【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第19讲 相似三角形的应用

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第19讲 相似三角形的应用
【类题训练】
1．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），从图2闭合状态到图3打开状态，则点B，D之间的距离减少了（　　）

A．25mm B．20mm C．15mm D．8mm
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：连接BD，
由题意得，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝45，
∴点B，D之间的距离减少了45﹣20＝25（mm），
故选：A．

2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）

A．8m B．9m C．16m D．18m
【分析】利用入射与反射得到∠APB＝∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质即可求出CD．
【解答】解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝，即＝，
解得：CD＝8．
答：该古城墙CD的高度为8m．
故选：A．
3．在一次实验操作中，如图①是一个长和宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6；现将图①容器向右倾倒，按图②放置，发现此时水面恰好触到容器口边缘，则图②中水面高度为（　　）

A． B． C． D．
【分析】设DE＝x，则AD＝8﹣x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF的比例线段求得结果即可．
【解答】解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：

设DE＝x，则AD＝8﹣x，
根据题意得：（8﹣x+8）×3×3＝3×3×6，
解得：x＝4，
∴DE＝4，
∵∠E＝90°，
由勾股定理得：CD＝＝＝5，
∵∠BCE＝∠DCF＝90°，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵∠DEC＝∠BFC＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，
即，
∴CF＝，
故选：A．
4．地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O，再在他们所在的这一侧选取点A，B，D，使得AB⊥AO，DB⊥AB，然后找到DO和AB的交点C，如图所示，测得AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m，则可计算出河宽AO为（　　）

A．16m B．15m C．14m D．13m
【分析】在△AOC和△BCD中，由AB⊥AO，DB⊥AB得到∠OAC＝∠DBC＝90°，又根据对顶角相等得到两三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，由AC＝16m，BC＝8m，DB＝7m代入所得的比例式中，即可求出河宽OA的长．
【解答】解：∵∠OCA＝∠DCB，∠A＝∠B＝90°，
∴△OCA∽△DCB．
∴＝．
∴OA＝＝＝14（m）．
即这条河的宽为14m．
故选：C．
5．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20cm光源，到屏幕的距离为40cm，且幻灯片中图形的高度为8cm，则屏幕上图形的高度为（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
【分析】根据题意可画出图形，再根据相似三角形的性质对应边成比例解答．
【解答】解：如图，

∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴，
设屏幕上的小树高是x，则，
解得x＝16．
故选：C．
6．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝9m，则树高AB为（　　）

A．4m B．4.5m C．5m D．6m
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得：BC＝4.5，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4.5＝6（m），
即树高6m．
故选：D．
7．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB为（　　）

A．3cm B．3.75cm C．4cm D．4.25cm
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【解答】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O'作O'N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO'，即相似比为，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8（cm），O'N＝12﹣7＝5（cm），
∴＝，
∴AB＝3.75，
故选：B．

8．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长度是（　　）

A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．
∴CD：CA＝DE：AB．
∴20：60＝DE：10．
∴DE＝．
故选：B．
9．如图，有一块等腰三角形材料，底边BC＝80cm，高AD＝120cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　）

A．36cm B．40cm C．48cm D．60cm
【分析】设正方形的边长为xcm，表示出AK的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：设正方形的边长为xcm，则AK＝（120﹣x）cm，
∵四边形HEFG是正方形，
∴HG∥EF，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝48，
故选：C．
10．如图，高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的影子．继续向前走8m到达点N，影子为FN．若测得EF＝10m，则路灯AH的高度为（　　）

A．6m B．7m C．8m D．9m
【分析】设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：∵CD⊥EF，AH⊥EF，MN⊥EF，
∴CD∥AH∥MN，
∴△CDE∽△AHE，△MNF∽△AHF，
∴＝，＝，
设DE＝xm，DH＝ym，则FN＝（10﹣x﹣8）m，HN＝（8﹣y）m，
∴＝，＝，
∴y＝4x，
∴＝，
∴＝，
∴AH＝6，
故路灯AH的高度为6m，
故选：A．
11．如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1m，桌面离地面1.2m，灯泡离地面3.6m，则地面上阴影部分的面积为 　m2　．

【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．
【解答】解：根据题意由图可知，＝＝＝＝，
由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为：×1×1＝（m2）．
故答案为：m2．

12．如图，燃烧的蜡烛AB经小孔O在屏幕上成像A′B′，设AB＝30cm，小孔O到AB、A′B′的距离分别为32cm、20cm，则像A′B′的长是 　　cm．

【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：由题意可得：△ABO∽△A′B′O，
则＝＝，
解得：A′B′＝．
答：像A′B′的长为cm，
故答案为：．
13．晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．请你根据以上信息，则小军身高BE的长 　1.75米　．（精确到0.01）

【分析】先证明△DAC∽△DNM，根据相似三角形的对应边成比例求出MN的长，再证明△FBE∽△FNM，根据相似三角形的对应边成比例求出BE的长即可．
【解答】解：∵BE⊥NQ，AC⊥NQ，MN⊥NQ，
∴BE∥AC∥MN，
∵AC∥MN，
∴△DAC∽△DNM，
∴＝，
∵DA＝0.8米，AN＝0.8×5＝4米，AC＝1.6米，
∴DN＝0.8+4＝4.8（米），
∴MN＝＝＝9.6（米），
∵BE∥MN，
∴△FBE∽△FNM，
∴＝，
∵BN＝0.8×9＝7.2（米），FB＝0.8×2＝1.6（米），
∴FN＝7.2+1.6＝8.8（米），
∴BE＝＝≈1.75（米），
∴小军的身高约为1.75米，
故答案为：1.75米．
14．检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．如图（1），现因房间两面墙的距离为3米，因此使用平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现完整的视力表，如图（2），由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上下边沿A上发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0.8米，则镜长MM'＝　0.32　米．

【分析】作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，根据平行线的性质可知CE⊥A′B′，由相似三角形的判定定理可得出△CMM′∽△CA′B′，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，
∵AB∥MM′∥A′B′，
∴CE⊥A′B′，
∴△CMM′∽△CA′B′，
∴＝，
又∵CD＝CE﹣DE＝5﹣3＝2（米），CE＝5米，A′B′＝AB＝0.8米，
∴＝，
∴MM′＝0.32，
∴镜长为0.32米．
故答案为：0.32．

15．如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，GP是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板BC上的一点，AD＝AC＝3米，CD＝3.6米．
（1）投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时AG和AC垂直，则BD＝　　米．
（2）投石车投石过程中，AP的延长线交线段DC于点E，若DE：CE＝5：1，则点G距地面为 　（）　米．

【分析】（1）过A作AH⊥CD于H，根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质进行解答即可；
（2）过G作GF⊥DC于F，过A作AH⊥CD于H，则△EAH∽△EGF，＝，根据题意可计算出EH、EH、EF，进而可求出点G的上升高度GF．
【解答】解：（1）过A作AH⊥CD于H，

∵AG⊥AC，
∴∠GAC＝∠AHC＝90°，
∵∠GCA＝∠ACH，
∴△GAC∽△AHC，
∴＝，
∵AD＝AC＝3米，CD＝3.6米，
∴CH＝DH＝1.8米，
∴AH＝＝2.4（米），
∴＝，
∴AG＝4，
∴GH＝＝＝（米），
∴BD＝DG＝﹣1.8＝（米），
故答案为：；
（2）过G作GF⊥DC于F，过A作AH⊥CD于H，则∠AHE＝∠GFE＝90°，

∵CD＝3.6（米），DE：CE＝5：1，
∴CE＝0.6（米），
∴EH＝1.8﹣0.6＝1.2（米），
∴AE＝＝（米），
∵∠AEH＝∠GEF，
∴△EAH∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴GF＝（）（米），
故G点上升的高度为＝（）米．
故答案为：（）．
16．如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝　5.75　米时，才能发现C处的儿童．

【分析】先在Rt△△CMO中，利用勾股定理求出CM的长，再证明8字模型相似三角形△BDO∽△CMO，从而利用相似三角形的性质可得BD＝2.25m，然后在Rt△AOD中，根据勾股定理求出AD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，
∴CM＝＝＝3（m），
∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，
∴△BDO∽△CMO，
∴，
∴，
∴BD＝2.25m，
在Rt△AOD中，OA＝米，
∴AD＝＝8（m），
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），
∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童，
故答案为：5.75．
17．如图1．AB为路灯主杆，BC为路灯的悬臂．AB＝4.6m．BC＝0.5m．MN为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯笼，已知BC⊥AB于点B，AM＝4.5m，高度为1.6m的小艺同学沿地面AM行走并看路灯C，GD＝2m，绘制示意图（如图2），G，D，H三点共线、GH∥AM，∠CDE＝90°且∠DFH＝∠EDH，连结CH能满足△CDH与点D、E、F为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼F与H点的距离为 　5　m．

【分析】过C作CN⊥GH于点N，证明△CDN∽△FDH，便可求得结果．
【解答】解：过C作CN⊥GH于点N，

∴CN＝BG＝AB﹣AG＝4.6﹣1.6＝3（m），
BC＝GN＝0.5m，GH＝AM＝4.5m，
∴NH＝GH﹣GN＝4（m），DN＝DG﹣GN＝1.5（m），
∴DH＝NH﹣ND＝4﹣1.5＝2.5（m），
∵∠CDE＝90°，
∴∠CDN+∠EDH＝90°，
∵∠CDN+∠DCN＝90°，
∴∠DCN＝∠EDH，
∵∠DFH＝∠EDH，
∴∠DCN＝∠DFH，
∵∠CND＝∠FHD＝90°，
∴△CDN∽△FDH，
∴，
即，
∴FH＝5（m）．
故答案为：5．
18．如图1是某一遮阳篷支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳篷支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳篷支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．
（1）若遮阳棚完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有 　2　米（影子完全落在地面）．
（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是 　+1　．

【分析】（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可．
（2）由题意可知：CB＝FB＝GF，GH＝HB，则FH⊥GB，进而证明△MOK∽△FOH，再证明GH＝GF，最后找到
CE与AD的长度比即可．
【解答】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS∥CE，ES∥CK，

∴四边形CESK是平行四边形，
∴KS＝CE＝2，即CE在地面上影子的长为2米．
故答案为：2．
（2）连结FH，

设DE＝a，CD＝b，
由题意可知：BC＝a，BF＝a，GF＝a，BH＝b，GH＝b，
在△GHB中，HB＝GH，GF＝FB，
∴FH⊥GB，
又∵MK⊥GB，
∴MK∥FH，
∴△MOK∽△FOH．
∵FK＝MH，
∴OH＝OF，
∴∠OFH＝∠OHF，
又∵∠GFH＝90°，即∠GFO+∠OFH＝90°，
∴∠GFO+∠OHF＝90°，
又∵∠FGO+∠OHF＝90°，
∴∠GFO＝∠FGO，
即OG＝OF，
∴OH＝OF＝OG，
∴∠FGH＝45°，
∴GH＝GF．
即：b＝a，
∴＝＝＝+1，
∴CE：AD＝+1．
故答案为：+1．
19．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得∠ACD＝135°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）

【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，∠ACH＝∠CAH＝45°，进而得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，
∴∠DCH＝90°，
∵∠ACD＝135°，
∴∠ACH＝45°，
在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴，
即，
解得：BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．

20．如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形ABCD是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边AD固定，AD⊥直线l，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边BC始终与边AD平行，P为CD上的一点（不与点C，D重合），过点P作PE⊥直线l，PF⊥MN，垂足分别为E，F，即四边形PENF是矩形，过点D作DQ⊥PE，垂足为Q，延长BC与PF相交于点R．
（1）△PDQ与△CPR相似吗？请判断并说明理由．
（2）若道闸长AB＝4米，宽AD＝1米，点D距地面0.2米，PE＝1.16米，RF＝0.8米，CR＝1.44米．
①求点B到地面l的距离；
②求PF的长．

【分析】（1）根据四边形PENF是矩形可知PF∥l，PE∥MN，再由DQ⊥PQ可知DQ∥PF，故可得出∠CPR＝∠PDQ，进而可得出结论；
（2）①设PC＝x，则PD＝4﹣x，再由（1）中△PDQ∽△CPR求出x的值，根据勾股定理即可得出PQ的长，进而可得出结论；
②同（1）可得出PR的长，由PF＝PR+RF即可得出结论．
【解答】解：（1）相似．
理由：∵四边形PENF是矩形，
∴PF∥l，PE∥MN．
∵DQ⊥PQ，
∴DQ∥PF，
∴∠CPR＝∠PDQ．
∵AD∥l，AB∥AD，PF∥l，
∴BR⊥PF，
∴∠CRP＝∠PQE＝90°，
∴△PDQ∽△CPR；
（2）①延长CR交直线l于点G，则点B到地面l的距离即为线段BC+CR+RG的长．
∵四边形PENF是矩形，
∴PE⊥l，PF∥l，PE⊥PF，
∵AD∥BC，AD⊥l，
∴BC⊥l，
∴BG⊥PF⊥l，
∴四边形PEGR是矩形，
∴RG＝PE，
∵PE＝1.16米，CR＝1.44米，BC＝AD＝1米，
∴BG＝BC+RG+RG＝BC+CR+PE＝1+1.44+1.16＝3.6（米）．
故点B到地面l的距离为3.6米；
②∵道闸长AB＝4米，
设PC＝x米，则DP＝（4﹣x）米，
由（1）知，△PDQ∽△CPR，
∴＝，
∵点D距地面0.2米，PE＝1.16米，CR＝1.44米，
∴PQ＝PE﹣QE＝1.16﹣0.2＝0.96（米），
∴＝，
解得x＝2.4，
在Rt△CPR中，∵CR＝1.44米，PC＝2.4米，
∴PR＝＝≈2.08（米）．
PF≈2.08+0.8＝2.88（米）．
故PF的长大约为2.88米．

21．小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度AB，他在楼门前水平地面上选择一条直线CH，AB∥CH，在CH上距离C点8米的D处竖立标杆DE，DE⊥CH，他沿着DH方向走了2米到点N处，发现他的视线从M处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的B点处，继续沿原方向再走2米到点Q处，发现他的视线从P处通过标杆的顶端E正好落在遮雨玻璃的A点处，求遮雨玻璃的水平宽度AB．

【分析】连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，KM＝DM＝DN＝NQ＝2，证明△AEJ∽△EPK，求得AE：EP，再由AB∥MP，提出比例线段便可求得结果．
【解答】解：连接AE，过E作EI⊥AC于点I，延长PM交AC于J，交ED于K，则IE＝JK＝CD＝8，KM＝DM＝DN＝NQ＝2，

∴JE∥PJ，
∠AEJ＝∠EPK，
∵∠AJE＝∠EKP＝90°，
∴△AEJ∽△EPK，
∴，
∵AB∥MP，
∴，即，
∴AB＝4，
答：遮雨玻璃的水平宽度AB为4m．
22．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B，D'C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度PM为多少．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A'B，D'C的长度和为多少？

【分析】（1）根据相似三角形的判定可得△PAD∽△PA′D′，利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比，可得灯泡离地面的高度；
（2）同法可得到横向影子A′B，D′C的长度和．
【解答】解：（1）∵AD∥A′D′，
∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
∴，
解得PM＝180．
∴灯泡离地面的高度PM为180cm；
（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得，
解得y＝12．
即横向影子A'B，D'C的长度和为12cm．
23．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为Sm2．
（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）
（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．
（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；
（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．
（3）利用配方法求出最大值即可．
【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝（80﹣x）（m）；

（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；

（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，
∵﹣＜0，
∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．
答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．