【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第03讲 二次函数的增减性与最值问题

第3讲  二次函数的增减性与最值问题

考点一：二次函数的最值

【知识点睛】

        无区间范围的二次函数最值由a与定点纵坐标共同决定

对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：

 对称轴：直线；顶点坐标：；

开口向上 a＞0二次函数有最小值；

开口向下a＜0二次函数有最大值；

        区间范围内的二次函数最值通常需要分类讨论

区间范围内由二次函数最值求参数字母值问题的解题步骤：

①找对称轴画抛物线简图（不需要画平面直角坐标系）；

②分类讨论：让对称轴分别在对应取值范围的左边、中间、右边；

            结合抛物线的增减性找到最值时的等量关系列方程求解

③判断所求出的参数字母的值是否在对应分类讨论的取值范围内，不在则舍去。

【类题训练】

1．二次函数y＝﹣x2+6x﹣8的图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）

2．已知二次函数y＝mx2﹣4mx（m为不等于0的常数），当﹣2≤x≤3时，函数y的最小值为﹣2，则m的值为（　　）

A．± B．﹣或 C．﹣或 D．或2

3．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣3，则m的值是（　　）

A． B． C．﹣2或 D．或

4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象过点A（4，m），当x≤2时，y≥m+1，当x＞2时，y≥m，则当x＝6时，y的值为（　　）

A．2 B．4 C．m D．m+1

5．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（　　）

A．y≤5 B．y≤3 C．﹣3≤y≤3 D．﹣3≤y≤5

6．如图，以圆心角为45°扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

A．  B． C．D．

7．二次函数y＝x2﹣4mx+1﹣m（m为常数）的顶点M的纵坐标的最大值为（　　）

A． B． C． D．

8．函数y＝ax2+bx+3，当x＝1与x＝2021时，函数值相等，则当x＝2022时，函数值等于（　　）

A．﹣3 B．﹣ C． D．3

9．已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（　　）

A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣3

10．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2+mx+2m（m为常数，m＜0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x所对应的函数值的最小值为12，则m＝　   　．

11．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2+1，当1≤x≤2时有最小值5，则a的值为 　   　．

12．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．

（1）t＝　   　；

（2）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值 　   　．

13．已知函数的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上，点B（x2，y2）在第二象限内的函数图象上．

（1）当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；

（2）若x1+x2＝0，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；

14．已知二次函数y＝x2﹣2mx+3（m是常数）．

（1）若m＝1，①该二次函数图象的顶点坐标为 　   　；

②当0≤x≤4时，该二次函数的最小值为 　   　；

③当2≤x≤5时，该二次函数的最小值为 　   　．

（2）当﹣1≤x≤3时，该二次函数的最小值为1，求常数m的值．

15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2（a＜0）与y轴交于点A．

（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴．

（2）当﹣1≤x≤4时，y的最大值是2．求当﹣1≤x≤4时，y的最小值．

16．已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；

（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．

考点二：二次函数的增减性

【知识点睛】

        常规问题需要由a与对称轴共同确定，且抛物线的增减性必须有对应的范围

对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：

 a＞0时，图象开口向上；

当时，y随x的增大而减小，反之则y随x的增大而增大；

 a＜0 时，图象开口向下；

当时，y随x的增大而增大，反之则y随x的增大而减小；

        y1、y2比较大小问题规律总结：

   若点A（x1,y1）、B（x2,y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的两个点，则：

当a＞0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越小；

当a＜0时，A、B两点谁离对称轴越近，谁的纵坐标越大；

【类题训练】

1．下列函数中，y随x增大而减小的是（　　）

A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝﹣x+1 D．y＝x+l

2．画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：

关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣1．其中正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

3．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2x+m．上的点，若﹣3＜x1≤﹣2，3＜x2≤4，则（　　）

A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2

4．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（　　）

A．无论x取何实数，y的值都小于0      B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣1上

C．当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h≥2 

D．该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＜2h，则y1＞y2

5．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+3的图象上，当x＝1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1

6．已知y＝ax2+2ax+2a2+3二次函数（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　）

A．2或 B． C． D．1

7．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（　　）

A．若a＜0，m＜0，则x1+x2＞2h B．若a＞0，m＜0，则x1+x2＞2h 

C．若x1+x2＞2h，则a＞0，m＞0 D．若x1+x2＜2h，则a＞0，m＜0

8．已知（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2）是抛物线y＝x2﹣2tx﹣1上两点，以下四个命题：①若y的最小值为﹣1，则t＝0；②点A（1，﹣2t）关于抛物线对称轴的对称点是B（2t﹣1，﹣2t）；③当t≤1时，若x1+x2＞2，则y1＜y2；④对于任意的实数t，关于x的方程x2﹣2tx＝1﹣m总有实数解，则m≥﹣1，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

9．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（　　）

①当x＞2时，y随x的增大而减小； ②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；

③若（﹣2022，y1），（2022，y2）是函数图象上的两点，则yl＜y2；

④若图象上两点，对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④

10．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+t，当x＜2时，y随x的增大而 　   　.（填“增大”或“减小”）

11．写出一个满足“当x＞2时，y随x增大而减小”的二次函数解析式 　   　．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y3＞y1＞y2．结合图象，则m的取值范围是 　   　．

13．已知函数y＝x2+2x﹣1，当m≤x≤m+2时，﹣2≤y≤2，则m的取值范围是 　   　．

14．已知抛物线y＝αx2+bx+b2﹣b（α≠0）．

（1）若b＝2α，求抛物线的对称轴；

（2）若α＝1，且抛物线的对称轴在y轴右侧．

①当抛物线顶点的纵坐标为1时，求b的值；

②点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在抛物线上，若y1＞y3＞y2，请直接写出b的取值范围．

15．若二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤4）．

（1）当x分别取﹣1，0，1时对应函数值为y1，y2，y3，请比较y1，y2，y3的大小关系．

（2）记二次函数的最小值为ymin，求证：ymin≤0；

（3）若函数过（a，b）点和（a+5，b）点，求b的取值范围．

16．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．

（1）完成函数图象的作图，并完成填空．

①列出y与x的几组对应值如表：

表格中，a＝　   　；

②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；

③观察图象，当x＝　   　时，y有最大值为 　   　；

（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；

（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．