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【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第01讲 平行线单元分类总复习
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这是一份【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第01讲 平行线单元分类总复习，文件包含第01讲平行线单元分类总复习原卷版docx、第01讲平行线单元分类总复习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
第1讲 平行线单元分类总复习
考点一 “三线八角”
【知识点睛】
v 两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．
v 同位角、内错角、同旁内角都是三条直线形成的，如果一个图形中的两个角是四条线段组成的，则肯定不是三种角中的任意一个。
v 在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，有时需要沿着角的边将图形补全，或将多余的线暂时略去，弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线，找到“三线八角”的基本图形。
【类题训练】
1．图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠2不是同位角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2不是同位角，故B不符合题意；
C、∠1和∠2不是同位角，故C不符合题意；
D、∠1和∠2是同位角，故D符合题意．
故选：D．
2．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（ ）
A．①、② B．①、②、④ C．②、③、④ D．①、②、③、④
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．
【解答】解：①由同位角的概念得出：∠A与∠1是同位角；
②由同旁内角的概念得出：∠A与∠B是同旁内角；
③由内错角的概念得出：∠4与∠1不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：∠1与∠3是内错角，错误．
故正确的有2个，是①②．
故选：A．
3．如图，∠1的同旁内角有 3 个．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．据此解答即可．
【解答】解：∠1的同旁内角有∠EFD、∠ECD和∠ECB，共有3个．
故答案为：3．
4．中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题．
【解答】解：①．根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），∠1与∠2是对顶角，那么①正确．
②．根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），∠3与∠4是同旁内角，那么②正确．
③．根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，∠5与∠6不是同旁内角，而是邻补角，那么③错误．
④．根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），∠1与∠4是内错角，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
考点二 平行线的判定
【知识点睛】
平行线的判定方法有；
v 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
v 同位角相等，两直线平行。
v 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
v 内错角相等，两直线平行。
v 同旁内角互补，两直线平行．
【类题训练】
1．下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c
【分析】根据对顶角的定义，点到直线的距离的定义，平行线的判定等知识，一一判断即可．
【解答】解：A、相等的角是对顶角，错误，相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意；
B、直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离，错误，应该是直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，本选项不符合题意；
C、两条不相交的直线叫做平行线，错误，条件是在同一平面内，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c正确，本选项符合题意．
故选：D．
2．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上都不对
【分析】根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行作已知直线的平行线．
【解答】解：如图：
画∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行可得到过直线外一点与已知直线平行的直线．
故选：A．
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个
（1）∠1＝∠2；
（2）∠3＝∠4；
（3）∠B＝∠5；
（4）∠B+∠BCD＝180°．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
（2）∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
（3）∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
（4）∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD．
故选：C．
4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可
【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选：B．
5．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 4秒或40秒 时，CD与AB平行．
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得t＝40，
此时t＞50，
∵40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故答案为：4秒或40秒．
6．如图，若MN⊥AB，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．
【分析】延长AB交EF于D，依据∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，即可得到∠MGD＝∠GDC＝90°，进而得出MN∥EF．
【解答】解：直线MN与EF互相平行．
如图，延长AB交EF于D，
∵∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD＝130°﹣40°＝90°，
又∵MN⊥AB，
∴∠MGD＝∠GDC，
∴MN∥EF．
7．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，G，点E在AC上，且∠1＝∠2，那么DE与BC平行吗？为什么？
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理即可得解．
【解答】解：DE∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DE∥BC．
8．三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 140° ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 45° ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据∠DCE＝40°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；②根据∠ACB＝135°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；
（2）仿照（1）中的算法即可得到∠ACB与∠DCE的数量关系；
（3）依据0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，利用平行线的判定定理，分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
考点三 平行线的性质
【知识点睛】
平行线的性质有：
v 两直线平行，同位角相等。
v 两直线平行，内错角相等。
v 两直线平行，同旁内角互补
【类题训练】
1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．128° B．138° C．142° D．152°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后根据两直线平行，同位角角相等求出∠4，再根据邻补角定义求得答案．
【解答】解：∵∠1＝38°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣38°＝52°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠3＝∠4＝52°
∴∠2＝180°﹣52°＝128°，
故选：A．
2．如图，a∥b，∠3＝80°，∠2＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，∠2＝30°，
∴∠4＝50°，
∴∠1＝∠4＝50°，
故选：C．
3．如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝36°，则∠MEC的度数是（ ）
A．54° B．126° C．136° D．144°
【分析】根据三角形外角的性质，可求得∠BFE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵∠M＝90°，∠MPA＝36°，
∴∠BFE＝∠M+∠MPA＝90°+36°＝126°，
∵AB∥CD，
∴∠MEC＝∠BFE＝126°．
故选：B．
4．如图，直线AB∥CD，∠A＝68°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．28° D．38°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝68°，
∴∠1＝∠A＝68°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝68°﹣40°＝28°．
故选：C．
5．一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为 36°或144° ．
【分析】分两种情况，当两次转弯后，公路的方向是相反时，当两次转弯后，公路的方向相同时，利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，所示，当两次转弯后，公路的方向是相反时，
∵AB∥CD，∠D＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝144°，
∴第二次的拐角为144°；
如图所示，当两次转弯后，公路的方向相同时，
∵AB∥CD，∠D＝36°，
∴∠ABD＝∠D＝36°，
∴第二次的拐角为36°；
综上所述，第二次的拐角为36°或144°．
6．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 94° ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝36°，∠BPE＝∠DBP＝58°，然后相加即可得解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，
∴∠APE＝∠CAP＝36°，
∵BD∥EF，∠DBP＝58°，
∴∠BPE＝∠DBP＝58°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．
故答案为：94°．
7．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 155 度．
【分析】利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
8．如图，已知射线AM∥BN，连结AB，点C是射线BN上的一个动点（与点B不重合），AD，AE分别平分∠BAC和∠CAM，交射线BN于点D，E．
（1）试说明：∠ACB＝2∠AEB；
（2）若∠ADB﹣∠BAD＝45°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质可得结论；
（2）利用角平分线的性质和平行线的性质及∠ADB﹣∠BAD＝45°，先求出∠MAC的度数，再利用（1）的结论求出∠AEB的度数．
【解答】解：（1）∵AE分别平分∠CAM，
∴∠CAM＝2∠EAM．
∵AM∥BN，
∴∠CAM＝∠ACB，∠EAM＝∠AEB．
∴∠ACB＝2∠AEB．
（2）∵AM∥BN，
∴∠CAM＝∠ACB，∠ADB＝∠DAM．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵∠ADB﹣∠BAD＝45°，
∴∠DAM﹣∠CAD＝45°．
∴∠CAM＝∠ACB＝45°．
由（1）知∠ACB＝2∠AEB，
∴∠AEB＝22.5°．
9．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）根据图1填空：∠1＝ 120 °，∠2＝ 90 °；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n．
①如图2，当n＝25°，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠2＝90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，∵∠ABC＝60°，n＝25°，
∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n＝120°﹣25°＝95°，
∵DG∥EF，
∴∠1＝∠ABE＝95°，
∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣25°＝155°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣155°
＝115°；
②当n＝30°时，AB⊥DG（EF）；
当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝120°时，AB⊥DE（GF）．
考点四 平行线之间的距离
【知识点睛】
v 平行线间的距离处处相等
v 平行线等积模型
如图：若l1∥l2，A、B在l2上，C、D在l1上；
则有：①；②
【类题训练】
1．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．
【解答】解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
2．如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有 对．
【分析】根据梯形的性质可得到两对同底同高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，故面积相等的三角形有三对．
【解答】解：根据梯形的性质知，△ADC与△DAB，△ABC与DCB都是同底等高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，
所以面积相等的三角形有三对，
故答案为：3．
3．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为 ．
【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．
【解答】证明：∵AD∥EB∥FC，
∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，
∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC
∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．
即S△DEF＝2S△ABC．
∵S△ABC＝5，
∴S△DEF＝10，
故答案为：10．
考点五 图形的平移
【知识点睛】
v 平移的性质∶
（1）平移不改变图形的形状和大小.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
v 在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段。
【类题训练】
1．平移如图所示的图形，能得到下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】看哪个图形相对于所给图形的形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等即可．
【解答】解：A、能通过平移得到，符合题意；
B、根据旋转得到的图形，不能通过平移得到，不符合题意；
C、根据对称得到的图形，不能通过平移得到，不符合题意；
D、根据旋转得到的图形，不能通过平移得到，不符合题意；
故选：A．
2．如图，△DEF是由△ABC通过平移得到，且点B、E，C、F在同一条直线上，如果BF＝14，EC＝6．那么这次平移的距离是 ．
【分析】根据平移的性质可得BE＝CF，然后列式其解即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，
∴BE＝CF，
∴BE＝（BF﹣EC），
∵BF＝14，EC＝6，
∴BE＝（14﹣6）＝4．
故答案为：4．
3．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为
cm2．
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故答案为：18．
4．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，进而推出∠AOB＝∠BO′E′．
【解答】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；
（3）∠AOB＝∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，
∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′．
第1讲 平行线单元分类总复习
考点一 “三线八角”
【知识点睛】
v 两条直线被第三条直线所截，构成八个角（简称“三线八角”），其中同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．
v 同位角、内错角、同旁内角都是三条直线形成的，如果一个图形中的两个角是四条线段组成的，则肯定不是三种角中的任意一个。
v 在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，有时需要沿着角的边将图形补全，或将多余的线暂时略去，弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线，找到“三线八角”的基本图形。
【类题训练】
1．图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠2不是同位角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2不是同位角，故B不符合题意；
C、∠1和∠2不是同位角，故C不符合题意；
D、∠1和∠2是同位角，故D符合题意．
故选：D．
2．如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（ ）
A．①、② B．①、②、④ C．②、③、④ D．①、②、③、④
【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．
【解答】解：①由同位角的概念得出：∠A与∠1是同位角；
②由同旁内角的概念得出：∠A与∠B是同旁内角；
③由内错角的概念得出：∠4与∠1不是内错角，错误；
④由内错角的概念得出：∠1与∠3是内错角，错误．
故正确的有2个，是①②．
故选：A．
3．如图，∠1的同旁内角有 3 个．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．据此解答即可．
【解答】解：∠1的同旁内角有∠EFD、∠ECD和∠ECB，共有3个．
故答案为：3．
4．中国滑雪天才少女谷爱凌在2022年北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①∠1与∠2是对顶角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题．
【解答】解：①．根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），∠1与∠2是对顶角，那么①正确．
②．根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），∠3与∠4是同旁内角，那么②正确．
③．根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，∠5与∠6不是同旁内角，而是邻补角，那么③错误．
④．根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），∠1与∠4是内错角，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
考点二 平行线的判定
【知识点睛】
平行线的判定方法有；
v 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
v 同位角相等，两直线平行。
v 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
v 内错角相等，两直线平行。
v 同旁内角互补，两直线平行．
【类题训练】
1．下列说法正确的有（ ）
A．相等的角是对顶角
B．直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离
C．两条不相交的直线叫做平行线
D．在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c
【分析】根据对顶角的定义，点到直线的距离的定义，平行线的判定等知识，一一判断即可．
【解答】解：A、相等的角是对顶角，错误，相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意；
B、直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到该直线的距离，错误，应该是直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做点到该直线的距离，本选项不符合题意；
C、两条不相交的直线叫做平行线，错误，条件是在同一平面内，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，若直线a⊥b，b⊥c，则直线a∥c正确，本选项符合题意．
故选：D．
2．如图所示，给出了过直线l外一点P作已知直线l的平行线的方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．以上都不对
【分析】根据画图的方法，利用了同位角相等，两直线平行作已知直线的平行线．
【解答】解：如图：
画∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行可得到过直线外一点与已知直线平行的直线．
故选：A．
3．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（ ）个
（1）∠1＝∠2；
（2）∠3＝∠4；
（3）∠B＝∠5；
（4）∠B+∠BCD＝180°．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
（2）∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
（3）∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD；
（4）∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD．
故选：C．
4．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE
C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE
【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可
【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠1＝∠3，故A错误．
∵∠2＝30°，
∴∠1＝∠3＝60°
∴∠CAE＝90°+60°＝150°，
∴∠E+∠CAE＝180°，
∴AC∥DE，故B正确，
∵∠2＝45°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，
∵∠E+∠3＝∠B+∠4，
∴∠4＝30°，
∵∠D＝60°，
∴∠4≠∠D，故C错误，
∵∠2＝50°，
∴∠3＝40°，
∴∠B≠∠3，
∴BC不平行AE，故D错误．
故选：B．
5．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 4秒或40秒 时，CD与AB平行．
【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得t＝40，
此时t＞50，
∵40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故答案为：4秒或40秒．
6．如图，若MN⊥AB，∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，试判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由．
【分析】延长AB交EF于D，依据∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，即可得到∠MGD＝∠GDC＝90°，进而得出MN∥EF．
【解答】解：直线MN与EF互相平行．
如图，延长AB交EF于D，
∵∠ABC＝130°，∠FCB＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC﹣∠BCD＝130°﹣40°＝90°，
又∵MN⊥AB，
∴∠MGD＝∠GDC，
∴MN∥EF．
7．已知：如图，CD⊥AB，FG⊥AB，垂足分别为D，G，点E在AC上，且∠1＝∠2，那么DE与BC平行吗？为什么？
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理即可得解．
【解答】解：DE∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴CD∥FG，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DE∥BC．
8．三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．
（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 140° ；
②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 45° ；
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；
（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①根据∠DCE＝40°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；②根据∠ACB＝135°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；
（2）仿照（1）中的算法即可得到∠ACB与∠DCE的数量关系；
（3）依据0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，利用平行线的判定定理，分两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝50°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，
故答案为：140°；
②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，
∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°；
（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，
又∵∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，
即∠ACB与∠DCE互补；
（3）存在一组边互相平行，
当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；
当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．
考点三 平行线的性质
【知识点睛】
平行线的性质有：
v 两直线平行，同位角相等。
v 两直线平行，内错角相等。
v 两直线平行，同旁内角互补
【类题训练】
1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝38°，则∠2的度数是（ ）
A．128° B．138° C．142° D．152°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后根据两直线平行，同位角角相等求出∠4，再根据邻补角定义求得答案．
【解答】解：∵∠1＝38°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣38°＝52°，
∵直尺的两边互相平行，
∴∠3＝∠4＝52°
∴∠2＝180°﹣52°＝128°，
故选：A．
2．如图，a∥b，∠3＝80°，∠2＝30°，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠4，然后根据三角形的外角可得∠3＝∠4+∠2，从而可得∠1+∠2＝80°，最后进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠3是△ABC的一个外角，
∴∠3＝∠4+∠2，
∵∠3＝80°，∠2＝30°，
∴∠4＝50°，
∴∠1＝∠4＝50°，
故选：C．
3．如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠MPA＝36°，则∠MEC的度数是（ ）
A．54° B．126° C．136° D．144°
【分析】根据三角形外角的性质，可求得∠BFE的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵∠M＝90°，∠MPA＝36°，
∴∠BFE＝∠M+∠MPA＝90°+36°＝126°，
∵AB∥CD，
∴∠MEC＝∠BFE＝126°．
故选：B．
4．如图，直线AB∥CD，∠A＝68°，∠C＝40°，则∠E等于（ ）
A．30° B．40° C．28° D．38°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠E的度数．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A＝68°，
∴∠1＝∠A＝68°，
∵∠1＝∠C+∠E，∠C＝40°，
∴∠E＝∠1﹣∠C＝68°﹣40°＝28°．
故选：C．
5．一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为 36°或144° ．
【分析】分两种情况，当两次转弯后，公路的方向是相反时，当两次转弯后，公路的方向相同时，利用平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，所示，当两次转弯后，公路的方向是相反时，
∵AB∥CD，∠D＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝144°，
∴第二次的拐角为144°；
如图所示，当两次转弯后，公路的方向相同时，
∵AB∥CD，∠D＝36°，
∴∠ABD＝∠D＝36°，
∴第二次的拐角为36°；
综上所述，第二次的拐角为36°或144°．
6．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图，从光源P点照射到凹面镜上的光线PA、PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的度数为 94° ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝36°，∠BPE＝∠DBP＝58°，然后相加即可得解．
【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝36°，
∴∠APE＝∠CAP＝36°，
∵BD∥EF，∠DBP＝58°，
∴∠BPE＝∠DBP＝58°，
∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝94°．
故答案为：94°．
7．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝ 155 度．
【分析】利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE．
【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，
∴∠A′EF＝∠AEF．
∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME，
∴∠A′ED＝∠A″ED．
∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF，
∴∠A′ED＝105°+∠DEF．
∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF．
∴∠DEF＝25°．
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝25°．
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB
＝180°﹣25°
＝155°．
故答案为：155．
8．如图，已知射线AM∥BN，连结AB，点C是射线BN上的一个动点（与点B不重合），AD，AE分别平分∠BAC和∠CAM，交射线BN于点D，E．
（1）试说明：∠ACB＝2∠AEB；
（2）若∠ADB﹣∠BAD＝45°，求∠AEB的度数．
【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质可得结论；
（2）利用角平分线的性质和平行线的性质及∠ADB﹣∠BAD＝45°，先求出∠MAC的度数，再利用（1）的结论求出∠AEB的度数．
【解答】解：（1）∵AE分别平分∠CAM，
∴∠CAM＝2∠EAM．
∵AM∥BN，
∴∠CAM＝∠ACB，∠EAM＝∠AEB．
∴∠ACB＝2∠AEB．
（2）∵AM∥BN，
∴∠CAM＝∠ACB，∠ADB＝∠DAM．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵∠ADB﹣∠BAD＝45°，
∴∠DAM﹣∠CAD＝45°．
∴∠CAM＝∠ACB＝45°．
由（1）知∠ACB＝2∠AEB，
∴∠AEB＝22.5°．
9．如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）根据图1填空：∠1＝ 120 °，∠2＝ 90 °；
（2）现把三角板绕B点逆时针旋转n．
①如图2，当n＝25°，且点C恰好落在DG边上时，求∠1、∠2的度数；
②当0°＜n＜180°时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得到∠2；
（3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解．
【解答】解：（1）∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠2＝90°；
故答案为：120，90；
（2）①如图2，∵∠ABC＝60°，n＝25°，
∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n＝120°﹣25°＝95°，
∵DG∥EF，
∴∠1＝∠ABE＝95°，
∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣25°＝155°，
∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，
∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG
＝360°﹣90°﹣155°
＝115°；
②当n＝30°时，AB⊥DG（EF）；
当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；
当n＝120°时，AB⊥DE（GF）．
考点四 平行线之间的距离
【知识点睛】
v 平行线间的距离处处相等
v 平行线等积模型
如图：若l1∥l2，A、B在l2上，C、D在l1上；
则有：①；②
【类题训练】
1．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（ ）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
【分析】因为直线c的位置不明确，所以分①直线c在直线a、b外，②直线c在直线a、b之间两种情况讨论求解．
【解答】解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7（cm），
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
2．如图，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中面积相等的三角形共有 对．
【分析】根据梯形的性质可得到两对同底同高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，故面积相等的三角形有三对．
【解答】解：根据梯形的性质知，△ADC与△DAB，△ABC与DCB都是同底等高的三角形，△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到，
所以面积相等的三角形有三对，
故答案为：3．
3．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若△ABC的面积为5，则△DEF的面积为 ．
【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．
【解答】证明：∵AD∥EB∥FC，
∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，
∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC
∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．
即S△DEF＝2S△ABC．
∵S△ABC＝5，
∴S△DEF＝10，
故答案为：10．
考点五 图形的平移
【知识点睛】
v 平移的性质∶
（1）平移不改变图形的形状和大小.
（2）一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
v 在平移作图中，最关键的是找出表示图形的关键点和过关键点作平行（或在同一条直线上）且相等的线段。
【类题训练】
1．平移如图所示的图形，能得到下列图形中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】看哪个图形相对于所给图形的形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等即可．
【解答】解：A、能通过平移得到，符合题意；
B、根据旋转得到的图形，不能通过平移得到，不符合题意；
C、根据对称得到的图形，不能通过平移得到，不符合题意；
D、根据旋转得到的图形，不能通过平移得到，不符合题意；
故选：A．
2．如图，△DEF是由△ABC通过平移得到，且点B、E，C、F在同一条直线上，如果BF＝14，EC＝6．那么这次平移的距离是 ．
【分析】根据平移的性质可得BE＝CF，然后列式其解即可．
【解答】解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，
∴BE＝CF，
∴BE＝（BF﹣EC），
∵BF＝14，EC＝6，
∴BE＝（14﹣6）＝4．
故答案为：4．
3．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A'B'C'D'，则阴影部分的面积为
cm2．
【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．
【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为5﹣2＝3（cm），宽为3﹣1＝2（cm），
∴阴影部分的面积＝5×3×2﹣2×2×3＝18（cm2），
故答案为：18．
4．已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）；
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，进而推出∠AOB＝∠BO′E′．
【解答】解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE＝∠OCD＝120°，
∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，
∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，
∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；
（3）∠AOB＝∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′＝90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB＝180°，
∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，
∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，
∴∠AOB＝∠BO′E′．
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