【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第06讲 应用二次函数求解几何最值专题探究

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第6讲 应用二次函数解决几何图形最值问题专题探究
考点一 求线段的最值
【知识点睛】
v 如图，在第一象限内抛物线上有一动点P.过点P作PD⊥x轴交AB于点D，当PD（或PH）最大时，求点P的坐标；
方法：
依抛物线解析式设点P坐标，因为PD∥y轴表示点D坐标，PD=yP-yD，得PD表达式为一新二次函数，根据顶点式求其最大值。（求PH最大值则可由△PHD∽△AOB，将PH的长转化为PD长，再参照上法求解PH最大值）
【类题训练】
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0＝a（3﹣1）2+4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x＝0可得y＝3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y＝kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD解析式为y＝﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG＝|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|＝|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，
∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，
当△BDQ中BD边上的高为时，即QH＝HG＝，
∴QG＝＝2，
∵点Q在第一象限，
∴﹣x2+3x＝2，
解得x＝1或x＝2，
∴Q（1，4）或（2，3），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，4）或（2，3）．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．
（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；
（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6得，解得：，即可解决问题；
（Ⅱ）先求出直线BC的函数表达式为：，有，则，得，其中1＜t＜4；
（Ⅲ）由，得t1＝1（舍去），t2＝3，得，①当MB∥ND，且MB＝ND，②MN∥BD，且MN＝BD，根据平行的性质得点N的纵坐标，即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣6得：得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，﹣6），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B（4，0），C（0，﹣6）代入可得：
'
解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
有，则，
∴，其中1＜t＜4；
（Ⅲ），
化简得，
解得t1＝1（舍去），t2＝3，
∴，
①如图2，
当MB∥ND，且MB＝ND时，
四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB＝ND＝4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入，
解得．
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形；
②如图3，
当MN∥BD，且MN＝BD时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP＝DF，
∴此时N点纵坐标为，
将y＝代入，
得，解得：，
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形，
综上所述，或或．



D
考点二 求三角形面积的最值
【知识点睛】
v 如图，在第一象限内，抛物线上有一动点P.当S△ABP最大时，求点P的坐标；
方法：
①设动点P的坐标;
②过点P作y轴平行线交对边AB与一点，并表示出该交点坐标；
③利用水平宽×铅垂高÷2，将S△ABP表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。
【类题训练】
3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；

【分析】（1）将点B（4，m）代入y＝x+，求出m＝，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，即可求函数解析式；
（2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），可求GP＝（﹣n2+3n+4），当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，所以P（，），△PAB的面积＝××＝；
【解答】解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，
∴m＝，
将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，
解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，
∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）设P（n，n2﹣n﹣），
则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，
直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），
∴GP＝（﹣n2+3n+4），
当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，
∴P（，﹣），
∵AB＝，PG＝，
∴△PAB的面积＝××＝；
【总结反思 二次函数中斜三角形面积最大值求法】
v 如图，利用（a为水平宽，h为铅垂高）列出函数关系式，根据函数的性质求出最大值.


v 如图2，可将三角形的面积转化为求在第一象限内抛物线上的点到直线 AB距离的最大值.根据直线与抛物线只有一个交点，通过根的判别式来求出最大值。
考点三 求周长的最值
【知识点睛】
v 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，定点C、D在抛物线上，当矩形ABCD周长最大时，求点A的坐标；
方法：
①设点A坐标，表示点B、C、D坐标；
②表示AB、CD的长；
③将C矩形ABCD表示为一新二次函数，利用顶点式求其最大值。


v 如图，顶点A，B，C在抛物线上，在对称轴上找点P，使△PBC周长最小时，点P的坐标；
方法：将军饮马→对称连接
【类题训练】
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（1，0），B（﹣3，0），抛物线顶点为D．
（1）①求出抛物线的解析式；
②顶点D的坐标为 　 　；
③直线BD的解析式为 　 　；
（2）若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？
（3）若点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A'恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）①把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解；
②由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，可求顶点坐标；
③设直线BD的解析式为y＝kx+b，将点B、D的坐标代入即可求解；
（2）求出点E（m，2m+6），C（0，3），则S＝×（OC+EF）×OE＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，；
（3）抛物线的对称轴为x＝﹣1，当P点在x轴上方时，过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，证明△MPC≌△QAP（AAS），则PQ＝1，求得P（﹣1，1）；当P点在x轴下方时，△APA'为等腰直角三角形，求得AQ＝2，则P（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）①把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，
解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
②∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴D的坐标为（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）；
③设直线BD的解析式为y＝kx+b，
将点B、D的坐标代入得：
，
解得，
∴直线BD的表达式为y＝2x+6，
故答案为：y＝2x+6；
（2）∵点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为2m+6，
当x＝0时，y＝0+0+3＝3，
∴C（0，3），
由题意可知：OC＝3，OF＝﹣m，EF＝2m+6，
∴S＝×（OC+EF）×OE＝×（2m+6+3）×（﹣m）＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，；
（3）抛物线的对称轴为x＝﹣1，
当P点在x轴上方时，如图1，
过点A'作A'M⊥x＝﹣1交于点M，
∵∠APA'＝90°，
∴∠MPA'+∠MCP＝90°，∠MPC+∠APQ＝90°，
∴∠MCP＝∠APQ，
∵AP＝A'P，
∴△MPC≌△QAP（AAS），
∴PQ＝MC，
∴PQ＝1，
∴P（﹣1，1）；
当P点在x轴下方时，如图2，
∵AP＝A'P，∠APA'＝90°，
∴△APA'为等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∴PQ＝AQ＝2，
∴P（﹣1，﹣2）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．


5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，过点A的直线m与抛物线交于点C，其中点A的坐标是（1，0），点C的坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及点E的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数关系式，即可求解；
（2）先求直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；
（3）过点E作FE∥y轴，交直线AC于点F，交x轴于点P，作△EFC的高CQ，设点E坐标为（n，n2﹣4n+3），则点F的坐标为（n，n﹣1），EF＝|n﹣1﹣（n2﹣4n+3）|＝﹣n2+5n﹣4，再表示出S△ACE，利用二次函数配方求最大值．
【解答】解：（1）将点A（1，0），点C（4，3）代入y＝ax2+bx+3，
得，，
解得，，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）设直线AC的函数关系式为：y＝kx+m，
把A、C两点坐标代入，
得，，
解得，k＝1，m＝﹣1，
∴直线AC的关系式为：y＝x﹣1，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣1）（x﹣3），
∴点B坐标为（3，0）抛物线对称轴为：直线x＝2，
∵BC是定值，
∴当BD+CD最小时，△BCD的周长最小，
∵A、B是关于抛物线对称轴对称的两点，
∴当D是直线x＝2与AC的交点时，BD+CD最小时，△BCD的周长最小，
当x＝2时，y＝x﹣1＝1，
即当D点坐标为（2，1）时，△BCD的周长最小，
（3）过点E作FE∥y轴，交直线AC于点F，交x轴于点P，作△EFC的高CQ，
设点E坐标为（n，n2﹣4n+3），则点F的坐标为（n，n﹣1），
∴EF＝|n﹣1﹣（n2﹣4n+3）|＝﹣n2+5n﹣4，
∴S△ACE＝S△EFA+S△EFC＝+×EF×CQ
＝＝×3×（﹣n2+5n﹣4）
＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，△ACE的面积最大，最大面积＝，
当x＝时，y＝x2﹣4x+3＝﹣，
此时点E的坐标为（）．

【课后练习】
1．如图，直线y＝kx+m与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0），B（3，﹣2）两点，AB与y轴交于点C，P为直线AB上方抛物线上的动点，PD⊥x轴交直线AB于D，PE⊥y轴交直线AB于E．
（1）求直线AB与抛物线的解析式；
（2）求PE+PD的最大值；

【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，﹣2）代入y＝kx+m得到方程组，解方程组即可；将A（﹣1，0），B（3，﹣2）代入y＝﹣x2+bx+c得到方程组，解方程组即可．
（2）设P（m，﹣m2+m+），则D（m，﹣﹣），由点E在直线AB上可得E（2m2﹣3m﹣6，﹣m2+m+），分别表达PD和PE的长度，进而可表达PD+PE的长，利用二次函数的性质可求出最值；
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，﹣2）代入y＝kx+m得，
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣；
将A（﹣1，0），B（3，﹣2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）设P（m，﹣m2+m+），则D（m，﹣﹣），设E（a，﹣m2+m+），
∵E在直线y＝﹣x﹣上，
∴﹣m2+m+＝﹣a﹣，
∴a＝2m2﹣3m﹣6，
∴PE＝m﹣a＝m﹣（2m2﹣3m﹣6）＝﹣2m2+4m+6，
PD＝﹣m2+m+﹣（﹣m﹣）＝﹣m2+2m+3，
PE+PD＝﹣2m2+4m+6﹣m2+2m+3＝﹣3m2+6m+9＝﹣3（m2﹣2m+1）+3+9＝﹣3（m﹣1）2+12，
∵﹣3＜0，
∴当m＝1时，PE+PD有最大值，最大值为12，
∴PE+PD的最大值为12；
2．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点M是第一象限内抛物线上一动点，过点M作MF⊥x轴于点F，作ME⊥y轴于点E，当矩形MEOF周长最大时，求M点坐标．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设M（m，﹣m2+2m+3），求得F（m，0），E（0，﹣m2+2m+3），根据矩形的性质得到EM＝OF＝m，OE＝MF＝﹣m2+2m+3，求得矩形MEOF的周长＝﹣2（m﹣）2+，当m＝时，矩形MEOF周长最大，于是得到结论；
【解答】解解：（1）把点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵点M是第一象限内抛物线上一动点，
∴设M（m，﹣m2+2m+3），
∵MF⊥x轴于点F，作ME⊥y轴于点E，
∴F（m，0），E（0，﹣m2+2m+3），
∵四边形MEOF是矩形，
∴EM＝OF＝m，OE＝MF＝﹣m2+2m+3，
∴矩形MEOF的周长＝2m+2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+6m+6＝﹣2（m﹣）2+，
∴当m＝时，矩形MEOF周长最大，
∴M点坐标为（，）；
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（点B在点A的右边），且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．
【分析】（1）先根据已知条件求得B点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化成顶点式，便可求得顶点坐标；
（2）把C向下移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE＝1，连接CD，此时四边形ACDE的周长最小，求出此时的最小值便可；
（3）S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵点C（0，3），OB＝OC，
∴B（3，0），
把A、B、C三点坐标代入y＝ax2+bx+c，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把C向下移1个单位得点C′，再作C′关于抛物线的对称轴的对称点C″，连接AC″，与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE＝1，连接CD，则CD＝C′E＝C″E，
∵C（0，3），
∴C′（0，2），
∵对称轴是直线x＝1，
∴C″（2，2），
∵A（﹣1，0），
∴AC＝，
AC″＝，
AE+DE+CD+AC＝AE+1+C″E+＝1++AE+C″E＝1++AC″＝1+的值最小，
∴四边形ACDE的周长的最小值为1+；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝3：5或5：3，
则AE＝2.5或1.5，
即点E的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3，
解得：k＝﹣6或﹣2，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3，
联立方程组或，
解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．

4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
（4）设点M的坐标为（3，m），直接写出使MN+MD的和最小时m的值．

【分析】（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，得抛物线为y＝﹣x2+2x+3；又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，得直线AC为y＝x+1；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得D（1，4），当x＝1时，y＝x+1＝2，得B（1，2），求出BD＝2，设E（x，x+1），当EF＝BD＝2时，以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，分两种情形讨论：①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，得x+3＝﹣x2+2x+3，即可求解；②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），得x﹣1＝﹣x2+2x+3，即可求解；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），表示出PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，又S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，S△APC的最大值为；
（4）作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′，得D′坐标为（5，4），连结ND′交直线x＝3于点M，此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，即NM+MD最小，利用点N（0，3）和D′（5，4）求出直线NM的函数关系式为：y＝x+3，当x＝3时，y＝，求出m＝．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
又设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），
得，
解得，
∴直线AC为y＝x+1；
（2）以B，D，E，F为顶点的四边形可以为平行四边形
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝2，
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1），
⸪EF∥BD，
⸫当EF＝BD＝2时，以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得，x＝0或x＝1（舍去），
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1），
∵F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝或x＝，
∴E（，）或（，），
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）或E（，）或（，）；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC面积的最大值为；
（4）作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′，
得D′坐标为（5，4），
连结ND′交直线x＝3于点M，
此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，
即NM+MD最小，
设直线ND′的关系式为：y＝mx+n，
把点N（0，3）和D′（5，4）代入，
，
得m＝，n＝3，
∴直线NM的函数关系式为：y＝x+3，
当x＝3时，y＝，
m＝．