【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第06讲 整式的乘除单元分类总复习

第6讲 整式的乘除单元分类总复习

考点一  幂的运算法则

【知识总结】

        幂的运算法则：

☆：此处的底数既可以是单项式（如单独的字母、单独的数字、数字与字母的乘积等），也可以是一个多项式。

        幂的运算法则，不仅要会正向使用，也要学会逆用，有时逆用法则，可以使计算简便或解决问题

【例题典析】

1．下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3＝a6      B．（2a）3＝6a3 C．（a+b）2＝a2+b2    D．a2+2a2＝3a2

2．已知2m＝3，32n＝6，则下列关系成立的是（　　）

A．m+1＝5n B．n＝2m C．m+1＝n D．2m＝5+n

3．若am＝3，an＝2，则a3m﹣2n等于（　　）

A． B． C． D．0

4．计算（﹣）2022×（﹣2）2023的结果是（　　）

A．﹣ B．﹣1 C． D．2010

5．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（　　）

A．ab＝c     B．a+b＝c      C．a：b：c＝1：2：10    D．a2b2＝c2

6．计算：

（1）x2•x6＝　   　；

（2）a2n•an+1＝　   　；

（3）（﹣2）×（﹣2）2×（﹣2）3＝　   　．

7．已知，则x＝　    　．

8．（1）若3×27m÷9m＝316，求m的值；

（2）已知ax＝﹣2，ay＝3，求a3x﹣2y的值；

（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x2n）2﹣4（x2）2n的值．

9．（1）若x2n＝2．求（﹣3x3n）2﹣4（﹣x2）2n的值；

（2）规定a⊗b＝2a÷2b．

①求2⊗（﹣3）的值；

②若2⊗（x﹣1）＝16，求x的值．

10．阅读下面的材料：

材料一：比较322和411的大小

解：因为411＝（22）11＝222，且3＞2，

所以322＞222，即322＞411」

小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，

材料二：比较28和82的大小．

解：因为82＝（23）2＝26，且8＞6，

所以28＞26，即28＞82，

小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小

解决下列问题：

（1）比较344、433、522的大小：

（2）比较8131、2741、961的大小：

（3）比较312×510与310×512的大小．

11．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．

（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝　   　，（3，1）＝　   　，（2，）＝　   　；

（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：

∵设（3，4）＝x，则3x＝4，

∴（3x）n＝4n，即（3n）x＝4n，

∴（3n，4n）＝x

∴（3n，4n）＝（3，4）．

试参照小明的证明过程，解决下列问题：

①计算（8，1000）﹣（32，100000）；

②请你尝试运用这种方法，写出（7，45），（7，9），（7，5）之间的等量关系．并给予证明．

12．我们知道，同底数幂的乘法法则为am•an＝am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：f（m）•f（n）＝f（m+n）（其中m、n为正整数）．

例如，若f（3）＝2，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝2×2＝4．f（9）＝f（3+3+3）＝f（3）•f（3）•f（3）＝2×2×2＝8．

（1）若f（2）＝5，

①填空：f（6）＝　   　；

②当f（2n）＝25，求n的值；

（2）若f（a）＝3，化简：f（a）•f（2a）•f（3a）•…•f（10a）．

考点二  乘法公式

【知识总结】

        平方差公式：

☆：①此处的底数只需满足：一个系数相同，另一个系数相反。系数相同项也可以是同为负系数

②此处的底数可以是是符合上述关系的多项式

        完全平方公式：

☆：完全平方公式记忆口诀：首平方，尾平方，乘积二倍放中央

        完全平方公式的变形公式：

        乘法公式同幂的运算法则一样，不仅要会正向使用，也要学会逆用。

【类题训练】

1．下列从左到右的变形正确的是（　　）

A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．＝ 

C．（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6 D．（2m﹣3n）2=4m2﹣6mn+9n2

2．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）   B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2     D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab+b2

3．计算42×2021+48×2021+62×2021的结果为（　　）

A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000

4．如图，将长方形ABCD分成2个长方形与2个正方形，其中③、④为正方形，记长方形①的周长为C1，长方形②的周长为C2，则C1与C2的大小为（　　）

A．C1＞C2 B．C1＝C2 

C．C1＜C2 D．不确定

5．计算（﹣s+t）（﹣s﹣t）＝　    　．

6．二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是　   　．

7．已知x+y＝5，xy＝6，求x2+y2＝　   　．

8．若（a+2023）（a+2021）＝3，则（a+2015）2﹣9＝　 　．

9．若mn＝3，m﹣n＝7，则m2n﹣mn2＝　   　．

10．已知实数a2+b2＝7，a+b＝3，则（a﹣2）（b﹣2）＝　   　．

11．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．

（1）上述操作能验证的公式是 　                　；

（2）请应用这个公式完成下列各题：

①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝　   　；

②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．

考点三  整式的混合运算及化简求值

【知识总结】

        多项式乘多项式的计算，遵循原则——每一项都要“见面”，计算中要特别注意符号的正负

        整式的运算或化简顺序：

先乘方、再乘除、最后算加减，有括号的先算括号里面的计算，能简便运算的要简便运算。

        整式的化简其实是整式的乘除、去括号法则、合并同类项法则的综合运用，所以计算过程中，要特别注意对应项的易错点。

        遇到化简求值问题时，必须先化简，再求值.

【例题典析】

1．（2x）3•（x3y+z）等于（　　）

A．8x6y+x14z B．﹣8x6y+x3yz C．8x6y+8x3z D．8x6y+x3yz

2．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（　　）

A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab 

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2

3．若三角形的底边为2n，高为2n﹣1，则此三角形的面积为（　　）

A．4n2+2n B．4n2﹣1 C．2n2﹣n D．2n2﹣2n

4．若（x+a）（x﹣2）＝x2﹣bx﹣2，则a+b的值为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2

5．已知（x3y﹣2）2÷（﹣xy﹣3）2＝6，则x4y2的值为（　　）

A．6 B．36 C．12 D．3

6．若关于x的多项式（x2+ax+2）（2x﹣4）展开合并后不含x2项，则a的值是（　　）

A．0 B． C．2 D．﹣2

7．若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（　　）

A．﹣11 B．﹣7 C．﹣6 D．﹣55

8．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（　　）

A．﹣18x3y2 B．18x3y2 C．﹣2x3y2 D．

9．已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．

（1）B﹣A≥2；

（2）若A+B＝4，A•B＝﹣4，则A﹣B＝﹣8：

（3）代数式5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2032的最小值为2023．

以上结论正确的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

10．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6），则M与N的大小关系为（　　）

A．M＞N B．M＝N 

C．M＜N D．由 x 的取值而定

11．篮子里有若干苹果，可以平均分给（x+1）名同学，也可以平均分给（x﹣3）名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示苹果数量不可能的是（　　）

A．2x3﹣4x2﹣6x B．x3﹣2x﹣3 

C．3（x+1）（x﹣3） D．x（x2﹣2x﹣3）

12．下列运算正确的是（　　）

A．x2•x6＝x12 B．（﹣6x6）÷（﹣2x2）＝3x2 

C．2a﹣3a＝﹣a D．（x﹣2）2＝x2﹣4

13．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为（　　）

A．12 B．14 C．16 D．18

14．若m（m﹣4n）+n（2m+n）＝25，mn＝6，则（m+n）2＝　   　．

15．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a+2b，宽为a+b的矩形，需要B类卡片 　   　张．

16．已知等式（2019A﹣2020B）x+（2018A﹣2019B）＝2021x+2020对一切实数x都成立，则A+B＝　   　．

17．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积分别表示为S1，S2，若S＝S1﹣S2，且S为定值，则a，b满足的数量关系：　   　．

18．计算：

（1）（﹣2）2+（3.14﹣π）0﹣|﹣2|+（）﹣1；

（2）（4x2﹣2x3+6x）÷（﹣2x）﹣（2x﹣1）2．

19．先化简，再求值（x﹣1）+（x+2）（x﹣2）﹣2x（x﹣1），其中x＝．

20．已知代数式A＝2x2﹣3xy+2x﹣，B＝x2﹣6xy﹣x﹣1，C＝a（x2﹣1）﹣b（2x+1）．

（1）化简2A﹣B所表示的代数式；

（2）若代数式2A﹣B﹣C值与x的取值无关，求出a、b的值．

21．观察下列各式：（x≠1）

（x﹣1）÷（x﹣1）＝1；

（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1；

（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1；

（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1．

（1）根据上面各式的规律可得（x5﹣1）÷（x﹣1）＝　   　；

（2）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）＝　   　；

（3）若1+x+x2+…+x2021＝1，求x2022的值．

22．已知a，b，c为实数，且多项式x3+ax2+bx+c能被多项式x2+3x﹣4整除，

（1）求4a+c的值；

（2）求2a﹣2b﹣c的值；

（3）若a，b，c为整数，且c≥a＞1，试确定a，b，c的值．

23．两个矩形如图1放置，．现在取BD的中点P，连接PA，PE，如图2，把图形分割成三部分，分别标记①，②，③，对应图形的面积分别记为S1，S2，S3．

（1）用字母a、b分别表示S1、S2；

（2）若a﹣b＝2，ab＝15，求S1+S2；

（3）若S1+S2＝3，ab＝1，求S3．

24．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2022年12月份的日历，我们任意选择两组“Z”字型方框，将每个“Z”字型方框4个位置上的数交叉相乘，再相减．

如：5×14﹣6×13＝﹣8；16×25﹣17×24＝﹣8，不难发现结果都是﹣8．

（1）请再写出一个具有上述特征的等式；

（2）若设最左边的数为n，请用含n的等式表示以上规律；

（3）利用整式的运算对以上的规律加以证明．