【重难点讲义】人教版数学八年级下册-第20章《数据的分析》章节复习讲义

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2022-2023学年人教版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义
第20章《数据的分析》章节复习

1. 了解加权平均数的意义和求法，会求实际问题中一组数据的平均数，体会用样本平均数估计总体平均数的思想．
2. 了解中位数和众数的意义，掌握它们的求法．进一步理解平均数、中位数和众数所代表的不同的数据特征．
3. 了解极差和方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．
4. 从事收集、整理、描述和分析数据得出结论的统计活动，经历数据处理的基本过程，体验统计与生活的联系，感受统计在生活和生产中的作用，养成用数据说话的习惯和实事求是的科学态度.



知识点01：算术平均数和加权平均数
一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.
要点诠释：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.
（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.
（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.
若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.
要点诠释：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.
（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.
知识点02：中位数和众数
1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.
要点诠释：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.
（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.
2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
要点诠释：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数.
（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.
知识点03：平均数、中位数与众数的联系与区别
联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.
区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.
知识点04：极差、方差和标准差
用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.
要点诠释：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.
方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：
　　
　　要点诠释：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍.
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：
　　；标准差的数量单位与原数据一致.
知识点05：极差、方差和标准差的联系与区别
联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．
区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.
知识点03：用样本估计总体
在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.
要点诠释：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.


一、选择题
1．（2022秋·山东泰安·八年级校考期末）已知的平均数为2，方差为1，则的平均数，方差分别是（       ）
A．4   9 B．2   3 C．3  2 D．9   4
【答案】A
【分析】根据平均数和方差的概念求解即可；
【详解】解：∵的平均数为2，方差为1，
∴，
∴，
∴的平均数为，
方差为

；
故选：A.
【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，熟练掌握平均数和方差的计算公式是解题的关键.
2．（2023春·全国·八年级专题练习）一组数据，，2，3，5有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（    ）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据，，2，3，5有唯一的众数3，
，
将这组数据从小到大排列为：，2，3，3，5，
处在中间位置的数为3，即中位数为3，
故选：C．
【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）为了制定切合本校学生的体能训练标准，某校从九年级随机抽取30名男生进行引体向上测试，每人测试一次，记录有效引体向上次数如表所示，那么这30名男生此次测试中引体向上次数的众数和中位数分别是（　　）
次数
6
7
8
9
10
11
人数
3
10
9
5
2
1

A．7，7 B．7，8 C．8，7 D．8，8
【答案】B
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵7出现了10次，出现的次数最多，
∴这30名男生此次测试中引体向上次数的众数是7；
∵共有30名男生，中位数是低15、16个数的平均数，
∴中位数为；
故选：B．
【点睛】本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）酸雨是指雨、雪等在形成和降落过程中，吸收并溶解了空气中的二氧化硫、氮氧化合物等物质，形成了值低于5.6的酸性降水．某学校化学课外活动小组的同学在降雨后用计对雨水的值进行了测试，测试结果如下：
出现的频数
5
8
7
13
7
PH
4.8
4.9
5.0
5.2
5.3
下列说法错误的是（    ）
A．众数是5.2 B．中位数是5.1 C．极差是0.5 D．平均数是5.1
【答案】D
【分析】根据众数和中位数的定义求出众数和中位数即可判断A和B；由极差的定义可判断C；由求平均数的公式，计算出平均数即可判断D．
【详解】解：表格中值为5.2的出现了13次，为最多，故众数是5.2，A正确，不符合题意；
该小组共测试次，
∴中位数是，B正确，不符合题意；
∵值最大为5.3，最小为4.8，
∴极差是，C正确，不符合题意；
平均数为，故D错误，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查求一组数据的众数和中位数，极差，平均数．掌握众数，中位数和极差的定义，求平均数的公式是解题关键．
5．（2023春·浙江·八年级期中）有5个正整数，，，，，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．
①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数（），③．
该小组成员分别得到一个结论：
甲：取，5个正整数不满足上述3个条件；
乙：取，5个正整数满足上述3个条件；
丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
丁：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是10p（p为正整数）；
以上结论正确的个数有（    ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据每个结论，分别利用题中的3个条件，表示出，，，，，5个数，通过各自的特点与要求进行求解．
【详解】解：甲：若，
由条件①可得，，，
由条件②可得，，
由条件③可得，，
解得，
而为奇数，不符合条件，
故甲结论正确；
乙：若，
由条件①可得，，，
由条件②可得，，
由条件③可得，，
解得，
为奇数，符合题意，
故乙结论正确；
丙：若是4的倍数，设是正整数），
条件①可得，，，
条件②可得，，
由条件③可得，，
解得，
可知为奇数，符合题意，
故丙结论正确；
丁：设是正整数），
条件①可得，，，
条件②可得，，，是奇数，
条件③可得，，
得，且m为奇数
，
，，的平均数为，
，的平均数为，
，，的平均数与，的平均数之和可表示为，
是正整数且为奇数，
是10的倍数，
故丁结论正确．
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式、奇偶数的定义、解一元一次方程，解题的关键是分别表示出5个符合结论和题干的数，然后利用5个数的特点进行求解．
6．（2023春·八年级课时练习）A，B，C，D，E五位同学依次围成一个圆圈做益智游戏，规则是：每个人心里先想好一个实数，并把这个数悄悄地告诉相邻的两个人，然后每个人把与自己相邻的两个人告诉自己的数的平均数报出来．若A，B，C，D，E五位同学报出来的数恰好分别是1，2，3，4，5，则D同学心里想的那个数是（  ）
A．-3 B．4 C．5 D．9
【答案】D
【分析】设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推，最后建立方程，解方程即可．
【详解】如图所示

设报2的人心里想的数是x，因为报2与报4的两个人报的平均数是3，则报4的人心里想的数应是6- x，以此类推：
于是报1的人心里想的数是10-(6- x)=4 +x，
报3的人心里想的数是4-(4+x)=-x,
报5的人心里想的数是8-(-x)=8+x
报4的人心里想的数是2-(8+x)=-6- x，
于是得-6-x=x
解得：x=-3
所以D同学报4的人心里想的数应是:
6-x=6-(-3)= 9，
答:D同学心里想的数应是9．
故选：D
【点睛】本题考查的知识点有平均数的相关计算及方程思想的运用．这道题题意理解起来比较容易，但从哪下手却不容易想到，一般地，当数字比较多时，方程是首选的方法，而且多设几个未数，把题中的等量关系全部展示出来，再结合题意进行整合，问题即可解决．
7．（2023春·八年级课时练习）有5个正整数，，，，．某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．①，，是三个连续偶数，②，是两个连续奇数，③．该小组成员分别得到一个结论：
甲：取，5个正整数不满足上述3个条件
乙：取，5个正整数满足上述3个条件
丙：当满足“是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件
丁：5个正整数，，，，满足上述3个条件，则（为正整数）
戊：5个正整数满足上述3个条件，则，，的平均数与，的平均数之和是（为正整数）
以上结论正确的个数有（    ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】甲：根据条件求出，从而求出即可判断甲；乙：同甲判断方法即可；丙：设（n是正整数），则，，同理求得，即可判断丙；丁：设（m是正整数），则，，同理求得，即可判断丁；戊：设（k是正整数），则，，由条件③得，由此求出、、的平均数与与的平均数之和为，即可判断戊．
【详解】解：甲：若，则，，由条件②得，由条件③得，
解得，
∵是奇数，
∴甲结论正确；
乙：若，则，，由条件②得，由条件③得，
解得，
∵是奇数，
∴乙结论正确；
丙：若是4的倍数，设（n是正整数），则，，由条件②得，由条件③得，
解得，
∵是奇数，
∴丙结论正确；
丁：设（m是正整数），则，，由条件②得，由条件③得，
解得，
∵当m为偶数时，也为偶数不符合题意，
∴丁结论错误；
戊： 设（k是正整数），则，，由条件③得，
∴、、的平均数为，与的平均数为，
∴、、的平均数与与的平均数之和为，
∵是正整数，
∴一定是5的倍数，但不一定是10的倍数，
∴戊错误，
故选B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，平均数，解二元一次方程组等等，正确理解题意是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）小明统计了某校八年级（3）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是小时、小时、小时、小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（    ）
A．小时 B．小时 C．或小时 D．或或小时
【答案】C
【分析】利用众数及中位数的定义解答即可．
【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4,4,5,8,10，众数为4，中位数为5，不合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4,5,5,8,10，众数为5，中位数为5，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4,5,8,8,10，众数为8，中位数为8，符合题意；
当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4,5,8,10,10，众数为10，中位数为8，不合题意；故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时．故答案为C．
【点睛】本题考查了众数及中位数的概念，解题的关键是根申请题意，并结合题意分类讨论解答．

二、填空题
9．（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为米，若方差，则队员身高比较整齐的球队是___________队（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【分析】根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵
∴队员身高比较整齐的球队是甲．
故答案为：甲．
【点睛】本题考查方差，解题的关键在于知道方差的意义．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知一组数据，，，…的方差是3，则另一组数据，，，…的方差是_____．
【答案】12
【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…的平均数为，方差为，代入公式计算即可．
【详解】解：设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…的平均数为，
∵，
∴另一组数据的方差为


，
故答案为12．
【点睛】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．
11．（2023春·全国·八年级专题练习）已知第一组数据：3、3、3、3的方差为；第二组数据：2、4、6、8的方差为；第三组数据：11、12、13、14的方差为；则、、的大小关系为____________．（用“”连接）
【答案】
【分析】由题目所给数据先计算出各组平均数，再计算出、和，最后比较即可．
【详解】第一组数据的平均数，
∴；
第二组数据的平均数，
∴；
第三组数据的平均数，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查求平均数，求方差．掌握求平均数和求方差的公式是解题关键．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）已知4个正数的平均数是a，且，则数据的平均数和中位数分别是_______，_______．
【答案】
【分析】直接利用算术平均数求法，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案．
【详解】解：由算术平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了中位数和算术平均数，正确掌握定义是解题关键．
13．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）芝罘区月份某一周每天的日最高气温（单位：）如下图所示：

则这周最高气温的平均值是______．
【答案】
【分析】按照计算加权平均数的方法计算即可．
【详解】解：根据图表可得，
，
则这周最高气温的平均值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了加权平均数，掌握计算平均数的方法是解题关键．
14．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）我们把a、b、c三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则k的值为______．
【答案】或或1
【分析】先得到，再画出函数的图象，要使直线与函数的图象有且只有2个交点，只需直线经过或经过或平行于即可．
【详解】解：当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
∴
∴函数的图象如图所示：

∵与函数的图象有且只有2个交点，
当直线经过点时，则， 解得，
当直线 经过点时，，
当时，平行于，与函数的图象也有且仅有两个交点；
∴直线与函数的图象有且只有2个交点，
则k的取值为或或1．
故答案为：或或1．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质以及中位数的概念，一元一次不等式组的应用，数形结合思想的应用是解本题的关键．
15．（2023春·全国·八年级期末）对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个，数中最小的数．例如：，，如果，那么__________．
【答案】2或-4/-4或2
【分析】依据定义分别求出和，再分三种情况讨论，即可得到x的值．
【详解】
当时，，解得，
∵
∴，解得，符合条件；
当时，，解得，
∵
∴，解得，不符合条件；
当时，，解得，
∵
∴，解得，符合条件；
综上所述：或
故答案为：2或-4
【点睛】本题考查了算术平均数、一元一次方程的应用、解一元一次不等式组．解题的关键是弄清新定义运算的法则，并分情况讨论．需要考虑每种情况下x的取值范围
16．（2022秋·八年级课时练习）有一组数据：．将这组数据改变为．设这组数据改变前后的方差分别是,则与的大小关系是______________．
【答案】
【分析】设数据，，，，的平均数为，根据平均数的定义得出数据，，，，的平均数也为，再利用方差的定义分别求出，，进而比较大小．
【详解】解：设数据，，，，的平均数为，则数据，，，，的平均数也为，
，




，
．
故答案为．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（2023春·浙江·八年级专题练习）重庆实验外国语学校是一所外语小班制教学的特色学校，初二年级某英语小班共有名同学，学号依次为号，号，……20号，现随机分成甲、乙、丙三个小组，每组人数若干．若将乙组的小东（号）调整到甲组，将丙组的小英（号）调整到乙组，此时甲、丙两组同学学号的平均数都将比调整前增加，乙组同学学号的平均数将比调整前增加；同时乙组的小强（号）经过计算发现，他的学号数高于调整前乙组同学学号的平均数，却低于调整后乙组的平均数则调整前甲组共有_____名同学．
【答案】6
【分析】设甲、乙、丙组调整前的人数分别是，，，则甲、乙、丙调整后的人数分别是，，，设甲、乙、丙组调整前各组的号码之和分别为，，，则甲、乙、丙调整后各组的号码之和分别为，，，根据题意得，由③得，则，求出，，由，得出，则，即可得出结果．
【详解】解：设甲、乙、丙组调整前的人数分别是，，，则甲、乙、丙调整后的人数分别是，，，
设甲、乙、丙组调整前各组的号码之和分别为，，，则甲、乙、丙调整后各组的号码之和分别为，，，
根据题意得：，
由③得：，
，
即，

④
④代入②整理得：，
由①得：，
，
，
，
，
为正整数，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识；由乙组的人数在调整前和调整后是不变的，总分多了6分，平均分多了0.6分，求出乙组的人数是解题的关键．

三、解答题
18．（2022春·湖北武汉·八年级统考期末）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分
频数
频率

10
0.05

20
0.10

30
b

a
0.30

80
0.40

请根据所给信息，解答下列问题：
(1)a=　　，b=　　；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段；
(4)若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等约有多少人？
【答案】(1)60，0.15；
(2)见解析
(3)
(4)1200人

【分析】（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数3000乘以“优良”等学生的所占的频率即可．
【详解】（1）样本容量是：，
；
故答案为：60，0.15
（2）补全频数分布直方图，如下：

（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，
所以这次比赛成绩的中位数会落在分数段；
故答案为：
（4）（人）．
即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．
【点睛】本题考查频数（率）分布直方图，解题的关键是利用统计图获取信息，掌握用样本估计总体的方法．
19．（2023春·全国·八年级专题练习）某校为了解本校学生对“二十大”的关注程度，对八、九年级学生进行了“二十大”知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下，共分成四组：A（），B（），C（），D（），其中八年级10名学生的成绩分别是96，80，96，90，100，86，96，82，90，84；九年级学生的成绩在C组中的数据是90，91，92．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
八年级
90
90
b
42.4
九年级
90
c
100
37.8

根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述a，b，c的值：　 　，　 　，　 　；
(2)你认为这次竞赛中哪个年级成绩更好，为什么？
(3)若该校九年级共500人参加了此次竞赛活动，估计竞赛成绩优秀（）的九年级学生有多少人？
【答案】(1)40；96；
(2)九年级成绩相对更好，理由见解析
(3)估计竞赛成绩优秀（）的九年级学生大约有350人

【分析】（1）用1分别减去其它三组所占百分比即可得出a的值，根据众数和中位数的定义即可得出b、c的值；
（2）可从平均数、众数、中位数和方差角度分析求解；
（3）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：由题意可知，C组在九年级学生的成绩中的占比为：，
即，故；
八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是96分，故众数；
九年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为91、92，故中位数为，
故答案为：40；96；；
（2）九年级成绩相对更好，理由如下：
①九年级测试成绩的中位数和众数大于八年级；
②九年级测试成绩的方差小于八年级；
（3）（人）．
答：估计竞赛成绩优秀（）的九年级学生大约有350人．
【点睛】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．
20．（2023春·全国·八年级专题练习）某校甲、乙两名运动员连续8次射击训练成绩的折线统计图及统计表如下（统计图中乙的第8次成绩缺失）
甲、乙两人连续8次射击成绩统计表

平均数
中位数
众数
方差
甲
______

______

乙
6
______
6


(1)补全统计图和统计表；
(2)若规定7环及以上为优秀，试比较甲、乙两人谁的优秀率高；
(3)若甲再射击1次，命中7环，则甲的射击成绩的方差______（填“变大”“变小”或“不变”）．
【答案】(1)见解析，7，8，6
(2)甲的优秀率高
(3)变小

【分析】（1）根据乙的平均数求出总环数，从而求出乙的第8次射击的环数，再根据中位数，平均数，众数的定义计算即可；
（2）分别计算甲乙命中7环及以上的次数占总次数的百分比，再比较即可；
（3）根据方差的计算方法求解即可．
【详解】（1）解：乙的第8次射击的环数为（环），
将乙的8次射击成绩从小到大排列为3，4，5，6，6，7，8，9，
乙的中位数为（环），
甲的平均数为（环），
甲的众数为8，
补全图表如下：

平均数
中位数
众数
方差
甲
7

8

乙
6
6
6


（2）解：甲命中7环及以上的次数为5次，优秀率为，
乙命中7环及以上的次数为3次，优秀率为，
，
甲的优秀率高；
（3）解：甲再射击1次，命中7环，
甲的平均数还是7环，
甲的方差为，
甲的方差变小，
故答案为：变小．
【点睛】本题考查了折线统计图和方差，平均数，中位数，众数的综合运用，熟练掌握差，平均数，中位数，众数的概念和计算方法是解题的关键．
21．（2023春·全国·八年级专题练习）某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）：

(1)请根据以上信息，完成下列问题：
①七年级身高在的学生有__________人；
②七年级样本的中位数所在范围是__________，请说明理由；
(2)已知七年级共有名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人，并说明理由．
(3)体育组对抽查的数据进行分析，计算出各年级的平均身高及方差如下表所示：
年级
七
八
九








那么学生的身高比较整齐是哪个年级？为什么．
【答案】(1)①；②，理由见解析
(2)人，理由见解析
(3)八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小

【分析】（1）①先算出总数后，再利用即可求出则的频数；
②因为一共个数据，根据中位数是第和个数据的平均数即可得出答案；
（2）求出样本中身高若身高低于的人数所占的百分比，即可估计该校七年级身高偏矮的人数．
（3）根据方差的定义即可得出答案．
【详解】（1）①总数，
则的频数．
故答案为：18
②因为一共个数据，中位数是第和个数据的平均数，而第和个数据在的范围内，所以样本的中位数在的范围内；
故答案为：；
（2）；
故估计该校七年级身高偏矮的共有人．
（3）八年级学生的身高比较整齐，因为方差越小，数据的离散程度越小．
【点睛】本题主要考查了统计表、中位数、方差以及利用样本估计总体等有关知识，属于常考题型，读懂统计图是关键．
22．（2023春·全国·八年级专题练习）2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识，某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用表示，共分成四组：
；；；
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
91.4
93
b
45.04
八年级
92
c
100
50.4

根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次比赛中_____年级成绩更稳定；
(2)直接写出上述的值：_____，_____，______；
(3)该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？
【答案】(1)七
(2)40，96，93
(3)700人

【分析】（1）根据方差的意义即可得出答案；
（2）用乘以所占的百分比，求出，再根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（3）用该校八年级的人数乘以成绩优秀的八年级学生人数所占的百分比即可．
【详解】（1）解：七年级成绩的方差为45.04，八年级成绩的方差为50.4，
八年级成绩的方差大于七年级成绩的方差，
七年级成绩更平衡，更稳定，
故答案为：七；
（2）解：八年级学生成绩落在组人数所占百分比为，
，即；
七年级成绩出现最多的是96，
其众数，
八年级组人数共有（人），
八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94，
八年级成绩的中位数，
故答案为：40，96，93；
（3）解：根据题意得：
（人），
答：估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀的八年级学生人数是700人．
【点睛】本题考查了众数，中位数，方差的意义，众数是一组数据组出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
23．（2023春·全国·八年级专题练习）某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过w吨的部分按4元/吨收费，超出w吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表：请根据以下图表提供的信息，解答下列问题：
表1
组别
月用水量x吨/人
频数
频率
第一组

100
0.1
第二组


n
第三组

200
0.2
第四组

m
0.25
第五组

150
0.15
第六组

50
0.05
第七组

50
0.05
第八组

50
0.05

合计

1
(1)观察表1可知这次抽样调查的中位数落在第_______组，表1中m的值为_________，n的值为_______；表2扇形统计图中“用水量”部分的的圆心角为___________．
(2)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为多少吨？
(3)利用（2）的结论和表1中的数据，假设表1中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
【答案】(1)四/0.15/250/72°
(2)3
(3)8.8元

【分析】（1）用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组；
（2）前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨；
（3）总水费等于除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分总水费与10元/吨的部分总水费的和，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数．
【详解】（1）n=1-(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，
（人），
（人）
，
（人），
∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501，
∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组；
故答案为，四；0.15；250；72°；
（2）∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%，
∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，w至少定为3吨；
（3）（元）．
答：估计该市居民3月份的人均水费为8.8元．
【点睛】本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键．
24．（2023春·全国·八年级专题练习）2月20日，北京冬奥会圆满落幕，在无与伦比的盛会背后，有着许多志愿者的辛勤付出．在志愿者招募之时，甲、乙两所大学积极开展了志愿者选拔活动，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了10名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
甲校10名志愿者的成绩（分）为：．
乙校10名志愿者的成绩分布如扇形图所示，其中在C组中的数据为：．
甲、乙校抽取的志愿者成绩统计表

甲校
乙校
平均数
87
87
中位数
87.5
b
方差

79.4
众数
c
95

(1)由上表填空：_______，_______，______________；
(2)你认为哪个学校的志愿者测试成绩的总体水平较好？请至少写出两条理由；
(3)若甲校参加测试的志愿者有200名，请估计甲校成绩在90分及以上的约有多少人．
【答案】(1)
(2)乙校较好，理由见解析
(3)甲校成绩在90分及以上的约有80人

【分析】（1）先通过扇形统计图求出各组数据的情况，即可求出a、b的值，再根据题目中给出的甲校的具体值，就可以算出c和的值；
（2）可从中位数、众数和方差的角度进行分析即可；
（3）算出甲校90分以上人数的占比，再用总人数200去乘即可；
【详解】（1）由扇形统计图数据可知，C组数据有三人，占比为30%
A的圆心角度数为36°
∴A的占比为×100%=10%
∴B的占比=1-10%-30%-40%=20%
∴a=20
又∵乙校各档次的人数分别为1人、2人、3人、4人
∴中位数是第五位和第六位数，分别是88和89
∴b==88.5
根据方差的公式，可算出82.8
观察甲的数据，可发现众数c为87.
（2）解：从中位数来看，乙校的中位数高于甲校的中位数，所以乙校志愿者的成绩的中等水平好于甲校；
从众数来看，乙校的众数高于甲校的众数，所以乙校大多数志愿者的成绩好于甲校大多数志愿者的成绩；
从方差来看，乙校的方差低于甲校的方差，乙校志愿者的成绩更加稳定，所以我认为乙校较好．（可以从平均数、中位数、方差、众数等角度分析，言之有理即可）
（3）解：甲校成绩在90分以上的有4人，占比为40%；
∴（人）
答：甲校成绩在90分及以上的约有80人．
【点睛】本题考查扇形统计图和表格信息的综合，求平均数、中位数、众数和方差，以及用样本的数据估计总体，理解各统计图的信息并灵活运用是解决本题的关键．
25．（2023春·全国·八年级专题练习）某校七年级甲班、乙班举行一分钟投篮比赛，每班派10名学生参赛，在规定时间内进球数不少于8个为优秀学生．比赛数据的统计图表如下（数据不完整）：
甲班乙班1分钟投篮测试成绩统计表

甲班
乙班
平均数
6.5
a
中位数
b
6
方差
3.45
4.65
优秀率
30%
c

0

根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．
（2）你认为哪个班的比赛成绩要好一些？请简要说明理由．
【答案】（1）a＝6.5，b＝6.5，c＝30%；（2）甲班的比赛成绩要好一些，理由见解析．
【分析】（1）将甲乙两个班的3号学生进球数求出来后，再根据平均数、中位数、优秀率的计算方法进行计算即可得出a、b、c的值；
（2）比较中位数、方差得出答案．
【详解】解：（1）由统计表可知：甲班进球数平均数为6.5，
因此甲班共进球数为6.5×10=65（个），
所以甲班的3号同学进球的个数为：65﹣3﹣5﹣6﹣6﹣7﹣7﹣8﹣8﹣10＝5（个），
由统计图可知，乙班3号同学进球个数也是5个，
所以a＝（3+4+5+6×3+7+9×2+10）＝6.5，
将甲班10名同学进球的个数从小到大排列为：
3，5，5，6，6，7，7，8，8，10；
处在中间位置的两个数的平均数为＝6.5，故中位数是6.5，即b＝6.5，
因为乙班进球8个及以上的人数为3人，
∴c＝3÷10＝30%，
故a＝6.5，b＝6.5，c＝30%；
（2）甲班的比赛成绩要好一些；
理由：两个班的平均数相同，甲班的中位数略高于乙班，方差小于乙班．
【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的意义及计算方法，考查了学生对教材概念的理解与掌握，因此，理解平均数、中位数、方差的意义是正确判断的前提，同时正确的计算是关键．
26．（2023春·全国·八年级专题练习）甲、乙两名队员参加射击训练，每次射击的环数均为整数．其成绩分别被制成如下统计图表（乙队员射击训练成绩统计图部分被污染）：


平均成绩/环
中位数/环
众数/环
方差/环2
甲

7
7
12
乙
7

8

根据以上信息，解决下列问题：
（1）求出的值；
（2）直接写出乙队员第7次的射击环数及的值，并求出的值；
（3）若要选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？请说明你的理由．
【答案】（1）7，（2）乙队员第7次的射击环数是7环或8环；7.5；4.2（3）乙，理由见解析．
【分析】（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；
（2）根据众数可求乙队员第7次的射击环数,中位数是第5次和第6次射击环数的平均数；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；
（3）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．
【详解】解：（1）甲的平均成绩a＝（环）；
（2）∵已知的环数分别是： 3、4、6、7、8、8、9、10，平均数是7，
可知剩余两次的成绩和为：70-55=15（环），根据统计图可知不可能是9和6，只能是7和8，所以乙队员第7次的射击环数是7环或8环；
把乙的成绩从小到大排列：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，
∴乙射击成绩的中位数b＝＝7.5（环），
其方差c＝×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]
＝×（16+9+1+3+4+9）
＝4.2；
（3）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看乙的成绩比甲的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名队员参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．
【点睛】本题考查的是条形统计图和方差、平均数、中位数、众数的综合运用．熟练掌握平均数的计算，理解方差的概念，能够根据计算的数据进行综合分析．
27．（2023春·全国·八年级专题练习）某公司有名职员，公司食堂供应午餐．受新冠肺炎疫情影响，公司停工了一段时间．为了做好复工后职员取餐、用餐的防疫工作，食堂进行了准备，主要如下：①将过去的自主选餐改为提供统一的套餐；②调查了全体职员复工后的午餐意向，结果如图所示；③设置不交叉的取餐区和用餐区，并将用餐区按一定的间距要求调整为可同时容纳人用餐；④规定：排队取餐，要在食堂用餐的职员取餐后即进入用餐区用餐；⑤随机邀请了名要在食堂取餐的职员进行了取餐、用餐的模拟演练，这名职员取餐共用时，用餐时间（含用餐与回收餐具）如表所示．为节约时间，食堂决定将第一排用餐职员人的套餐先摆放在相应餐桌上，并在开始用餐，其他职员则需自行取餐．

用餐时间
人数










（1）食堂每天需要准备多少份午餐？
（2）食堂打算以参加演练的名职员用餐时间的平均数为依据进行规划：前一批职员用餐后，后一批在食堂用餐的职员开始取餐．为避免拥堵，需保证每位取餐后进入用餐区的职员都有座位用餐，则该规划是否可行？如果可行，请说明理由，并依此规划，根据调查统计的数据设计一个时间安排表，使得食堂不超过就可结束取餐、用餐服务，开始消杀工作；如果不可行，也请说明理由．
【答案】（1）460份；（2）可行，见解析，
【分析】（1）根据扇形图的数据，可以直接求出食堂需准备午餐份数；
（2）先估计出参加演练的100名职员用餐时间的平均数为19min，取餐职员取餐时间平均为0.1 min，根据这个数据对第一批和第二批的排队取餐、用餐时间分别进行预估，即可解答本题．
【详解】（1）解法一：500×64%＋500×28%＝460（份）
答：食堂每天需要准备460份午餐；
解法二：500－500×8%＝460（份）
答：食堂每天需要准备460份午餐；
（2）解：①可以估计参加演练的100名职员用餐时间的平均数为：
=19（min），
参加演练的100名职员取餐的人均时间：（min）；
可以估计：该公司用餐职员的用餐时间平均为19 min，
取餐职员取餐时间平均为0.1 min；
根据表格，可以估计第一批职员用餐19 min后，
空出的座位有：160×60%＝96（个）.
而第二批职员此时开始排队取餐，
取完餐坐满这96个空位所用的时间约为：96×0.1＝9.6（min）；
根据表格，可以估计：第一批职员用餐19 min后，剩下的职员在6 min后即可全部结束用餐，
因为9.6＞6，
所以第二批取餐进入用餐区的职员都能保证有座位；
②可以估计140名只取餐的职员，需要14min可取完餐；
可设计时间安排表如下：
时间
取餐、用餐安排
12:00—12:19
第一批160名在食堂用餐的职员用餐；仅在食堂取餐的140名职员取餐
12:19—13:00
第二批160名在食堂用餐的职员取餐、用餐
13:00
食堂进行消杀工作
【点睛】本题主要考查的是数据的统计与分析，解题的关键是读准题意，认真分析每批次人取餐和用餐时间．