【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第04讲 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系

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第4讲 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
考点一：二次函数与方程的关系
【知识点睛】
v 求两函数图象的交点
对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:
①当求抛物线与x轴的交点横坐标时→则令抛物线的y=0，即：ax2+bx+c=0；
②当求抛物线与直线y＝kx+n的交点坐标时→则联立两个函数解析式，得，先求x，[即]，再代入直线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；
③当求抛物线与水平直线y＝m的交点是→则联立两个解析式，得
，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入抛物线解析式求y，(x,y)的对应值即为所求交点的坐标；
v 判断抛物线与直线的交点个数
对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n、水平直线y＝m:
①求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点个数→ax2+bx+c=0
△=b2-4ac，
∴有：△＞0，抛物线与x轴有2个交点；
△＝0，抛物线与x轴有1个交点；
△＜0，抛物线与x轴无交点；
②求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx+n交点个数→
整理得：，
∴有：△＞0，抛物线与直线y＝kx+n有2个交点；
△＝0，抛物线与直线y＝kx+n有1个交点；
△＜0，抛物线与直线y＝kx+n无交点；
③求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与水平直线y＝m交点个数→
整理得：，后续求交点个数方法同上。
v 一元二次方程ax2+bx+c=n的解的几何意义
将“=”左边的部分看作抛物线y＝ax2+bx+c，“=”右边的部分看作水平直线y＝n，则方程ax2+bx+c=n即在两函数图象的交点横坐标，所以交点横坐标的值就是方程的解。
【类题训练】
1．若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，可知Δ＝0，从而可以求得k的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得，k＝1，
故选：C．
2．如果a是二次函数y＝x2﹣x﹣2与x轴交点的横坐标，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．7 D．9
【分析】令x2﹣x﹣2＝0，求出x的值，从而可得a的值，进而求解．
【解答】解：令x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴a＝2或a＝﹣1，
∴（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为1．
故选：B．
3．在求解方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，先在平面直角坐标系中画出函数y＝ax2+bx+c的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析图中的信息，方程的近似解是（　　）

A．x1＝﹣3，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝3
【分析】根据图象即可求得．
【解答】解：由图象可知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点接近（﹣2，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的近似解是x1＝﹣2，x2＝3，
故选：D．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，
x
…
0

4
…
y
…
0.32
﹣2
0.32
…
则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
A．或 B．或 C．0或4 D．1或5
【分析】利用抛物线经过点（0，0.32）得到c＝0.32，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（，﹣2），由于方程ax2+bx+2.32＝0变形为ax2+bx+0.32＝﹣2，则方程ax2+bx+2.32＝0的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．
【解答】解：由抛物线经过点（0，0.32）得到c＝0.32，
因为抛物线经过点（0，0.32）、（4，0.32），
所以抛物线的对称轴为直线x＝2，
而抛物线经过点（，﹣2），
所以抛物线经过点（4﹣，﹣2），
所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.32，
方程ax2+bx+2.32＝0变形为ax2+bx+0.32＝﹣2，
所以方程ax2+bx+0.32＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，
所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．
故选：A．
5．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
下列结论不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线x＝
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
【分析】根据表格中的数据，可以求出抛物线的解析式，然后化为顶点式和交点式，即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由表格可得，
，
解得，
∴y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+＝（﹣x+3）（x+2），
∴该抛物线的开口向下，故选项A正确，不符合题意；
该抛物线的对称轴是直线x＝，故选项B正确，不符合题意，
∵当x＝﹣2时，y＝0，
∴当x＝×2﹣（﹣2）＝3时，y＝0，故选项C错误，符合题意；
函数y＝ax2+bx+c的最大值为，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2022的值为（　　）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】根据抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），可以得到m2﹣m﹣1＝0，即可得到m2﹣m＝1，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2022
＝1+2022
＝2023，
故选：D．
7．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
【分析】根据抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得m＝﹣4，
∴方程x2+mx＝5可以写成x2﹣4x＝5，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
∴（x﹣5）（x+1）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
8．若方程x2﹣2x﹣t＝0在﹣1＜x≤4范围内有实数根，则t的取值范围为（　　）
A．3＜t≤8 B．﹣1≤t≤3 C．﹣1＜t≤8 D．﹣1≤t≤8
【分析】设y1＝x2﹣2x，将一元二次方程x2﹣2x﹣t＝0的实数根可以看作y1＝x2﹣2x与函数y2＝t的有交点，再由﹣1＜x≤4的范围确定y的取值范围即可求解．
【解答】解：设y1＝x2﹣2x，
∵y1＝x2﹣2x的对称轴为直线x＝1，
∴一元二次方程x2﹣2x﹣t＝0的实数根可以看作y1＝x2﹣2x与函数y2＝t的交点，
∵方程在﹣1＜x≤4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y1＝3；
当x＝4时，y1＝8；
函数y1＝x2﹣2x在x＝1时有最小值﹣1；
∴当﹣1≤t≤8时，y1＝x2﹣2x与函数y2＝t有交点，即方程x2﹣2x﹣t＝0在﹣1≤＜t≤8范围内有实数根；
故选：D．
9．已知a，b，c是互不相等的非零实数，有三条抛物线：y＝ax2+2bx+c，y＝bx2+2cx+a，y＝cx2+2ax+b．则这三条抛物线与x轴的交点个数情况是（　　）
A．三条抛物线中至少有一条与x轴有两个交点
B．三条抛物线中至多有一条与x轴有两个交点
C．三条抛物线与x轴都只有一个交点
D．三条抛物线与x轴都没有交点
【分析】对于“至少”型的问题，可利用反证法，导出矛盾即可．
【解答】证明：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，
则有 ，
∵三式相加，整理、化简得：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc≤0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，
∴a＝b＝c与a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．
故选：A．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①b＞c；②≤n≤4；③若抛物线经过点（﹣3，y1）和点（4，y2），则y1＞y2；④关于x的方程ax2+bx+c＝3有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线过点A以及抛物线对称轴为x＝1，得出c＝，再根据图象图象可得a＜0，b＞0，c＞0，从而判断①；根据抛物线过点A以及抛物线对称轴为x＝1，可以得出抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），得出a＝﹣，b＝c，从而得出n＝，再根据2≤c≤3，从而判断②；根据抛物线的对称性可以判断③；根据②中n的取值范围可以判断④．
【解答】解：由函数图象可得a＜0，b＞0，c＞0，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又∵对称轴为x＝﹣＝1，
∴a＝﹣，
∴﹣﹣b+c＝0，
∴c＝，
∴c＞b，
故①错误；
∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴＝﹣3，则a＝﹣，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a＝c，
∴n＝a+b+c＝c．
∵2≤c≤3，≤c≤4，≤n≤4．
故②正确；
∵抛物线的对称轴为x＝1，1﹣（﹣3）＝4，4﹣1＝3，
∴y1＜y2，
故③错误；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），≤n≤4，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝3交点个数不能确定，
故④错误．
故选：A．
11．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴向下翻折后，得到新的函数图象．若直线y＝m与新的函数图象有4个公共点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．0＜m＜4 C．﹣4＜m＜0 D．﹣4≤m＜0
【分析】利用配方法得到抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），解方程得到﹣x2+2x+3＝0得抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），利用关于x轴的对称点的坐标特征得到点（1，4）关于x轴的对称点为（1，﹣4），所以新图象得解析式为y＝﹣x2+2x+3（x＜﹣1或x＞3），y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1＜x＜3），画出函数图象，利用函数图象确定m的范围．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点坐标为（1，4），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵点（1，4）关于x轴的对称点为（1，﹣4），
如图，y＝﹣x2+2x+3（x＜﹣1或x＞3），y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1＜x＜3），
∵直线y＝m与新的函数图象有4个公共点，
∴m的取值范围是﹣4＜m＜0．
故选：C．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　）
x
…
1
1.1
1.2
1.3
1.4
…
y
…
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
…
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【分析】根据表格中自变量、函数的值的变化情况，得出当y＝0时，相应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：由表格数据可得，当x＝1.1时，y＝﹣0.49，当x＝1.2时，y＝0.04，
于是可得，当y＝0时，相应的自变量x的取值范围为1.1＜x＜1.2，
故选：B．
13．如图，已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+＝0的解是　x＝﹣3　．

【分析】根据已知函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，可以求得点P的坐标，将y＝﹣与y＝ax2+bx联立方程组，变形可得ax2+bx+＝0，从而可知ax2+bx+＝0的解就是函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点得横坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵点P在函数y＝﹣上，点P的纵坐标为1，
∴1＝，
解得x＝﹣3，
∴函数y＝﹣与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P的坐标为（﹣3，1），
∴
可得，，
∴，
解得x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
14．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，若抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标是 　（﹣6，0）　．
【分析】由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解．
【解答】解：∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是﹣3和1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
抛物线y2＝ax2+bx+c+m（m＞0）是由抛物线向上移动m个单位，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵A，B关于对称轴对称，A坐标为（4，0），
∴点B坐标为（﹣6，0）．
故答案为：（﹣6，0）．
15．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　0＜m＜2　．
【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．
【解答】解：如图所示：当x＝2时，y＝2，
故直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是：0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．
16．将二次函数y＝﹣x2+6x﹣5在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线y＝x+b与这个图象恰好有3个公共点，则b的值为 　或﹣1　．

【分析】分类讨论直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相切，直线经过抛物线与x轴交点，结合图象求解．
【解答】解：当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相切时满足题意，
令﹣x2+6x﹣5＝x+b，整理得﹣x2+5x﹣5﹣b＝0，
∴Δ＝52﹣4×（﹣1）（﹣5﹣b）＝0，
解得b＝，
令﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（5，0），
当直线经过（1，0）时符合题意．
将（1，0）代入y＝x+b得0＝1+b，
解得b＝﹣1，
故答案为：或﹣1．
17．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）若A（﹣1，0），则b＝　　．
（2）若M（﹣1，0），N（1，0），抛物线与线段MN没有交点，则b的取值范围为 　　．
【分析】（1）把A（﹣1，0）代入，即可求得b的值；
（2）由于抛物线开口向上，与x轴有两个交点，故抛物线与线段MN没有交点，则，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），
∴﹣b﹣2＝0，
∴b＝﹣，
故答案为：﹣；
（2）∵，Δ＝b2﹣4××（﹣2）＝b2+4＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∵抛物线开口向上，抛物线与线段MN没有交点，
∴，即
解得﹣＜b＜，
故答案为：﹣＜b＜．
18．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．下列四个结论：①a＞；②一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间：③点P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，当实数t＜﹣时，y1＞y2；④一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，其中正确的结论是　①②④　（填写序号）．
【分析】根据题意a＞0，b＝2a，c＝﹣2，a+b+c＝m＞0，即可得到a+2a﹣2＞0，解得a＞，于是可对①进行判断．利用抛物线的对称性，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；求得最低点的纵坐标为＝﹣2﹣a＜﹣，即可得到抛物线与直线y＝﹣有两个交点，于是可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的对称轴为直线x＝﹣1，经过A（0，﹣2），B（1，m）两点，其中m＞0．
∴b＝2a，c＝﹣2，a+b+c＝m＞0，
∴a+2a﹣2＞0，
∴a＞，故①正确；
由题意可知，抛物线与x轴的交点横坐标在0和1之间，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点的横坐标在﹣2和﹣3之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根在﹣3和﹣2之间，故②正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
当两点在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵P1（t，y1），P2（t﹣1，y2）在抛物线上，
∴当t≤﹣1时，y1＜y2，
当两点在对称轴两侧时，即t﹣1＜﹣1＜t，
∵t＜﹣，
∵﹣1﹣t+1＞t+1，
∴y1＜y2，故③错误；
∵y＝ax2+2ax﹣2，a＞，
∴＝＝﹣2﹣a＜﹣，
∴抛物线与直线y＝﹣有两个交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n，当n＞﹣时，方程有两个不相等的实数根，故④正确；
故答案为①②④．
19．已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．
（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．
（2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣可得对称轴为直线x＝﹣，由抛物线经过（1，0）及抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标，进而求解．
（2）由抛物线经过原点可得二次函数解析式中常数项为0，进而求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2+x﹣m，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣，
∵抛物线经过（1，0），
∴抛物线过点（﹣2，0），
∴x2+x﹣m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣2．
（2）∵抛物线经过原点，
∴抛物线解析为y＝x2+x．
20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣1
0
1

2
3
4
…
y
…
﹣5
0
3

4
3
4

m
0
﹣5
…
其中，m＝　3　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中，直接画出该函数的图象．
（3）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法正确的是　①③　．
①该函数是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x＝0时，函数取得最小值3．
③函数图象与直线y＝有4个交点，所以对应的方程﹣x2+2|x|+3＝有4个实数根．
（4）已知函数y＝﹣x+4的图象如图所示，结合你所画的函数图象．直接写出方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解（保留一位小数，误差不超过0.2）

【分析】（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，求得y值便可；
（2）用光滑的曲线连接所描的点便可；
（3）根据函数图象便可判断；
（4）通过观察函数图象，即可求得．
【解答】解：（1）把x＝2代入函数y＝﹣x2+2|x|+3中，得y＝﹣4+4+3＝3，
∴m＝3，
故答案为：3；
（2）描点，连线得出函数图象如图：

（3）由函数图象可知①③正确，
故答案为①③；
（4）由图象可知方程﹣x2+2|x|+3＝﹣x+4的解为x1＝0.4，x2＝2.6．
考点二：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一元一次不等式间的关系
【知识点睛】
v 利用函数图象的交点横坐标和上下关系，直接确定不等式的解集
常见关系如下：
①ax2+bx+c＞0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，则交点横坐标的一侧符合题意；
②ax2+bx+c＜0的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，则交点横坐标的一侧符合题意；
③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在直线y=kx+m上方，则交点横坐标的一侧符合题意；
④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象在直线y=kx+m下方，则交点横坐标的一侧符合题意；
【类题训练】
1．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（　　）

A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
【分析】结合函数图象，写出抛物线在直线y2＝mx+n上方所对应的自变量的范围．
【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3．
故选：C．
2．若二次函数y＝﹣x2+b的图象经过点（0，4），则不等式﹣x2+b≥0的解集为（　　）
A．﹣2≤x≤2 B．x≤2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2或x≥2
【分析】由抛物线经过（0，4）可得抛物线解析式，将y＝0代入抛物线解析式可得抛物线与x轴交点横坐标，进而求解．
【解答】解：将（0，4）代入y＝﹣x2+b得b＝4，
∴抛物线y＝﹣x2+4，
将y＝0代入y＝﹣x2+4得0＝﹣x2+4，
解得x1＝﹣2，x2＝2，
∵抛物线开口向下，
∴﹣2≤x≤2时﹣x2+b≥0，
故选：A．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3；③8a+c＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数），其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线对称轴可得a与b的关系从而判断①；由抛物线经过（﹣1，0）及抛物线的对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而判断②；由抛物线经过（3，0）及a与b的关系可判断③；由抛物线在x＝1时有最小值即可判断④．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线经过（3，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集为﹣1＜x＜3．②正确．
∵抛物线经过（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴8a+c＞0，③错误；
∵当x＝1时，对应的函数值最小，即a+b+c≤am2+bm+c（m为实数），
∴a+b≤am2+bm＝m（am+b），④正确；
故选：C．
4．已知，一次函数y1＝kx+m（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的部分自变量与对应的函数值如表：
x
…
﹣
0
2
3
4
…
y1
…

1
3
4
5
…
y2
…

﹣2
﹣2
4
14
…
当y1＞y2时，自变量x的取值范围是（　　）
A．或x＞3 B．或x＞3 C． D．
【分析】由表格可得一次函数y随x增大而增大，二次函数图象开口向上，根据两函数图象交点坐标求解．
【解答】解：由表格可得直线y1＝kx+m的y随x增大而正大，
抛物线y2＝ax2+bx+c的y先随x增大而减小，再随x增大而增大，
∴抛物线开口向上，
∵两函数都经过（﹣，），（3，4），
∴当﹣＜x＜3时，y1＞y2．
故选：D．
5．已知二次函数y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）和y2＝（x﹣a）（x﹣b）（ab≠0）（　　）
A．若﹣1＜x＜1，a＞＞0，则y1＞y2 B．若x＜1，a＞＞0，则y1＞y2
C．若﹣1＜x＜1，＜a＜0，则y1＜y2 D．若x＜﹣1，＜a＜0，则y1＜y2
【分析】由于y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），则y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．对于A选项，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由a＞＞0，可得ab＞1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判断A选项；对于B选项，由x＜1，可知（x+1）（x﹣1）不确定正负，则y1与y2的大小无法确定，即可判断B选项；对于C选项，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，即可判断C选项；对于D选项，由x＜﹣1，可得（x+1）（x﹣1）＞0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判断D选项．
【解答】解：y1＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，
y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），
∴y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．
对于A选项，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵a＞＞0，
∴ab＞1，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故A选项错误；
对于B选项，
∵x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）不确定正负，
∴y1与y2的大小无法确定，
故B选项错误；
对于C选项，
∵﹣1＜x＜1，
∴（x+1）（x﹣1）＜0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，
即y1＞y2，
故C选项错误；
对于D选项，
∵x＜﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＞0，
∵＜a＜0，
∴0＜ab＜1，
∴ab﹣1＜0，
∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，
即y1＜y2，
故D选项正确．
故选：D．
6．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】由抛物线与直线交点横坐标确定直线在抛物线上方时x的取值范围．
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，
∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．
故选：C．
7．抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）经过A（4，0）、B（m，0）、C（1，n）三点，若m，n满足：﹣1＜m＜0，n＞0．下列四个结论：①abc＜0；②当x＞时，y随x增大而减少；③一元二次方程ax2+bx+c＝n的有一个实数根在2和3之间；④不等式ax2+bx+c＞﹣的解集是1＜x＜4．其中正确的结论是 　①③④　（填写序号）．
【分析】由抛物线经过A（4，0）、B（m，0）、C（1，n），﹣1＜m＜0，n＞0，可得抛物线开口向下，抛物线与y轴交点在x轴上方，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，从而判断①②，由抛物线经过（1，n）及抛物线的对称性可得抛物线经过（3+m，n），从而判断③，由直线解析式y＝﹣可得直线经过（1，n），（4，0），从而判断④．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于A，B，且经过点C（1，n），
∴抛物线开口向下，即a＜0，抛物线与y轴交点在x轴上方，即c＞0，
由A（4，0）、B（m，0）可得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，
∵﹣1＜m＜0，
∴＜﹣＜2，
∴b＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵＜﹣＜2，抛物线开口向下，
∴x＜时，y随x增大而增大，x＞2时，y随x增大而减小，
∴②错误．
∵抛物线经过（1，n），抛物线对称轴为直线x＝，
∴抛物线经过（3+m，n），
∵﹣1＜m＜0，
∴2＜3+m＜3，
∴方程ax2+bx+c＝n的有一个实数根在2和3之间，③正确．
由直线解析式y＝﹣可得直线经过（1，n），（4，0），
∵抛物线经过（1，n），（4，0）且抛物线开口向下，
∴式ax2+bx+c＞﹣的解集是1＜x＜4，④正确．
故答案为：①③④．
8．二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象如图所示，一次函数y＝kx﹣b的图象过该二次函数图象上的点A（1，0），B（4，3），则满足（x﹣2）2﹣kx+b+m≤0的x的取值范围是 　1≤x≤4．　．

【分析】根据函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点）的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，1≤x≤4时，一次函数图象在二次函数图象上方部分（含交点），
所以，满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围是1≤x≤4．
故答案为：1≤x≤4．
9．如图，直线y1＝kx+b与抛物线y2＝ax2+bx+c交于点A（﹣2，3）和点B（2，﹣1），若y2＜y1＜0，则x的取值范围是 　1＜x＜2　．

【分析】通过待定系数法求出直线解析式，然后求出直线与x轴交点坐标，进而求解．
【解答】解：将（﹣2，3），（2，﹣1）代入y1＝kx+b得，
解得，
∴y1＝﹣x+1，
令﹣x+1＝0，
解得x＝1，
∴直线与x轴交点坐标为（1，0），
∴1＜x＜2时，y2＜y1＜0，
故答案为：1＜x＜2．
10．如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 　﹣1＜x＜3　．

【分析】将不等式转化为函数图象的位置关系求解．
【解答】解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．
由图知，图象在点A，B之间，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
11．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点A坐标为（1，﹣1），与直线相交于O、B两点，点O是原点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求点B的坐标．
（3）直接写出不等式的解．

【分析】（1）设抛物线为顶点式，将原点坐标代入解析式求解．
（2）联立抛物线方程与直线方程求解．
（3）由图象中O，B交点的横坐标求解．
【解答】解：（1）设抛物线顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将（0，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣1得0＝a﹣1，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x．
（2）令x2﹣2x＝x，
解得x1＝0，x2＝，
将x＝代入y＝x＝，
∴点B坐标为（，）．
（3）由图象可得0＜x＜时，抛物线在直线下方，
∴不等式的解为0＜x＜．
12．已知抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）关于x的不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为 　x＜1或＞3　．
（3）点M（x1，y1），点N（x2，y2）是该抛物线上的两点，若x2﹣x1＝2，试比较y1和y2的大小．
【分析】（1）先求出对称轴，由AB＝2求出点A、B的坐标，将点A的坐标代入计算即可．
（2）利用抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，且抛物线开口向上，即可得到不等式的解集．
（3）根据抛物线的对称性得到x1+x2＝4，利用x2﹣x1＝2，求出x1＝1，x2＝3，进而判断y1与y2．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝2，
∴A（1，0），B（3.0），
将点A坐标代入＝ax2﹣4ax+3，
∴a﹣4a+3＝0，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，且抛物线开口向上，
∴不等式ax2﹣4ax+3＞0的解集为x＜或x＞3；
故答案为：x＜1或＞3．
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴当点M、N关于直线x＝2对称时，x1+x2＝4，
∵x2﹣x1＝2，
∴x1＝1，x2＝3，
此时y1＝y2；
当x1＜1时，y1＞y2；
当x1＞1时，y2＞y1．
综上，当x1＝1时，y1＝y2；
当x1＜1时，y1＞y2；
当x1＞1时，y2＞y1．
13．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式x2﹣3x＜0．
解：设x2﹣3x＝0，解得：x1＝3，x2＝0；则抛物线y＝x2﹣3x与x轴的交点为（3，0）和（0，0），画出y＝x2﹣3x的大致图象；
由图象可知：当0＜x＜3时，函数图象在x轴下方，此时y＜0，即x2﹣3x＜0；所以一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集为0＜x＜3．
通过上述解题过程的学习，按其解题思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 　②　和 　③　；（只填序号）
①分类讨论思想；②转化思想；③数形结合思想．
（2）用类似的方法解x2﹣5x+6＞0的解集为 　x＜2或x＞3　．

【分析】（1）解答过程将求一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想；
（2）先求方程x2﹣5x+6＝0的解，再结合二次函数y＝x2﹣5x+6的大致图象，根据图象在x轴上方的部分确定x的取值范围即可得不等式的解集．
【解答】解：（1）根据示例可知，将一元二次不等式解集的问题转化成一元二次方程与二次函数的问题，并结合函数草图判断自变量的取值范围，所以涉及的数学思想有转化思想与数形结合的思想，
故答案为：②，③；

（2）解一元二次不等式：x2﹣5x+6＞0．
解：设x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3，则抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2﹣5x+6的大致图象（如下图所示）．由图象可知：当x＜2或x＞3时，函数图象位于x轴上方，
此时y＞0，即x2﹣5x+6＞0．
所以一元二次不等式x2﹣5x+6＞0的解集为：x＜2或x＞3．
故答案为：x＜2或x＞3．