【重难点讲义】人教版数学八年级下册-第18章《平行四边形》章节复习讲义

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2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义第18章《平行四边形》章节复习1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.        知识点01：平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；        （2）对角相等；邻角互补；        （3）对角线互相平分；        （4）中心对称图形.3．面积：4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；            （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；            （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．         角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；            （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．    边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；     对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.知识点02：矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；        （4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.         （2）对角线相等的平行四边形是矩形.         （3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．知识点03：菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；         （2）四条边相等；         （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；  （4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.知识点04：正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；        （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.  一、选择题1．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）下列命题中，真命题是（   ）A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形【答案】C【思路引导】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．【规范解答】解：A．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C．对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D．两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误．故选：C．【考察注意点】此题主要考查了命题与定理，关键是熟练掌握特殊的平行四边形的判定定理．2．（2021春·山东济南·八年级校考期中）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（    ）A．，  B．， C．，  D．， 【答案】C【思路引导】注意题目所问是“不能”，根据平行四边形的判定条件可解出此题．【规范解答】解：平行四边形的判定条件：A．根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定，不符合题意； B．根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意；C．可能是等腰梯形，不能判定，符合题意；D．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定，不符合题意； 故选：C．【考察注意点】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的基本性质是解答本题的关键3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【思路引导】根据折叠得到，推出，即可求出答案．【规范解答】解：∵一张长方形纸片沿、折叠，∴，且，∴，∵，∴．故选B．【考察注意点】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．4．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为（     ）cm2．A．10 B．14 C．24 D．34【答案】C【思路引导】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求其面积即可．【规范解答】解：根据题意得：菱形的面积为： cm2，故选：C．【考察注意点】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．5．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，在中，于点且于点，连接，则的长为（    ）A． B． C．5 D．6【答案】C【思路引导】已知，，则和是直角三角形，，即；根据，则是直角三角形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出答案．【规范解答】∵，∴和是直角三角形，又∵，∴，∴∵∴是直角三角形，∴．故选：C【考察注意点】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边一半，理清题意，得出是直角三角形是解题的关键．6．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）如图，在直角坐标系中，直角三角形ABC的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，点C的坐标为，点D和点C关于成轴对称，且AD交y轴于点E．那么点E的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【思路引导】根据折叠，和矩形性质证明，然后根据全等三角形的性质，在中利用勾股定理求解即可．【规范解答】解：由矩形和折叠可知，,,,在与中，,,,在中：,解得：,故选：B．【考察注意点】本题考查了折叠的概念，矩形和全等三角形的性质，以及勾股定理的应用；根据相关性质将已知条件进行合理转化是解题的关键7．（2022秋·河南平顶山·八年级统考期末）如图，在长方形中，点是上一点，连接，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则折痕的长度为（  ）A． B．10 C． D．15【答案】C【思路引导】根据折叠性质，，，从而由长方形性质知，，根据，得到，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，从而在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．【规范解答】解：由折叠性质可知，，在长方形中，，，，在中，利用勾股定理得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，即，解得，，在中，利用勾股定理得到，故选：C．【考察注意点】本题考查长方形中的折叠问题，涉及长方形性质、折叠性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质及勾股定理求线段长是解决问题的关键．8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为（  ）A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】D【思路引导】延长使至，点、点分别为、的中点，根据中位线的性质可得，要想求最小，求即可，当、、三点共线时，最小，由题可知：，即在以点为圆心，2为半径的圆上，直角三角形的性质求出的度数，即可求出的度数．【规范解答】延长使至，∵点、点分别为、的中点，∴∥，，∴=，当、、三点共线时，最小，由题可知：，即在以点为圆心，2为半径的圆上，∴，∵，，∴，∵，∴．故选：D．【考察注意点】本题考查了中位线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 二、填空题9．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）若、、分别是三边中点，，，，则的周长为______．【答案】【思路引导】根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式即可得到结论．【规范解答】解：∵、、分别是三边中点，，，，∴的周长，故答案为：．【考察注意点】本题考查的是三角形中位线定理、掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．10．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图，在中，，，为线段的中点，则______．【答案】【思路引导】由“直角三角形的两个锐角互余”得到．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，则等边对等角，即．【规范解答】解：在中，，，．为线段的中点，，．故答案是：．【考察注意点】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，掌握相关的性质是解题的关键．11．（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）如图，O为矩形的对角线交点，平分交于E，于F，，则______．【答案】##75度【思路引导】根据平分与可以计算出，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得，从而得到是等边三角形，再证明是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．【规范解答】解：∵DF平分，，是等腰直角三角形，，，，在矩形中， ，是等边三角形，， ，在中， ．故答案为：．【考察注意点】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出是等边三角形是解决本题的关键．12．（2021春·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则______．【答案】##度【思路引导】由正方形的性质和菱形的性质可得，，，由三角形的外角性质可求解．【规范解答】解：∵四边形是正方形，∴，，∵四边形是菱形，∴，∴，故答案为：．【考察注意点】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是本题的关键．13．（2023春·八年级单元测试）如图，在四边形中，，E、F、G分别是的中点，若，则___．【答案】##30度【思路引导】根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．【规范解答】解：∵，E，F，G分别是的中点，∴是的中位线，是的中位线，,,又 ,,,,.故答案为：．【考察注意点】主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，根据中位线定理证得是解决问题的关键．14．（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，为的中线，过点C作于点E，过点A作的平行线，交的延长线于点F，在的延长线上截取，连接、，若，，则四边形的面积为___．【答案】15【思路引导】证明四边形是平行四边形，，可得四边形是菱形，过点B作于点H，证明，四边形是矩形，可得，再利用菱形的面积公式进行计算即可．【规范解答】解：∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，又∵为中边的中线，∴，∴四边形是菱形，过点B作于点H，∵四边形是菱形，∴，∵，，，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，∴．故答案为：15．【考察注意点】本题考查的是矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，菱形的判定与性质，熟练的证明四边形是菱形是解本题的关键．15．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）如图，矩形中，、分别是、的中点，矩形的面积为24厘米，则的面积是__厘米．【答案】3【思路引导】连接，先根据矩形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，然后根据求解即可得．【规范解答】解：如图，连接，矩形的面积为24厘米，（厘米），厘米，是的中点，厘米，厘米，（厘米），是的中点，厘米，厘米，（厘米），即的面积是3厘米，故答案为：3．【考察注意点】本题考查了矩形的性质、三角形的中线与面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．16．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在菱形中，，对角线与交于点O，延长到点E，使得，连接，取的中点M、的中点，连接，则的长为___________．【答案】【思路引导】延长到点F，使，连接，求出，得到是的中位线，在中，根据勾股定理求出即可得到的长．【规范解答】在菱形中，，⊥，∴，∵N为的中点，∴，延长到点F，使，连接，如图：则，∵M是的中点，∴，∴是的中位线，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，故答案为：．【考察注意点】此题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的性质及正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题17．（2021春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，是边上一点，折叠纸片使点与点重合，其中为折痕，连结、．若，求的长．【答案】．【思路引导】利用对称的性质得出，进而得出，证明四边形是菱形，再利用菱形的性质结合勾股定理得出答案．【规范解答】解：∵B、E两点关于直线对称，∴，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，∴四边形是菱形；设菱形的边长为x，∴，在中，，∴，∴解得：．∴．【考察注意点】此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理，正确应用轴对称的性质是解题关键．18．（2021春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）如图，在中，，点是的中点，是中点．(1)作的角平分线交于点（尺规作图）．(2)若连接，请判断与的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）如图所示，连接，先根据直角三角形斜边上的中线的性质证明，再根据三线合一定理可得点E是的中点，则是的中位线，即可推出，则．【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：，理由如下：如图所示，连接，∵在中，，点是的中点，∴，∵平分，∴点E是的中点，又∵是中点，∴是的中位线，∴，∴．【考察注意点】本题主要考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．19．（2022秋·吉林白城·八年级校考阶段练习）如图，已知正方形中，边长为，点在边上，．点在线段上以/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，设运动的时间为秒．(1)　   　，　   　．（用含的代数式表示）(2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值．【答案】(1)；(2)或 【思路引导】（1）点在线段上以/秒的速度由点向点运动，，由此即可求解；（2）分类讨论，若，，；若，，，由此即可求解．【规范解答】（1）解：∵点在线段上以/秒的速度由点向点运动，∴，，故答案为：；．（2）解：①若，则，即，则，∴；②若，则，，则，∴，解得：．【考察注意点】本题主要考查正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质，掌握动点与正方形的性质，全等三角形的性质是解题的关键．20．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．(1)求证：；(2)当，，时，求的长．【答案】(1)见解析(2) 【思路引导】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果；（2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长．【规范解答】（1）证明：如图，连接．，点M、点N分别是边、的中点，∴，，∴，∵N是的中点，∴是的垂直平分线，．（2）解：，，，，，，，，，在中，，∴cm，答：的长是．【考察注意点】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，其中连接是解题的关键．21．（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是．过点D作于点F，连接，．(1)求证：．(2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应t的值；如果不能，请说明理由．(3)当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)能，(3)当或时，为直角三角形，理由见解析 【思路引导】（1）根据所对的直角边是斜边的一半，得到，即可得到；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到当时，四边形为菱形，列式计算即可；（3）分分别为直角，进行分类讨论求解即可．【规范解答】（1）解：∵点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，∴，∵，，∴，∴；（2）解：能；∵，，，∴，，∴点移动的时间为：，点移动的时间为：，∴运动的总时间为，∵，∴，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴当时，四边形为菱形，∵，∴，解得：，∵，∴当时，四边形为菱形；（3）解：当或时，为直角三角形．理由如下：①当时，如图：由（2）知：四边形为平行四边形，，∴，，∴，即：，∴；②当时，如图：同①可得：，即：，解得：；③，此情况不存在；综上，当或时，为直角三角形．【考察注意点】本题考查含的直角三角形，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．注意，分类讨论．22．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，正方形的边长为7，点是上的一点，且，将正方形沿翻折，点落在点处，延长交于点，求的长．【答案】【思路引导】首先连接，再根据将正方形沿翻折，点落在点处，可证得，有，设，可得，即可解得答案．【规范解答】解：连接，如图：将正方形沿翻折，点落在点处，，，，，，，，设，则，，，，解得，的长为．【考察注意点】本题考查正方形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质，能利用勾股定理列方程解决问题．23．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）①45°，②59°，③72°(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；(3)在（2）的条件下，①当时，求的长；②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．【答案】(1)③(2)是，见解析(3)①3；②的度数不变，且，见解析 【思路引导】（1）可推出，进而得出结果；（2）作，可证得，进而得出结果；（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．【规范解答】（1）解：如图1，当点P在F点时，，当点P在C点时，，∴，观察四个选项，不可能是③，故答案为：③；（2）解：如图2，点P落在点C的右侧，理由如下：连接，作于E，∵点B和点Q关于对称，∴垂直平分，∴，∴，∵四边形是正方形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴点P是否一定在射线上点C的右侧；（3）解：①如图3，作，交的延长线于E，连接，∵是的垂直平分线，∴，，在中，，，∴， ∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，，∴，∴；②如图4，不发生变化，理由如下：作， 由（2）可知：，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度数不发生变化．【考察注意点】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．