，图②中 ．
(2)点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的边上？
【变式训练18】（2020秋·湖南常德·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使得CE＝CD，连接DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒．
(1)在整个运动过程中，点P运动了多少时间？
(2)当为何值时，△ABP和△DCE全等；
(3)在整个运动过程中，求△ABP的面积．
【典例分析07】（2022秋·八年级课时练习）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路点拨】分别求出和解析式即可解答．
【规范解答】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（）
当时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意．
故答案为：B．
【考点评析】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
【变式训练19】（2022秋·重庆·八年级重庆八中校考开学考试）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如下关系（其中介于0~20之间）：
提出概念所用时间
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
下列说法正确的是（ ）A．学生对概念的接受能力是59.8时，提出概念所用的时间是12分钟
B．在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力
C．根据表格中的数据，提出概念所用的时间是13分钟时，学生对概念的接受能力最强
D．根据表格中数据可知：当x介于2~13之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐步增强
【变式训练20】（2022秋·八年级课时练习）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下：
气温
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
从表中可知音速y随温度x的升高而_____．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点________米．
【变式训练21】（2022秋·八年级课时练习）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
（人）
…
200
250
300
350
400
…
（元）
…
－200
－100
0
100
200
…
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；票价为______（元/人）；
(2)请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______；
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
一、选择题
1．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）下面四个问题中的两个变量：
①去超市购买同一种水果，所付出的总价与数量；
②汽车从A地匀速行驶到地，离地的距离与时间；
③面积为定值的长方形，长与宽；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度与时间．
每个问题中因变量与自变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
2．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图①，在中，，点D为的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图像如图②所示，则的长为（ ）
A． B．13 C． D．15
3．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）在函数，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s与t之间关系的图象一部分如图所示，下列说法：
①甲行走的速度是30米/分；
②乙出发12.5分钟后追上甲；
③甲比乙晚到图书馆20分钟；
④甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米；
其中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022春·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在边长为4的菱形ABCD中，，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
B． C．D．
6．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图（1），点从平行四边形的顶点出发，以的速度沿路径匀速运动到点停止．图（2）是的面积与运动时间之间的函数关系图象．下列说法：①平行四边形是菱形；②；③上的高；④当时，．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
三、 7．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长；y与x之间的关系如图2所示，线段的长为______．
8．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间x(分钟)之间的函数关系如图，则BC两地的距离为___________米．
9．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）函数的最小值为___
10．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④慢车先到达目的地．
其中正确的是______．
11．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶的路程分别为，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地．当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后 _____小时后与甲相遇．
12．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______．
13．（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE．动点P从点A出发，沿折线A→D→C→E方向匀速运动至点E停止．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t（s），的面积为，S与t的函数图像如图2所示，则AE的长为______cm．
14．（2021秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高20%的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离y（米）与小王出发的时间x（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为________米．
三、解答题
15．（2022秋·贵州·八年级统考期中）毕节某合作社为尽快打开市场，对威宁芸豆进行线上和线下销售相结合的模式，具体销售模式如下：
线下销售模式，标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克的，超出部分每千克再让利元．
设购买威宁芸豆x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求两种销售模式分别对应的函数表达式；
(2)求出图中点C的坐标，并说明其实际意义；
(3)若想购买10千克威宁芸豆，请问选择哪种模式购买更省钱？
16．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）防疫期间，某药店销售一批外科口罩，如果一次性购买 40 个以上的外科口罩，超过 40 个部分按优惠价出售．上个月小王家一次性买了外科口罩 90 个，花了 65 元；小李家一次性买了外科口罩 120 个， 花了 80 元．
(1)求销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少？
(2)设一次性购买外科口罩 x 个，花费 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式．
(3)这个月学校一次性购买该外科口罩1080 个，花了多少钱？
17．（2022秋·宁夏中卫·八年级统考期末）一艘船A从甲地航行到乙地，到达乙地后旋即返回．该船往返过程中离甲地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图像如图所示，请根据图像解答下列问题：
(1)甲乙两地间的距离是 千米，往返共用时间是 小时；
(2)若该船A从甲地到乙地的速度是V1 km/h，返回时从乙地到甲地的速度是V2 km/h，则V1与V2的关系是V1 V2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
(3)如图（2），若这艘船A从甲地去往乙地共用2小时，同时另有一艘冲锋舟B以50km/h的速度与该船A同时从甲地出发前往乙地，求这艘船A与冲锋舟B相遇时的时间．
18．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）使用制冷仪可以匀速降低海鲜的温度，厂家将到货的海鲜分为相同的两部分，用制冷功率不同的，两种制冷仪分别对两部分海鲜制冷，温度与所用时间的关系如图所示：
(1)A制冷仪每小时使海鲜降低______℃；
(2)将海鲜制冷到时，采用两种制冷仪制冷所花时间相差______小时；
(3)为减少两部分海鲜温度达标所需时间的差异，厂家在开始制冷4小时后对调了制冷仪，请直接写出两批海鲜温度达到所需时间相差多少小时？请在下图中画出示意图，不必写出计算过程．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在等腰直角三角形中，，．点P（不与A、B重合）从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，在运动过程中，交射线于点Q，以线段为边作等腰直角三角形且（点B、R位于两侧）．设与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t（s）．
(1)当点Q与点C重合时，______．
(2)当点R落在边上时，求t的值．
(3)求S与t之间的函数关系式．
(4)当点R与的顶点C的连线平分面积时，求t的值．
20．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10．AD平分∠BAC，交BC于点D．动点Q从点B出发，按BC﹣CA的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
(1)当点Q在AC边上运动时，线段AQ（AQ＞0）的长为 （用含t的代数式表示）；
(2)当点Q在AC边上运动时，线段BQ长度不可能是 （填序号即可）．
①7.2；②5.3；③4.8；④4.5．
(3)设△ADQ的面积为S，请用含t的代数式表示S．
(4)当△ABQ为轴对称图形时，请写出满足条件的3个t的值即可．
2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
19.1 函数
1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）；
2．能初步理解函数的概念；能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法；给出自变量的一个值，会求出相应的函数值．
3．对函数关系的表示法（如解析法、列表法、图象法）有初步认识．
4. 理解函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系，会判断一个点是否在函数的图象上，明确交点坐标反映到函数上的含义.
5. 初步理解函数的图象的概念，掌握用“描点法”画一个函数的图象的一般步骤，对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化的关系．
知识点01：变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.
知识要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.
知识点02：函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
知识要点：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
知识点03：函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.
知识要点：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
知识点04：自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.
知识要点：自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05：函数的几种表达方式：
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
知识要点：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
知识点06：函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
【典例分析01】（2022秋·八年级课时练习）下表反映的是某地区电的使用量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系，下列说法不正确的是（ ）
用电量x（千瓦时）
1
2
3
4
…
应交电费y（元）
0.55
1.1
1.65
2.2
…
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数
B．用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元
C．若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元
D．y不是x的函数
【答案】D
【思路点拨】结合表格中数据变化规律进而得出y是x的函数且用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元．
【规范解答】解：A、x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数，正确，不合题意；
B、用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元，正确，不合题意；
C、若用电量为8千瓦时，则应交电费元，正确，不合题意；
D、y是x的函数，原说法错误，符合题意．
故选：D．
【考点评析】此题考查了函数的概念以及常量与变量，正确获取信息是解题关键．
【变式训练01】（2022春·河南新乡·八年级校考期中）科学研究表面，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长． 某同学测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的重量x(kg)之间的关系如下表所示：
0
1
2
3
4
5
20
21
22
下列说法不正确的是( )A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体的重量每增加，弹簧的长度增加
C．与的关系表达式是
D．所挂物体的重量为时，弹簧的长度为
【变式训练02】（2022·全国·八年级假期作业）某条河受暴雨袭击，水位的变化情况如下表：
时间/h
0
4
8
12
16
20
24
水位/m
2
2.5
3
4
5
6
8
（1）上表反映了___________和___________之间的关系，自变量是___________，因变量是___________．
（2）12h时，水位是___________．
（3）___________至___________水位上升最快．
【变式训练03】（2022秋·八年级课时练习）一家快递公司的收费标准如图．用t表示邮件的质量，p表示每件快递费，n表示快递邮件的件数．
(1)填写下表．
t（千克）
3
6
10
11
12.5
13
p（元）
(2)在投寄快递邮件的事项中，t，p，n是常量，还是变量？若，投寄n件邮件的快递费记为w，此时t，p，n，w中哪些是常量？哪些是变量？
【典例分析02】（2022秋·广西梧州·八年级校考期中）小王上学时以每小时 的速度行走，他所走的路程（ ）与时间（h）之间的关系为： ，则下列说法正确的是（ ）
A．s、t和6都是变量 B．s是常量，6和t是变量
C．6是常量，s和t是变量 D．t是常量，5和s是变量
【答案】C
【思路点拨】根据变量的定义：在某事件中能够发生变动的量，逐项分析即可．
【规范解答】解：在中，6是常量， 和 是变量，
A选项：6是常量，不符合题意；
B选项：s是变量，不符合题意；
C选项：符合题意；
D选项：t是变量，不符合题意，
故选：C．
【考点评析】本题考查变量与常量，关键是理解变量定义．
【变式训练04】（2023秋·河北保定·八年级统考期末）弹簧挂物体会伸长，测得弹簧长度y（cm）（最长为20cm）与所挂物体质量x（kg）之间有下面的关系：
x/kg
0
1
2
3
4
…
y/cm
8
8.5
9
9.5
10
…
下列说法不正确的是（ ）A．y与x的函数表达式为
B．所挂物体质量为6kg时，弹簧长度为11cm
C．y与x的函数表达式中一次项系数表示“所挂物体质量每增加1kg弹簧伸长的长度”
D．挂30kg物体时，弹簧长度为23cm
【变式训练05】（2022秋·江苏泰州·八年级校考期末）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如表：
x/元
…
15
20
25
…
y/件
…
25
20
15
…
(1)求日销售量y（件）与每件产品的销售价x（元）之间的函数表达式；
(2)当每件产品的销售价定为30元时，此时每日的销售利润是多少元？
【变式训练06】（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各菜市场开设了“爱心助农销售专区”．现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
(1)若购进苹果120箱，橙子200箱，可获利______元；
(2)为满足市场需求，需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式；
②若此次活动该村获润不低于25000元，则最多销售多少箱苹果？
【典例分析03】（2022秋·八年级课时练习）甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲的速度为8米/秒 B．甲比乙先到达终点
C．乙跑完全程需12.5秒 D．这是一次100米赛跑
【答案】A
【思路点拨】利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析．
【规范解答】解：结合图象可知：s=100m，甲比乙先到达终点，乙跑完全程需12.5秒，
故B、C、D说法正确；
甲的速度是100÷12≈8.3(米/秒)，故A说法不正确；
故选：A．
【考点评析】此题考查了利用图象得出正确信息，解题的关键是能从图中获取相应的信息．
【变式训练07】（2022秋·八年级课时练习）图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．则体育场离张强家_____千米，张强在体育场锻炼了_____分钟，张强从早餐店回家的平均速度是_____千米/小时．
【变式训练08】（2022秋·八年级课时练习）如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
【变式训练09】（2022秋·八年级课时练习）甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)请直接写出点B所对应的数；
(2)轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
(3)轿车出发多长时间追上货车？
【典例分析04】（2022春·吉林长春·八年级校考阶段练习）大年三十晚上，小六驾车从家出发到烟花燃放指定点去燃放烟花炮竹，小六驾车匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后小六加快速度继续匀速行驶，零点之前到达指定燃放地点，燃放结束后，小六按驾车匀速返回．其中，x表示小六从家出发后所用时间，y表示小六离家的距离．下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路点拨】根据题意可得离家的距离越来越远，根据途中遇到堵车原地等待一会儿，可得路程不变，根据加速行驶，可得路程变化快，燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，再匀速回家，离家距离越来越近，即可得出结论．
【规范解答】解：由题意得：离家的距离越来越远，直线呈上升趋势，
根据途中遇到堵车原地等待一会儿，可得路程不变，时间加长，直线呈水平状态，
后来加速行驶，可得路程变化快，直线上升快，
燃放烟花炮竹时，路程不变，时间加长，直线呈水平状态，
再匀速回家，离家距离越来越近，直线呈下降趋势．
故选：A．
【考点评析】本题考查了函数图象，观察路程随时间的变化是解题的关键．
【变式训练10】（2023春·浙江·八年级开学考试）沿河岸有A，B，C三个港口，甲、乙两船同时分别从A，B港口出发，匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶后，与B港的距离分别为、，、与x的函数关系如图所示．考察下列结论：
①甲船的速度是；
②从A港到C港全程为；
③甲船比乙船早1.5小时到达终点；
④图中P点为两者相遇的交点，P点的坐标为；
⑤如果两船相距小于10能够相互望见，那么，甲、乙两船可以相互望见时，x的取值范围是．
其中正确的结论有____．
【变式训练11】（2023秋·浙江绍兴·八年级统考期末）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是___________（填序号）．
【变式训练12】（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间x(分钟)之间的函数关系如图，则BC两地的距离为___________米．
【典例分析05】（2023秋·广东深圳·八年级统考期末）小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究．
(1)在自变量x的取值范围内，x与y的几组对应值如下表：其中______．
x
0
1
2
3
4
5
6
7
…
y
2
1
0
1
2
3
m
5
…
(2)在平面直角坐标系中，已知函数y的部分图象如图所示，请补全函数y的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：____________；
(3)已知函数的图象与函数y的图象关于y轴对称．
①请在图中画出函数的图象；
②把函数与函数y的图象合称为图象w，若点与点均在图象w上，则a的值为______．
【答案】(1)
(2)函数图象见详解；当时，随的增大而增大
(3)①图象见详解；②：或或；
【思路点拨】（1）将代入中即可；
（2）直接根据表格描点连线画出图象，根据图象分析出性质即可；
（3）①根据找出原图上点的对称点，连接即可；②根据与都在图象上，可知，的纵坐标相等，分三种情况讨论：①，关于y轴对称；②，关于轴对称；③，关于轴对称．
【规范解答】（1）解：当时，（），
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）解：补全函数图象如下所示：
根据图象分析可知：当时，随的增大而增大；
（3）画出函数的图象如下所示：
解：∵与都在图象上，
，的纵坐标相等，
则分三种情况：
①，关于y轴对称，
∴，
∴，
②，关于轴对称，
∴，
∴，
③，关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：或或．
【考点评析】本题考查一次函数的图象，分段函数，轴对称，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【变式训练13】（2022秋·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知气温随高度升高而下降，下降的一般规律是从地面到高空高处，每升高，气温下降6℃：高于时，气温几乎不再变化，设某处地面气温，该处高空处气温为．
(1)当时，写出关于的函数关系式；
(2)画出该处气温随高度（包括高于）而变化的图象；
(3)分别求出该处在离地面及的高空处的气温．
【变式训练14】（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）探索函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察、分析图象特征，概括函数图象与性质的过程．结合自己已有的学习经验，画出函数的图象（部分画图步骤已写出来，补写没有完成的步骤），研究该函数的图象性质，并解答后面的问题：
(1)列表．表中a＝ ，b＝ ．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
23
1
2
4
2
a
1
b
…
(2)描点、连线，画出函数图象．
(3)分析图象，概括函数的性质．下列关于该函数的性质，正确的为 （填序号）．
①函数的图象关于直线对称．②自变量x的取值范围是全体实数，函数y取值范围是．③函数y随自变量x的增大而增大．④当时，函数y取得最小值，其最小值为4．⑤当时，函数表达式无意义，所以．
(4)若关于x的方程＝m有两个实数解，则m的取值范围为 ．
【变式训练15】（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）小颖根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．
(1)列表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
a
0
b
0
c
…
①___________； ___________； ___________．
②若，为该函数图象上不同的两点，则___________；
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)①根据函数图象可得，当___________时，该函数y的最大值为___________；
②观察函数的图象，写出该图象的两条性质：___________；___________；
【典例分析06】（2023秋·江西宜春·八年级校考期末）如图，矩形中，，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路点拨】分当和两种情况讨论，分别求得函数关系式，即可判断．
【规范解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿向终点D匀速运动，则
当时，，
当时，，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始是经过原点和点的一条线段，然后为经过点和点的一条水平线段．
故选：C．
【考点评析】本题以动态的形式考查了分段函数，函数图象的知识和三角形面积，熟悉相关性质是解题的关键．
【变式训练16】（2023秋·辽宁丹东·八年级统考期末）如图1，在矩形中，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的时间为秒，面积为，如果与的函数图象如图2所示，则___________，___________．
【变式训练17】（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图①，在矩形中，点从边的中点出发，沿着匀速运动，速度为每秒个单位长度，到达点后停止运动，点是上的点，，设的面积为，点运动的时间为秒，与的函数关系如图②所示．
(1)图①中 ， ，图②中 ．
(2)点在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则为何值时，折叠后顶点的对应点落在矩形的边上？
【变式训练18】（2020秋·湖南常德·八年级统考期中）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使得CE＝CD，连接DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒．
(1)在整个运动过程中，点P运动了多少时间？
(2)当为何值时，△ABP和△DCE全等；
(3)在整个运动过程中，求△ABP的面积．
【典例分析07】（2022秋·八年级课时练习）在地球中纬度地区，从地面到高空大约之间，气温随高度的升高而下降，每升高，气温大约下降；高于但不高于，气温几乎不再变化，某城市地处中纬度地区，该市某日的地面气温为，设该城市距离地面高度为处的气温为，则与的函数图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路点拨】分别求出和解析式即可解答．
【规范解答】解：由题意可知，当高度x=0时，y=20℃；
当x=11时，y=20-11×6=-46℃，
∴y=-6x+20（）
当时，y=-46
根据一次函数的性质可知，只有B选项的图像符合题意．
故答案为：B．
【考点评析】本题主要考查了运用函数图像描述实际问题的能力，根据题意确定函数解析式成为解答本题的关键．
【变式训练19】（2022秋·重庆·八年级重庆八中校考开学考试）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（分钟）之间有如下关系（其中介于0~20之间）：
提出概念所用时间
2
5
7
10
12
13
14
17
20
对概念的接受能力
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
下列说法正确的是（ ）A．学生对概念的接受能力是59.8时，提出概念所用的时间是12分钟
B．在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力
C．根据表格中的数据，提出概念所用的时间是13分钟时，学生对概念的接受能力最强
D．根据表格中数据可知：当x介于2~13之间时，y值逐渐增大，学生对概念的接受能力逐步增强
【变式训练20】（2022秋·八年级课时练习）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下：
气温
0
5
10
15
20
音速y（米/秒）
331
334
337
340
343
从表中可知音速y随温度x的升高而_____．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点________米．
【变式训练21】（2022秋·八年级课时练习）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数（人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）（元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
（人）
…
200
250
300
350
400
…
（元）
…
－200
－100
0
100
200
…
根据表格中的数据，回答下列问题：
(1)观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；票价为______（元/人）；
(2)请写出公交车每天利润（元）与每天乘车人数（人）的关系式：______；
(3)当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
一、选择题
1．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）下面四个问题中的两个变量：
①去超市购买同一种水果，所付出的总价与数量；
②汽车从A地匀速行驶到地，离地的距离与时间；
③面积为定值的长方形，长与宽；
④一根蜡烛匀速燃烧，剩余长度与时间．
每个问题中因变量与自变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①③④
2．（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）如图①，在中，，点D为的中点，动点P从A点出发沿运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的图像如图②所示，则的长为（ ）
A． B．13 C． D．15
3．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）在函数，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走．设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分），s与t之间关系的图象一部分如图所示，下列说法：
①甲行走的速度是30米/分；
②乙出发12.5分钟后追上甲；
③甲比乙晚到图书馆20分钟；
④甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米；
其中正确的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022春·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图，在边长为4的菱形ABCD中，，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
B． C．D．
6．（2022春·广西玉林·八年级统考期末）如图（1），点从平行四边形的顶点出发，以的速度沿路径匀速运动到点停止．图（2）是的面积与运动时间之间的函数关系图象．下列说法：①平行四边形是菱形；②；③上的高；④当时，．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、 填空题
三、 7．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长；y与x之间的关系如图2所示，线段的长为______．
8．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）A、B、C三地依次在同一直线上，甲、乙两人同时从A地出发前往C地，已知当甲行走到B地时发现有重要物品放在乙处，于是甲立即返回与乙相遇，相遇以后甲、乙继续前往C地，最终甲比乙提前8分钟到达C地．若中途停留的时间忽略不计，且在整个行走过程中，甲、乙均保持各自速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙行走的时间x(分钟)之间的函数关系如图，则BC两地的距离为___________米．
9．（2023秋·上海徐汇·八年级校联考期末）函数的最小值为___
10．（2022秋·河南郑州·八年级校考期末）快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离与它们的行驶时间之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论：
①快车途中停留了；②快车速度比慢车速度多；③图中；④慢车先到达目的地．
其中正确的是______．
11．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶的路程分别为，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地．当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后 _____小时后与甲相遇．
12．（2022秋·浙江金华·八年级统考期末）已知甲、乙两地相距24千米，小明从甲地匀速跑步到乙地用时3小时，小明出发0.5小时后，小聪沿相同的路线从甲地匀速骑自行车到甲乙两地中点处的景区游玩1小时，然后按原来速度的一半骑行，结果与小明同时到达乙地．小明和小聪所走的路程S（千米）与时间t（小时）的函数图象如图所示．
（1）小聪骑自行车的第一段路程速度是______千米/小时．
（2）在整个过程中，小明、小聪两人之间的距离S随t的增大而增大时，t的取值范围是______．
13．（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）如图1，在矩形ABCD中，E为边BC上一点，连接AE．动点P从点A出发，沿折线A→D→C→E方向匀速运动至点E停止．设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t（s），的面积为，S与t的函数图像如图2所示，则AE的长为______cm．
14．（2021秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）星期六下午，小张和小王同时从学校沿相同的路线去书店买书，小王出发4分钟后发现忘记带钱包，立即调头按原速原路回学校拿钱包，小王拿到钱包后，以比原速提高20%的速度按原路赶去书店，结果还是比小张晚4分钟到书店（小王拿钱包的时间忽略不计）．在整个过程中，小张保持匀速运动，小王提速前后也分别保持匀速运动，如图所示是小张与小王之间的距离y（米）与小王出发的时间x（分钟）之间的函数图象，则学校到书店的距离为________米．
三、解答题
15．（2022秋·贵州·八年级统考期中）毕节某合作社为尽快打开市场，对威宁芸豆进行线上和线下销售相结合的模式，具体销售模式如下：
线下销售模式，标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克的，超出部分每千克再让利元．
设购买威宁芸豆x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求两种销售模式分别对应的函数表达式；
(2)求出图中点C的坐标，并说明其实际意义；
(3)若想购买10千克威宁芸豆，请问选择哪种模式购买更省钱？
16．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）防疫期间，某药店销售一批外科口罩，如果一次性购买 40 个以上的外科口罩，超过 40 个部分按优惠价出售．上个月小王家一次性买了外科口罩 90 个，花了 65 元；小李家一次性买了外科口罩 120 个， 花了 80 元．
(1)求销售一个外科口罩的原价和优惠价分别是多少？
(2)设一次性购买外科口罩 x 个，花费 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式．
(3)这个月学校一次性购买该外科口罩1080 个，花了多少钱？
17．（2022秋·宁夏中卫·八年级统考期末）一艘船A从甲地航行到乙地，到达乙地后旋即返回．该船往返过程中离甲地的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图像如图所示，请根据图像解答下列问题：
(1)甲乙两地间的距离是 千米，往返共用时间是 小时；
(2)若该船A从甲地到乙地的速度是V1 km/h，返回时从乙地到甲地的速度是V2 km/h，则V1与V2的关系是V1 V2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
(3)如图（2），若这艘船A从甲地去往乙地共用2小时，同时另有一艘冲锋舟B以50km/h的速度与该船A同时从甲地出发前往乙地，求这艘船A与冲锋舟B相遇时的时间．
18．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）使用制冷仪可以匀速降低海鲜的温度，厂家将到货的海鲜分为相同的两部分，用制冷功率不同的，两种制冷仪分别对两部分海鲜制冷，温度与所用时间的关系如图所示：
(1)A制冷仪每小时使海鲜降低______℃；
(2)将海鲜制冷到时，采用两种制冷仪制冷所花时间相差______小时；
(3)为减少两部分海鲜温度达标所需时间的差异，厂家在开始制冷4小时后对调了制冷仪，请直接写出两批海鲜温度达到所需时间相差多少小时？请在下图中画出示意图，不必写出计算过程．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在等腰直角三角形中，，．点P（不与A、B重合）从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，在运动过程中，交射线于点Q，以线段为边作等腰直角三角形且（点B、R位于两侧）．设与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t（s）．
(1)当点Q与点C重合时，______．
(2)当点R落在边上时，求t的值．
(3)求S与t之间的函数关系式．
(4)当点R与的顶点C的连线平分面积时，求t的值．
20．（2022秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AC＝10．AD平分∠BAC，交BC于点D．动点Q从点B出发，按BC﹣CA的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．
(1)当点Q在AC边上运动时，线段AQ（AQ＞0）的长为 （用含t的代数式表示）；
(2)当点Q在AC边上运动时，线段BQ长度不可能是 （填序号即可）．
①7.2；②5.3；③4.8；④4.5．
(3)设△ADQ的面积为S，请用含t的代数式表示S．
(4)当△ABQ为轴对称图形时，请写出满足条件的3个t的值即可．
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