【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第10讲 分解因式专题训练

第10讲 分解因式专题训练

类型一： 运用提公因式法因式分解

1．把多项式6a2b﹣3ab2+12a2b2分解因式，应提取的公因式是（　　）

A．ab B．3ab2 C．3ab D．12a2b2

2．分解因式b2（x﹣2）+b（2﹣x）正确的结果是（　　）

A．（x﹣2）（b2+b） B．b（x﹣2）（b+1） 

C．（x﹣2）（b2﹣b） D．b（x﹣2）（b﹣1）

3．9998﹣993的结果最接近于（　　）

A．9998 B．9997 C．9996 D．9995

4．因式分解：x2y+9y＝　          　．

5．已知x2y+xy2＝48，xy＝6，则x+y＝　   　．

6．已知ab＝﹣4，a+b＝2，则a2b+ab2的值为　     　．

7．分解因式：6（x+y）2+2（y﹣x）（x+y）．

8．（1）计算：（﹣2）2023+（﹣2）2022；

（2）一个长方形的长与宽分别为a，b，若该长方形的周长为14，面积为5，求3a3b+6a2b2+3ab3的值．

类型二： 运用公式法因式分解

1．下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）

A．x2﹣4x+4 B．x2+x+1 C．4x2+4x﹣1 D．x2+2x﹣1

2．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是（　　）

A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．无法确定

3．下列各式：

①﹣x2+y2；②3x2+3y2；③﹣x2﹣y2；④x2+xy+y2；⑤x2+2xy﹣y2；⑥﹣x2+4xy﹣4y2

能用公式法分解因式的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．观察下列等式：9﹣1＝8，16﹣4＝12，25﹣9＝16，36﹣16＝20，……，这些等式反映正整数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为（　　）

A．（n+1）2﹣n2＝2n+1 

B．（2n+1）2﹣n2＝（3n+1）（n+1） 

C．（n+2）2﹣n2＝4（n+1） 

D．（n+2）2﹣n2＝2n+2

5．已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣9，乙与丙相乘的积为x2﹣3x，则甲与丙相乘的积为（　　）

A．3x+3 B．x2+3x C．3x﹣3 D．x2﹣3x

6．将下列多项式因式分解，结果中不含因式x﹣1的是（　　）

A．x（x﹣3）+（3﹣x） B．x2﹣1 

C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1

7．一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a﹣b，x﹣1，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．爱数学 B．我爱数学 C．爱祖国 D．我爱祖国

8．因式分解：4（a+b）2﹣4b2＝　           　．

9．如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为m，则另一边长为（　　）

A．2m+6 B．3m+6 

C．2m2+9m+6 D．2m2+9m+9

10．计算：7.792﹣2.212＝　   　．

11．分解因式＝　   　．

12．已知：x2﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值：

（1）x﹣y；

（2）2x2﹣2xy+10y．

13．分解因式：

（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；

（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．

14．下面是某同学对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解的过程．

解：设a2﹣4a＝b

原式＝（b+2）（b+6）+4（第一步）

＝b2+8b+16（第二步）

＝（b+4）2（第三步）

＝（a2﹣4a+4）2（第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　   　．

A．提取公因式    B．两数和乘以两数差公式

C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　   　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　   　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣2a﹣1）（a2﹣2a+3）+4进行因式分解．

15．先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．

解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．

再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．

上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题：

（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；

（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；

（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．

16．分解因式：

（1）x3﹣9x；

（2）﹣2a3+12a2﹣10a．

类型三： 分组法因式分解

1．用分组分解法将x2﹣xy+2y﹣2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　）

A．（x2﹣2x）+（2y﹣xy） B．（x2﹣xy）+（2y﹣2x） 

C．（x2+2y）+（﹣xy﹣2x） D．（x2﹣2x）﹣（xy﹣2y）

2．分解因式：a3﹣a2b﹣a+b＝　                  　．

3．分解因式：xy+（x+1）（y+1）（xy+1）．

4．分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝　                  　．

5．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（　　）

A．0或﹣3 B．1 C．2或3 D．﹣2

6．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y时，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程如下：

x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）

＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．

这种分解因式的方法叫分组分解法．

利用这种方法将下列各式分解因式：

（1）m2﹣mn+mx﹣nx；

（2）x2y2﹣2x2y﹣4y+8；

（3）a2﹣4a﹣b2+4；

（4）4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．

7．阅读下列材料：

若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．

（1）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；

（2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

8．下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，

解：设x2﹣2x＝y

原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）

＝y2+2y+1（第二步）

＝（y+1）2（第三步）

＝（x2﹣2x+1）2（第四步）

回答下列问题：

（1）该同学第二步到第三步运用了　   　．

A．提取公因式    B．平方差公式  C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式

（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　   　（填“彻底”或者“不彻底”）

若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果　   　．

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．

类型四： 十字相乘法因式分解

1．分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（　　）

A．（x﹣5）（x﹣14）   B．（x﹣2）（x﹣7） C．（x﹣2）（x+7）    D．（x+2）（x﹣7）

2．把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（　　）

A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7

3．因式分解x2+mx+n时，甲看错了m的值，分解的结果是（x﹣6）（x+2），乙看错了n的值，分解的结果为（x+8）（x﹣4），那么x2+mx+n分解因式正确的结果为（　　）

A．（x+3）（x﹣4） B．（x+4）（x﹣3） C．（x+6）（x﹣2） D．（x+2）（x﹣6）

4．把关于x的多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则ab＝　   　．

5．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：

（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：

x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+10＝　   　；     （2）x2﹣2x﹣3＝　   　；

（3）y2﹣7y+12＝　   　；    （4）x2+7x﹣18＝　   　．

类型五： 因式分解的应用

1．已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（　　）

A．0 B．1 C．﹣1 D．2

2．224﹣1可以被60和70之间某两个数整除，这两个数是（　　）

A．64，63 B．61，65 C．61，67 D．63，65

3．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：化，爱，我，数，学，新，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）

A．我爱学 B．爱新化 C．我爱新化 D．新化数学

4．若a3+2a2+2a+1＝0，则a2021+a2022+a2023＝　   　．

5．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．

例如，因为5＝22+12，所以5是一个“完美数”．

（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”　   　；

（2）已知M是一个“完美数”，且M＝x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为　   　．

6．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．

①分组分解法：

例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．

②拆项法：

例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）．

（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：

①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1；

②（拆项法）x2﹣6x+8；

（2）已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长．

7．如图1所示的正方形，我们可以利用两种不同的方法计算它的面积，从而得到完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．

请你结合以上知识，解答下列问题：

（1）写出图2所示的长方形所表示的数学等式 　   　．

（2）根据图3得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝38，求代数式a2+b2+c2的值．

（3）小华同学用图4中x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+3b）（6a+5b）的长方形，求代数式x+y+z的值．