【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第12讲 圆中的角度计算专题

第12讲   圆中的角度计算专题

【知识点睛】

        圆中线段计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度

圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系

        圆中模型“知1得4”

由图可得以下5点：

①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；

以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

        圆中的特殊角：

当圆周角=30°时，圆心角=60°→等边三角形

当圆周角=45°时，圆心角=90°→等腰直角三角形

当圆周角=60°时，圆心角=120°→三边比为1:1：的等腰三角形

当圆周角=90°时，→弧为半圆

        圆中常见其他结论：

圆内接四边形的一个外角=其内对角

折叠弧过圆心→必有30°角

以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点

圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）

【类题训练】

1．如图，等腰△ABC的顶角∠CAB为50°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则的度数为（　　）

A．25° B．35° C．50° D．65°

2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且＝3，则弦AC与弦BC的关系是（　　）

A．AC＝3BC B．AC＝BC C．AC＝（+1）BC D．AC＝BC

3．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则∠AOC等于（　　）

A．120° B．125° C．130° D．145°

4．如图，将一个含45°角的直角三角形和一个量角器放置，其中点D所在位置在量角器外侧的读数为60°，∠ACB＝90°，连接DC交AB于点E，则图中∠BEC的度数是（　　）

A．75° B．65° C．55° D．45°

5．如图，半圆的半径为6，将三角板的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（　　）

A．3 B．12 C．2 D．6

6．如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（　　）

A．12° B．22° C．24° D．44°

7．如图，△ABC的两顶点A，B在⊙O上，点C在圆外，∠C＝46°，边AC交⊙O于点D，DE∥BC经过圆心交⊙O于点E，则的度数为（　　）

A．44° B．80° C．88° D．92°

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为劣弧BD的中点，若∠DAB＝40°，则∠ABC的度数是（　　）

A．140° B．40° C．70° D．50°

9．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，点D在弧BC上，AC，BD的延长线交于点E，则∠AEB﹣∠BCD等于（　　）

A．30° B．45° C．55° D．60°

10．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（　　）

A．22° B．32° C．34° D．44°

11．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，连接AF，则∠BAF等于（　　）

A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°

12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

13．如图，四边形ABCD为矩形，△ACE为AC为底的等腰直角三角形，连接BE交AD、AC分别于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：（1）BE⊥ED；（2）AB＝AF；（3）EM＝EA；（4）AM平分∠BAC

其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

14．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，AM平分∠BAN．下列结论：①BE平分∠ABC；②AE＝EM；③∠BCM＝∠NCM；④AN2＝NF•NE；⑤BN2+EF2＝EN2，其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

15．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为　  　．

16．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C．设PB＝x，PC＝y，则y与x的函数表达式为　     　．

17．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连接AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为　   　．

18．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　   　．

19．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，AB＝5，AC＝4，D是上的一个动点，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，连接BE，则BE的最小值是　     　．

20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．

（1）求证：AB＝AC．

（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．

21．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）判断△ABC的形状：　     　；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

22．定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，则∠B+∠C＝　   　°；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO，在OA上取点E，使得DE＝OE，连接DE并延长交AC于点F，∠AED＝3∠EAF．求证：四边形BCFD是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G，OH＝2，DH＝6．

①连接OC，若将扇形OBC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　   　；

②求△ABC的面积．

23．婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．

（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是 　   　（填序号）；

①矩形     ②菱形     ③正方形

（2）如图，四边形ABCD内接于圆，P为圆内一点，∠APD＝∠BPC＝90°，且∠ADP＝∠PBC，求证：四边形ABCD为“婆氏四边形”；

（3）在（2）的条件下，BD＝4，且AB＝DC．

①当DC＝2时，求AC的长度；

②当DC的长度最小时，请直接写出tan∠ADP的值．