【重难点讲义】人教版数学八年级下册-20.1 数据的集中趋势 讲义

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2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
20.1数据的集中趋势

1. 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．
2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．

知识点01：算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.
要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
要点诠释：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
知识点02：中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

精讲精练


【典例分析01】（2023春•鹿城区校级期中）数据1，2，3，4，……，19，20的平均数为a，则数据4，7，10，13，……，58，61的平均数为（　　）
A．a B．3a C．9a D．3a+1
【思路引导】根据算术平均数的概念求解可得．
【规范解答】解：∵4＝3×1+1，7＝3×2+1，10＝3×3+1，••••••，58＝19×3+1，61＝20×3+1，
又∵数据1，2，3，4，……，19，20的平均数为a，
∴数据4，7，10，13，……，58，61的平均数为3a+1．
故选：D．
【考点剖析】本题主要考查算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数的定义．
【变式训练01】（2023春•临平区期中）已知一组数据，前8个数据的平均数是x，还有两个数据的分别为84，84，则这组数据的平均数是（　　）
A． B． C． D．
【思路引导】根据平均数＝总数÷个数计算即可．
【规范解答】解：这组数据的平均数＝（8x+84+84）÷（8+2）＝．
故选：D．
【考点剖析】本题考查的是算术平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
【变式训练02】（2023春•萧山区期中）已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是3，则数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3的平均数是 　3　．
【思路引导】根据平均数的计算公式即可求解，然后利用平均数的计算公式分别表示后两组数据的平均数，经过代数式的变形可得答案．
【规范解答】解：∵x1，x2，x3，x4的平均数是3．
∴x1，x2，x3，x4的和是12．
∴2x1﹣3+2x2﹣3+2x3﹣3+2x4﹣3＝12，
∴2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3的平均数是12÷4＝3．
故答案为：3．
【考点剖析】本题主要考查了平均数的计算．正确理解公式是解题的关键．在计算中正确使用整体代入的思想．
【变式训练03】（2022春•鼓楼区校级期中）某经商采购了批水果，根据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐（每筐1kg）得分数据如下
17，23，31，31，36，45，45，50，48，48，61，65，65，68，72，81，82，82，85，95．
根据以往的大数据认定得分数据对应等级如表；
得分数据x
0＜x≤25
25＜x≤50
50＜x≤75
75＜x≤100
等级
四级
三级
二级
一级
（1）试求这20筐水果得分的平均数．
（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：
方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售；
方案2：分等级出售．
等级
四级
三级
二级
一级
售价（万元/吨）
1.2
1.5
1.8
2
请从经销商的角度，根据售价分析采用哪种销售方案较好，并说明理由．
【思路引导】（1）求这组数据的平均数即可求解；
（2）分别求得两种方案获得的售价即可求解．
【规范解答】解：（1）求这20筐水果得分的平均数为：
，
（2）方案1较好，理由如下，
方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级出售，
∵50＜56.5≤75，
∴等级为二级，
售价为1.8万元/吨，
方案2：数据统计如下，
得分数据x
0＜x≤25
25＜x≤50
50＜x≤75
75＜x≤100
等级
四级
三级
二级
一级
数量
2
8
5
5
售价为×2＝1.67万元/吨，
∵1.8＞1.67，
∴方案1较好．
【考点剖析】本题考查了求平均数，求加权平均数，掌握平均数，加权平均数的计算是解题的关键．

【典例分析02】9．（2023•南沙区一模）某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占60%，20%，20%，则这位同学的综合成绩是 　89分　．
【思路引导】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【规范解答】解：该名同学综合成绩为：90×60%+85×20%+90×20%＝89（分），
故答案为：89分．
【考点剖析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式训练04】（2023•平谷区一模）为了提高大家的环境保护意识，某小区在假期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该社区的10名中学生参与了该项活动，回收的旧电池数量如表：
电池数量（节）
2
5
6
8
10
人数
1
4
2
2
1
根据以上数据，这10名中学生收集废旧电池的平均数为 　6　．
【思路引导】根据加权平均数的定义列式计算即可．
【规范解答】解：这10名中学生收集废旧电池的平均数为＝6，
故答案为：6．
【考点剖析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式训练05】（2023春•鄞州区期中）某公司需招聘一名员工，对应聘者 A、B、C从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核．A、B、C各项得分如表：

笔试
面试
体能
A
82
79
91
B
84
80
76
C
81
90
72
（1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
（2）该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，总分最高者将被录用．根据规定，请你说明谁将被录用．
【思路引导】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
（2）利用加权平均数公式求解，即可判断．
【规范解答】解：（1）A、B、C三人的平均分分别是，
＝84，＝80，＝81，
所以三人的平均分从高到低是：A、C、B；
（2）因为A的面试分不合格，所以甲首先被淘汰．
B的加权平均分是：84×60%+80×30%+76×10%＝82；
C的加权平均分是：81×60%+90×30%+72×10%＝82.8；
因为丙的加权平均分最高，因此，C将被录用．
【考点剖析】此题考查的是加权平均数的求法，理解平均数公式是关键．
【变式训练06】（2023春•海陵区校级月考）商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖．若该商场采用以下两种不同方式混合：
方式1：将质量相等都为x千克的甲、乙糖果进行混合；
方式2：将总价相等都为y元的甲、乙糖果进行混合．
（1）甲、乙糖果的单价分别为a元/千克、b元/千克（a≠b），用含a、b的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价；
（2）哪种混合方式的什锦糖的单价更低？请说明理由．
【思路引导】（1）根据加权平均数的计算公式和两种糖果的单价和克数，列出算式进行计算即可；
（2）利用作差法比较大小，可得答案．
【规范解答】解：（1）设按方式1混合后单价为m元/千克，按方式2混合后单价为n元/千克，
则m＝＝（元/千克），n＝＝（元/千克），
答：两种混合方式的什锦糖的单价分别为元/千克，元/千克；
（2）方式2什锦糖的单价更低，理由为：
m﹣n＝﹣＝＝，
∵a≠b，
∴（a﹣b）2＞0，
又∵2（a+b）＞0，
∴＞0，
即m﹣n＞0，
∴m＞n，
∴方式2什锦糖的单价更低．
【考点剖析】本题主要考查了加权平均数和列代数式的知识，解题的关键是掌握加权平均数的公式，此题难度不大．

【典例分析03】13．（2023春•瑞安市校级期中）已知一组数据：3，5，2，6，4，5，这组数据的中位数是 　4.5　．
【思路引导】利用中位数的定义求解即可．
【规范解答】解：把这组数据从小到大排列为2，3，4，5，5，6，
故中位数为＝4.5；
故答案为：4.5．
【考点剖析】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
【变式训练07】（2022秋•泰山区校级期末）某班七个兴趣小组人数分别为：3，3，4，x，5，5，6，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是　4　．
【思路引导】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【规范解答】解：x＝4×7﹣3﹣3﹣4﹣5﹣5﹣6＝2，按从小到大排列为2，3，3，4，5，5，6，
所以中位数为4．
故答案为：4．
【考点剖析】本题考查的是中位数和平均数的定义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．中位数把样本数据分成了相同数目的两部分．
【变式训练08】（2023•朝阳区校级模拟）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单立：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．实心球成绩的频数分布表如下；
分组
6.2≤x＜6.6
6.6≤x＜7.0
7.0≤x＜7.4
7.4≤x＜7.8
7.8≤x＜8.2
8.2≤x＜8.6
频数
2
m
10
6
2
1
b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0　7.0　7.0　7.1　7.1　7.2　7.2　7.3　7.3；
c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）①表中m的值为 　9　；
②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为 　45　；
（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．
①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如下：
女生代码
A
B
C
D
E
F
G
H
实心球
8.1
7.7
7.5
7.5
7.3
7.2
7.0
6.5
一分钟仰卧起坐
*
42
47
*
47
52
*
49
其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．
【思路引导】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；
②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；
（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；
②根据题意和表格中的数据可以解答本题．
【规范解答】解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，
故答案为：9；
②由条形统计图可得，
一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，
故答案为：45；
（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，
∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，
∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，
答：估计全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；
②同意，
理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，
因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．
【考点剖析】本题考查频数分布表、条形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式训练09】（2023•武汉模拟）在“4•23世界读书日”来临之际，某学校开展“让阅读成为习惯”的读书活动，为了解学生的参与程度，从全校随机抽取a名学生进行问卷调查，获取了每人平均每天阅读时间t（单位：分钟），将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下不完整放计图表．
平均每天阅读时间统计表
等级
人数
A（t＜20）
5
B（20≤t＜30）
10
C（30≤t＜40）
b
D（40≤t＜50）
80
E（t≥50）
c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b的值；
（2）这组数据的中位数所在的等级是 　D等级　；
（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”，若该校学生以2000人计算，估计可评为“阅读达人”的学生人数．

【思路引导】（1）根据样本容量＝频数÷所占百分数，合理选择计算即可．
（2）根据中位数的定义计算即可．
（3）利用样本估计总体的思想计算即可．
【规范解答】解：（1）∵D级的人数为80人，占比为40%，
∴40%×a＝80，
∴a＝200，
∵C级人数的占比为20%，
∴b＝20%×200＝40．
∴a＝200，b＝40；
（2）∵c＝200﹣5﹣10﹣40﹣80＝65，
根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在D等级，第101个数据在D等级，它们的平均数也在D等级，
故答案为：D等级．
（3）∵统计表中平均每天阅读时间不低于50分钟的学生人数为65人，
∴E级的比例为：，
当总人数为2000人时，可评为“阅读达人”的学生人数为：32.5%×2000＝650人．
【考点剖析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本估计总体的思想，中位数，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键．


【典例分析04】17．（2023•新都区模拟）素有“天府明珠”“香城宝地”美誉的新都区旅游景点众多，某班计划在“芳华微马公园”，“东湖公园”，“桂湖公园”，“丝绸博物馆”，“百花谷”，“漫花庄园”这6个景点中选取一个开展实践活动，现对班上同学的意向进行问卷调查，选择这6个景点人数依次为：10，6，9，8，10，7，则这组数据的众数为 　10　，中位数为 　8.5　．
【思路引导】根据众数和中位数的定义解答即可．
【规范解答】解：这组数据中，出现次数最多的是10，共出现2次，因此众数是10，
将这组数据从小到大排列：6、7、8、9、10、10，
处在中间位置的两个数是8和9，因此中位数是：＝8.5．
故答案为：10，8.5．
【考点剖析】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义是解决问题的关键．中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【变式训练10】（2023春•鄞州区期中）若一组数据x，3，1，6，3的平均数和众数相等，则x的值为 　2　．
【思路引导】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1＜x＜3，3≤x＜6，x≥6时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【规范解答】解：当x≤1时，众数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当1＜x＜3时，众数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2；
当3≤x＜6时，众数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）；
当x≥6时，众数与平均数相等，则得到：（x+3+1+6+3）＝3，
解得x＝2（舍去）．
所以x的值为2．
故答案为：2．
【考点剖析】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．
【变式训练11】（2023•北碚区自主招生）某校开展了“党的二十大”知识竞赛活动，现从七、八年级参赛学生中各随机抽取15名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析（竞赛成绩均为整数，满分为100分，竞赛成绩用x表示，共分为四个等级：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C：85≤x＜90，D：80≤x＜85），下下面给出了部分信息：
抽取的七年级学生竞赛成绩在B等级包含的所有数据为：93，93，93，92，90
抽取的八年级学生竞赛成绩在B等级包含的所有数据为：93，92，91，90
抽取的七、八年级学生成绩分段人数统计表
年级
A
B
C
D
七年级
4
5
5
1
八年级
b
4
a
2
抽取的七、八年级学生成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
七年级
90.6
m
93
八年级
90.8
91
96
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　5　，b＝　3　，m＝　92　；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生知识竞赛成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共900名学生参加此次竞赛活动，估计成绩达到90分及以上的学生人数．
【思路引导】（1）根据八年级的中位数是91可得a与b的值，根据中位数的定义可得m的值；
（2）根据平均数，中位数和众数的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体，用七、八年级乘样本中成绩达到90分及以上的学生人数占百分比即可．
【规范解答】解：（1）∵八年级15名学生的成绩的中位数是91，抽取的八年级学生竞赛成绩在B等级包含的所有数据为：93，92，91，90，
∴其中比91大的数有7个，
∴a＝5，b＝15﹣5﹣4﹣2＝3，
七年级15名学生的成绩从小到大排列，排在第8个数是92，故中位数m＝92．
故答案为：5；3；92；
（2）八年级的学生的竞赛成绩更好，理由：
因为八年级的平均数和众数均高于七年级，所以八年级的学生的竞赛成绩更好；
（3）900×＝540（名），
答：估计成绩达到90分及以上的学生人数大约有540名．
【考点剖析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
【变式训练12】（2023春•萧山区期中）2023年大年初一上映两部电影，《满江红》和《流浪地球2》，为了解学生对这两部影片的评价，某调查小组从该校八年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
《满江红》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
抽取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数：

平均数
众数
中位数
《满江红》
8.2
9
b
《流浪地球2》
7.8
c
8
根据图表信息，解答下列问题：
（1）直接写出图表中的a，b，c的值；
（2）根据上述数据，你认为该校八年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由．

【思路引导】（1）根据《流浪地球2》调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定a的值，根据中位数、众数的意义可求出b、c的值，
（2）通过平均数、中位数、众数的比较得出答案．
【规范解答】解：（1）《流浪地球2》调查得分为“10分”所占的百分比为：1﹣10%﹣20%﹣20%﹣＝15%，即a＝15，
《满江红》调查得分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝8.5，因此中位数是8.5，即b＝8.5，
《流浪地球2》调查得分出现次数最多的是8分，共出现7次，因此众数是8，即c＝8，
答：a＝15，b＝8.5，c＝8；
（2）该校八年级学生对《满江红》评价更高，理由如下：
《满江红》调查得分的平均数、中位数、众数均比和《流浪地球2》高．
【考点剖析】本题考查条形统计图，频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．

一．选择题（共6小题）
1．（2023•永嘉县校级模拟）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为（　　）
A．25 B．30 C．35 D．40
解：∵11个正整数，平均数是10，
∴和为110，
∵中位数是9，众数只有一个8，
∴当11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35时，最大的正整数最大为35．
故选：C．
2．（2021秋•涟水县期末）一组数据1，x，5，7的中位数与众数相等，则该组的平均数是（　　）
A．3.5 B．4.5 C．5.5 D．6
解：①当众数是1时，
这组数据为：1，1，5，7，中位数是（1+5）÷2＝3，
∵中位数与众数不相等，∴不符合题意；
②当众数是5时，
这组数据为：1，5，5，7，中位数是5，
∵中位数与众数相等，
∴该组的平均数是（1+5+5+7）÷4＝4.5；
③当众数是7时，
这组数据为：1，5，7，7，中位数是（5+7）÷2＝6，
∵中位数与众数不相等，∴不符合题意；
则该组的平均数是4.5．
故选：B．
3．（2022春•漳平市期末）某单位招考技术人员，考试分笔试和面试两部分，笔试成绩与面试成绩按6：4记入总成绩，若小李笔试成绩为80分，面试成绩为90分，则他的总成绩为（　　）
A．84分 B．85分 C．86分 D．87分
解：小李的总成绩80×60%+90×40%＝84（分），
故选：A．
4．（2021春•兴宁区校级期中）某单位招聘一名员工，从专业知识，工作业绩，面试成绩三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的权重比依次为2：4：4，小明经过考核后所得的分数依次为90，85，80分，那么小明考核的最后得分是（　　）
A．0 B．84 C．87 D．90
解：小明考核的最后得分为＝84（分），
故选：B．
5．（2022春•临汾期末）山西某中学初二年级有7个班，期中考试数学成绩为优秀（90分以上）的学生人数分别为6，8，10，2，8，5，7，则这组数的中位数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．6.5
解：将数据从小到大排列：2，5，6，7，8，8，10，
∴中位数为7．
故选：C．
6．（2021秋•涡阳县期末）某校九年级（3）班全体学生2021年中考体育模拟考试的成绩统计如下表：
成绩（分）
36
40
43
46
48
50
54
人数（人）
2
5
6
7
8
7
5
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　）
A．该班一共有40名同学
B．该班学生这次考试成绩的众数是48分
C．该班学生这次考试成绩的中位数是47分
D．该班学生这次考试成绩的平均数是46分
解：A．该班的总人数为2+5+6+7+8+7+5＝40（人），故本选项正确，不符合题意；
B．该班学生这次考试成绩的众数是48分，故本选项正确，不符合题意；
C．该班学生这次考试成绩的中位数是＝47（分），故本选项正确，不符合题意；
D．该班学生这次考试成绩的平均数是×（36×2+40×5+43×6+46×7+48×8+50×7+54×5）＝46.4（分），故本选项错误，符合题意；
故选：D．
二．填空题（共8小题）
7．（2023•东城区校级模拟）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 　6.4小时　．若该中学共有2000名学生，请你估计这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有 　200　名．
解：，
∴这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时，，
∴这所中学一周在校的体育锻炼时间达到8小时的同学有200名，
故答案为：6.4小时，200．
8．（2023春•九龙坡区校级期中）在某次招聘测试中，小华的笔试成绩为86分，面试成绩为91分，若笔试成绩、面试成绩按7：3计算平均成绩，则小华的平均成绩是 　87.5　分．
解：小华的平均成绩是＝87.5（分）．
故答案为：87.5．
9．（2023•南湖区校级一模）随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5
6
7
8
人数
4
15
15
16
则这50名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为　8　，平均数为　6.86小时　．
解：这50名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为8；
平均数为（5×4+6×15+7×15+8×16）÷50＝6.86（小时）．
故答案为：8，6.86小时．
10．（2022春•惠民县校级期中）10名学生的体重（单位：kg）分别是41，48，50，53，49，50，53，53，43，67，这组数据的中位数是 　50　．
解：题目中数据共有10个，从小到大排列为：41，43，48，49，50，50，53，53，53，67，
中位数是按从小到大排列后第5，第6两个数的平均数作为中位数．
故这组数据的中位数是．
故答案为：50．
11．（2022春•柳州期末）一次数学测验中，某小组七位同学的成绩分别是：90，85，90，95，90，85，95．则这七个数据的众数是　90　．
解：依题意得90出现了3次，次数最多，
故这组数据的众数是90．
故答案为90
12．（2022春•巴中期末）张老师公布班上6名同学的数学竞赛成绩时，有意公布了5个人的得分：78，92，61，85，75，又公布了6个人的平均分：80，还有一个未公布，这个未公布的得分是　89　．
解：设这个未公布的得分是x，
则：＝80，
解得：x＝89．
故答案为：89．
13．（2017•浦东新区校级自主招生）有11个正整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数最大为 　35　．
解：∵11个正整数，平均数是10，
∴和为110，
∵中位数是9，众数只有一个8，
∴当11个正整数为1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，35时，最大的正整数最大为35，
故答案为：35．
14．数学老师布置10道选择题作为课堂练习，科代表将全班同学的答题情况绘制成统计图（如图所示），根据统计图，全班每位同学答对的题数所组成的一组数据的中位数为　9　，众数为　8　．

解：处于这组数据中间位置的数是9、9，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中8是出现次数最多的，故众数是8．
故填9；8．
三．解答题（共9小题）
15．（2022秋•成都期末）学校坚持“德育为先、智育为重、体育为基、美育为要、劳动为本”的五育并举育人理念，拟开展校级优秀学生评比活动．下表是八年级1班三名同学综合素质考核的得分表：（每项满分10分）
姓名
行为规范
学习成绩
体育成绩
艺术获奖
劳动卫生
李铭
10
10
6
9
7
张晶晶
10
8
8
9
8
王浩
9
7
9
8
9
（1）如果根据五项考核的平均成绩确定推荐1人，那么被推荐的是 　张晶晶　；
（2）你认为表中五项考核成绩中最重要的是 　行为规范（答案不唯一）　；请你设定一个各项考评内容的占分比例（比例的各项须满足：①均为整数；②总和为10；③不全相同），按这个比例对各项的得分重新计算，比较出大小关系，并从中推荐得分最高的作为校优秀学生的候选人．
解：（1）李铭的成绩为×（10+10+6+9+7）＝8.4（分），
张晶晶的成绩为×（10+8+8+9+8）＝8.6（分），
王浩的成绩为×（9+7+9+8+9）＝8.4（分），
∵8.4＜8.6，
∴被推荐的是张晶晶，
故答案为：张晶晶；
（2）我认为表中五项考核成绩中最重要的是行为规范，
设定比例为：3：3：2：1：1，
李铭的成绩＝8.8（分），
张晶晶的成绩为＝8.7（分），
王浩的成绩为＝8.3（分），
∵8.8＞8.7＞8.3，
∴候选人为李铭．
故答案为：行为规范（答案不唯一）．
16．（2023•南岸区校级开学）为了加快推进农村电子商务发展，积极助力脱贫攻坚工作，A，B两村的村民把特产“小土豆”在某电商平台进行销售（每箱小土豆规格一致），该电商平台从A，B两村各抽取15户进行了抽样调查，并对每户每月销售的土豆箱数（用x表示）进行了数据整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，49，42，42，43
B村卖出的土豆箱数为40≤x＜50的数据有：40，43，48，46
土豆箱数
＜30
30≤x＜40
40≤x＜50
50≤x＜60
≥60
A村
0
3
5
5
2
B村
1
a
4
5
b
平均数、中位数、众数如表所示
村名
平均数
中位数
众数
A村
48.8
m
59
B村
48.8
46
56
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　4　；b＝　1　；m＝　48　；
（2）你认为A，B两村中哪个村的小土豆卖得更好？请选择一个方面说明理由；
（3）在该电商平台进行销售的A，B两村村民各有225户，若该电商平台把每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民列为重点培养对象，估计两村共有多少户村民会被列为重点培养对象？
解：（1）由B村的中位数为46，
即中间第8个为46，
∴1+5+b＝7，
∴b＝1，
∴a＝15﹣1﹣4﹣5﹣1＝4，
A村的中位数为第8个数49，即m＝49；
故答案为：4，1，49；
（2）A，B两村中A村的小土豆卖得更好，理由如下：
①A村的中位数比B村大；
②A村的众数比B村大；
（3）A，B两村抽取的15户中每月的小土豆销售量x在45＜x＜60范围内的村民有8﹣2＝6（户），
210×＝91（户）；
答：估计两村共有91户村民会被列为重点培养对象．
17．（2022秋•栾城区期末）某市需调查该市八年级男生的体能状况，为此抽取了50名八年级男生进行引体向上个数测试，已知这次抽样测试数据的平均数为6个，测试情况绘制成表格如下：
个数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
25以上
人数
3
1
1
8
13
8
6
2
2
1
1
1
1
2
（1）求这次抽样测试数据的众数为 　4　个，中位数为 　4　个；
（2）在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市八年级男生引体向上项目测试的合格标准个数较为合适？简要说明理由；
（3）若八年级男生引体向上10个及10个以上为优秀，如果该市今年有4000名八年级男生，试估计该市八年级男生引体向上的优秀人数．
解：（1）∵做4个的人数有13人，人数最多，
∴这次抽样测试数据的众数为4个；
∵一共抽取了50名同学参加引体向上，把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
∴中位数是＝4（个）．
故答案为：4，4；

（2）合格标准定位4个比较合适，因为众数和中位数都等于4个，大多数同学都能完成，而如果定于6个，受极端值影响太大，且有一半以上的同学未能完成，打击了大多数人的信心．

（3）4000×＝400（人），
答：估计该市八年级男生引体向上的优秀人数有400人．
18．（2022秋•大丰区期末）八年级甲班和乙班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球；将两班选手的进球数绘制成如下尚不完整的统计图表：
进球数/个
10
9
8
7
4
3
乙班人数/个
1
1
2
4
1
1


平均成绩
中位数
众数
甲班
7
7
c
乙班
a
b
7

（1）表格中b＝　7　，c＝　7　并求a的值；
（2）如果要从这两个班中选出一个班代表年级参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个，请说明理由．
解：（1）a＝乙＝＝7个，乙班中进球数从小到大排列后处在第5、6位的数都是7个，因此乙班进球数的中位数是7个，甲班进球数出现次数最多的是7个，共有4人，因此甲班进球数的众数为7个，
故答案为：7，7，a的值为7．
（2）要想争取夺得总进球数团体第一名，选择甲班较好，甲班的平均数虽然与乙班相同，但甲班的极差为9﹣5＝4，而乙班的极差为10﹣3＝7，数据的离散程度较大，发挥不稳定，因此甲班较好；要争取个人进球数进入学校前三名，则选择乙班，由出现高分的可能性，个人成绩在9分以上的人数较多．
19．（2022秋•紫金县期末）某校在一次广播操比赛中，初二（1）班、初二（2）班、初二（3）班的各项得分如下：

服装统一
动作整齐
动作准确
初二（1）班
80
84
87
初二（2）班
97
78
80
初二（3）班
90
78
85
（1）填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是　89分　；在动作整齐方面三个班得分的众数是　78分　；在动作准确方面最有优势的是　初二（1）　班．
（2）如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面的重要性之比为2：3：5，那么这三个班的排名顺序怎样？为什么？
（3）在（2）的条件下，你对三个班级中排名最靠后的班级有何建议？
解：（1）服装统一方面的平均分为：＝89分；
动作整齐方面的众数为78分；
动作准确方面最有优势的是初二（1）班；
（2）∵初二（1）班的平均分为：＝84.7分；
初二（2）班的平均分为：＝82.8分；
初二（3）班的平均分为：＝83.9；
∴排名最好的是初二一班，最差的是初二（2）班；
（3）加强动作整齐方面的训练，才是提高成绩的基础．
20．（2023•海曙区开学）某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次．在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环．他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数．如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环，那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）
解：由题设知，前5次射击的平均环数小于
∴前9次的总环数至多为8.7×9﹣0.1＝78.2
∴第10次射击至少得8.8×10+0.1﹣78.2＝9.9（环）．
21．（2022春•康县期末）甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下列问题：
（1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；
（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数；
（3）如果你是顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？
解：（1）甲厂：平均数为（4+5+5+5+5+7+9+12+13+15）＝8，众数为5，中位数为6；
乙厂：平均数为（6+6+8+8+8+9+10+12+14+15）＝9.6，众数为8，中位数为8.5；
丙厂：平均数为（4+4+4+6+7+9+13+15+16+16）＝9.4，众数为4，中位数为8；
（2）甲厂用的是平均数，乙厂用的是众数，丙厂用的是中位数；
（3）平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品．
22．（2021春•金乡县期末）某中学开展“好书伴我成长”读书活动中，为了解七年级500名学生读书情况，随机调查了七年级50名学生读书的册数，统计图表如下所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
3
13
16
17
1
（1）这50个样本数据的众数为 　3　，中位数是 　2　．
（2）求这50个样本数据的平均数；
（3）根据样本数据，估计该校七年级500名学生在本次活动中读书多于2册的人数．
解：（1）这50个样本数据的众数为3，中位数为＝2，
故答案为：3、2；

（2）这50个样本数据的平均数为＝2；

（3）500×＝180（人），
答：估计该校七年级500名学生在本次活动中读书多于2册的有180人．
23．（2019春•汉阳区期末）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分），现得知1号选手的综合成绩为87分．
序号
1
2
3
笔试成绩/分
90
92
84
面试成绩/分
85
88
86
（1）求笔试成绩和面试成绩各占的百分比；
（2）求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定这三名选手的名次．
解：（1）设笔试成绩和面试成绩的比x：（10﹣x），由题意得：
90×+85×＝87，解得：x＝4，10﹣x＝6，
因此笔试成绩与面试成绩的比是4：6，
答：笔试成绩占40%，面试成绩占60%，
（2）2号选手的综合成绩为：92×40%+88×60%＝89.6，
3号选手的综合成绩为：84×40%+86×60%＝85.2，
∵89.6＞87＞85.2
∴2号选手第一，1号选手第二，3号选手第三，
答：根据综合成绩排名第一名2号选手，第二名1号选手，第三名3号选手