【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第23讲 圆的综合证明型问题专题复习

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第23讲 圆的综合证明问题专题复习
【知识点睛】
v 第一问常考考点——切线
1. 切线的判定：常用方法→ 有切点，连半径，证垂直！
无切点，作垂直，证半径！
☆特别地：
题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”
2. 切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！
因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题
v 考题常见结合考点
1. 知2得1：


2. 三角形相似：

3. Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！
4. 三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；
特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△
5. 特殊角：
常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、
正切值=½ / ⅓ / ¾ 等的角度。
☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！

另：

6. 弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法
常用公式：








常用辅助线
①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径
②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3
——或做两条弦心距，构造矩形或正方形
③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题
【类题讲练】
1．如图，△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于点O，以O为圆心、OD为半径的⊙O交BC于点E、F，已知AD＝6，BD＝8．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）求弦EF的长．

【分析】（1）过点O作OM⊥AB于点M，利用角平分线的性质得到OM＝OD即可；
（2）利用勾股定理求得AC＝AB＝10，从而得到CD＝4，再由勾股定理求得，则，再由勾股定理得到，由△AOD∽△ABH得到，即可求解；
（3）连接OE，求得OH，利用勾股定理得到EH，即可求解．
【解答】（1）证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，

∵AH⊥BC，AB＝AC，
∴AH平分∠BAC，
∵OM⊥AB，OD⊥AC，
∴半径OM＝OD，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：由勾股定理可得，，AC＝10，
则CD＝4，
由勾股定理可得：，
由题意可得：AH为中线，
∴，
由勾股定理可得：，
由（1）可得∠BAH＝∠OAD，
∵∠ADB＝∠AHB＝90°，
∴△AOD∽△ABH，
∴，
即，
解得：OD＝3，即半径为3．
（3）解：连接OE，
由题意可得：OE＝3，OH⊥EF，
∴EH＝HF，
在Rt△AOD中，
由勾股定理可得：，
∴，
在Rt△OEH中，
由勾股定理可得：，
∴EF＝2EH＝4．
【点评】此题考查了圆的综合应用，掌握圆的切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．如图，已知等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D．
（1）求证：AD＝ED；
（2）若AC＝6．
①设CE＝x，⊙O的半径为r，求r关于x的函数表达式．
②当x＝r时，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，再根据等腰三角形三线合一得∠ABD＝∠CBD，则＝，即可证明结论；
（2）①证明△BAC∽△DCE，得，代入化简即可；
②当x＝r时，则x＝r＝3，连接OD，OE，则△AOD、△DOE是等边三角形，得∠AOD＝∠DOE＝60°，利用阴影部分的面积为S扇形OBE﹣S△OBE．
【解答】（1）证明：如图，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴AD＝DE；
（2）解：①∵AB＝BC，∠ADB＝90°，
∴AD＝CD＝3，
∵AD＝DE，
∴CD＝DE＝3，
∴∠C＝∠CED＝∠BAC，
∴△BAC∽△DCE，
∴，
∴，
∴r＝；
②当x＝r时，则x＝r＝3，
连接OD，OE，

则△AOD、△DOE是等边三角形，
∴∠AOD＝∠DOE＝60°，
∴∠BOE＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴阴影部分的面积为S扇形OBE﹣S△OBE＝＝．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，扇形的面积计算等知识，根据相似三角形的判定与性质得出r与x的函数解析式是解题的关键．
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：△DEF∽△GDF；
（3）若cos∠CAE＝，DF＝6，直接写出线段OG的长．

【分析】（1）由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠OEA，进而得出AB∥OE，再由∠B＝90°，得出∠OEC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）由角平分线性质及圆周角定理得出∠FED＝∠ADF，结合∠GFD＝∠DFE，即可证明△GFD∽△DFE；
（3）连接OF、AF，由AD为直径及EF平分∠AED得出△AFD为等腰直角三角形，由DF＝10，得出AD、OA、OF的长度，由cos∠CAE＝，得出AE的长，由△AGE∽△FGD，得出AG与GF的关系，进而得出OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，利用GF2＝OF2+OG2，得出GF2＝102+（GF﹣10）2，解方程即可求出线段GF的长，进而可求出OG的长．
【解答】（1）证明：如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAO，
∵OA＝OE，
∴∠EAO＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴AB∥OE，
∴∠OEC＝∠B，
∵∠B＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∵OE为半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠FED，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠FED＝∠ADF，
∵∠GFD＝∠DFE，
∴△GFD∽△DFE；
（3）解：如图3，连接OF、AF，

∵AD为直径，
∴∠AFD＝∠AED＝90°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠FED＝45°，
∴∠AFD＝∠AEF＝45°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
∵DF＝6，OA＝OD，
∴AD＝DF＝×6＝12，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝6，
∵cos∠CAE＝，
∴AE＝AD•cos∠CAE＝12×＝6，
∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，
∴△AGE∽△FGD，
∴＝＝，
∴AG＝GF，
∵AG＝AO+OG＝6+OG，
∴6+OG＝GF，
∴OG＝GF﹣6，
在Rt△FOG中，
GF2＝OF2+OG2，
∴GF2＝62+（GF﹣6）2，
解得：GF＝6（）或6（）（不符合题意，舍去），
∴OG＝GF﹣6＝12﹣6，
∴线段OG的长为12﹣6．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）求证：OD⊥DE．
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
（3）在（2）的条件下，连结CD，记∠ADC＝α，∠CDE＝β，探究α与β的数量关系．

【分析】（1）根据圆周角定理得∠BAC＝90°，从而得出∠BOD＝90°，再利用平行线的性质可得结论；
（2）利用特殊角的三角函数可得答案；
（3）利用三角形内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）解：∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∵BC＝10，
∴AB＝sin60°×10＝5；
（3）解：由（2）知，∠DAE＝45°，∠E＝60°，
∴∠ADE＝75°，
∴α+β＝75°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，特殊角的三角函数等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
5．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．
（1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．在下列三个条件中选择两个作为已知条件，求出PQ的长度；
①AD＝6，②AB＝6，③PD＝4，你选择的是 　①③　．并写出求解过程．
（3）若AD＝6，当点P在斜边AB上从A运动到B的过程中，求点Q的运动路径长．

【分析】（1）作直径BE，连接AE，可计算出∠E＝60°，从而得出∠ABE＝90°﹣∠E＝30°，从而∠BAC＝∠ABE，于是AC∥BE，从而得出∠CBE＝90°，进一步得出结论；
（2）可证明得出ADP∽△QDA，从而，进而求得DQ的长，进一步得出PQ的值
（3）接OA，OB，OD，可得出∠AOB＝120°，∠AOD＝60°，进而得出△AOD是等边三角形，从而得出圆O的半径，进一步得出结果．
【解答】解：如图1，

BC所在的直线与⊙O相切，理由如下：
作直径BE，连接AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠E+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝30°
∴的度数为：60°，
∵点D是的中点，
∴的度数为：120°，
∴∠E＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠E＝30°，
∴∠BAC＝∠ABE，
∴AC∥BE，
∵∠C＝90°，
∴∠CBE＝90°，
∴EB⊥CB，
∵点B在⊙O上，
∴CB所在的直线与⊙O相切；
（2）若选择①③，
∵＝，
∴∠DAP＝∠AQD，
∵∠ADP＝∠ADQ，
∴△ADP∽△QDA，
∴，
∴，
∴DQ＝9，
∴PQ＝DQ﹣PD＝9﹣4＝5，
若选择②③，
连接BD，
则△ABD是等腰三角形，
则AD＝＝＝6，
同样得出PQ＝5；
（3）如图2，

连接OA，OB，OD，
由上可知：和的度数为：60°，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∠AOB＝120°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝6，
∴l＝＝4π，
∴圆的周长等于2π•6＝12π，
∴12π﹣4π＝8π，
∴点Q的运动路径长为：8π．
【点评】本题考查了切线的判定条件，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CN．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）求证：BD2＝AC•BG；
（3）若BN＝OB，求tan∠ANC的值．

【分析】（1）由AB是直径得AD⊥BC，又AB＝AC得∠BAD＝∠CAD，由OA＝OD得∠ODA＝∠BAD，进而可推出∠ODM＝90°；
（2）由条件推出BD＝CD，CM＝BG，由△CDM∽△CAD，进一步可得结论；
（3）由条件推得∠BOD＝60°，进而∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，从而CO⊥AB，进一步可求得结果．
【解答】（1）证明：如图1，

连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACD＝90°，
即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠BAD，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵NM⊥AC，
∴∠AMN＝90°，
∴∠DAC+∠ADM＝90°，
∴∠ODA+∠ADM＝90°，
即∠ODM＝90°，
∴OD⊥MN，OD是半径，
∴直线MN是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）知，
∠ADC＝90°，BD＝CD，
∴∠ADC＝∠DMC＝90°，
∵∠ACD＝∠DCM，
∴△CMD∽△CDA，
∴＝，
∴CD2＝AC•CM，
∴BD2＝AC•CM，
在△BGD和△MCD中，
，
∴△BGD≌△CDM（AAS），
∴BG＝CM，
∴BD2＝AC•BG；

（3）解：如图2，

连接OD，OC，
由（1）∠ODN＝90°，
∵OD＝OB＝BN，
∴cos∠DON＝＝，
∴∠DON＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA＝OB，
∴CO⊥AB，OC＝AC•cos60°＝，
∴tan∠ANC＝＝．
【点评】本题考查了与圆有关位置和性质，等边三角形判定和性质，解直角三角形，图形相似和全等等知识，解决问题的关键是熟练掌握图形的性质及图形的特殊性．
7．如图，在⊙C中，ED为直径，点A为直径ED延长线上一点，点B为⊙C上一点，连接AB，且AB为⊙C切线，连接BD，BE．
（1）如图1，当AB＝8，ED＝12时，求AE的长；
（2）如图2，若tan∠BAE＝，作∠BAE的平分线AF，且与BE交于点F；若AF＝2，求⊙C的半径．

【分析】（1）由切线的性质可得∠ABD＝∠E，由此可得△ABD∽△AEB，所以AB：AE＝AD：AB，代入数据即可得出AD的长，进而可得AE的长；
（2）连接BC，利用tan∠BAE＝＝，设AB＝4x，则BC＝3x，则AC＝5x，过点D作DH⊥AB于点H，由于DH∥BC，利用平行线分线段成比例定理得到比例式，求得DH，AH，BH，则tan∠ABD可求，利用∠ABD＝∠E，tanE可得；过点F作FM⊥CE于M，利用角平分线的性质定理可得FE＝BE；利用勾股定理分别在Rt△BDE和Rt△FME中用x表示出线段BD，BE，FM，EM．最后在Rt△AFM中利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求得x的值，⊙C的半径可求．
【解答】解：（1）∵AB为⊙C切线，
∴∠ABD＝∠E，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB：AE＝AD：AB，
∵AB＝8，DE＝12，
∴8：（AD+12）＝AD：8，
解得AD＝4（负值舍去），
∴AE＝AD+DE＝16．
（2）如图，连接BC，过点D作DH⊥AB于点H，

则BC⊥AB，
∴DH∥BC．
∴tan∠BAE＝＝，
设AB＝4x，则BC＝3x，则AC＝5x，
∵CD＝CB＝3x，
∴AD＝AC﹣CD＝2x．
∵DH∥BC，
∴＝＝．
∴＝＝．
∴DH＝x，AH＝x.
∴BH＝AB﹣AH＝x，
在Rt△BHD中，tan∠HBD＝＝＝．
∵∠ABD＝∠E，
∴tanE＝tan∠HBD＝．
如图，过点F作FM⊥CE于M，

∵tanE＝，
∴＝．
∴AE＝AC+CE＝8x．
∵AF是∠BAC的平分线，
∴＝＝＝．
∴FE＝BE．
在Rt△BDE中，tanE＝＝，
则BE＝2BD．
∵BD2+BE2＝DE2，
∴BD2+（2BD）2＝（6x）2．
∴BD＝x，
∴BE＝2BD＝x．
∴FE＝x．
在Rt△BDE中，tanE＝＝，则ME＝2MF．
∵FM2+ME2＝FE2，
∴FM2+（2MF）2＝（x）2．
∴FM＝x．
∴ME＝2FM＝x，
∴AM＝AE﹣ME＝（8﹣）x＝x．
在Rt△AFM中，
∵AM2+FM2＝AF2，
∴（x）2+（x）2＝42．
解得：x＝±（负数不合题意，舍去）．
∴x＝．
∴⊙C的半径CE＝3x＝．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的应用，一元二次方程的解法．连接经过切点的半径和构造恰当的直角三角形是解题的关键．
8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB平移后的对应线段．
（1）当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；
（2）当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；
（3）当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值 　2或12　．

【分析】（1）当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，易证四边形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解Rt△DEC求出DE＝8，CD＝10，可得⊙O的半径为4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；
（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'＝10，连接A'N，过点N作NF⊥A'B'于点F，如图，解Rt△A'B'N，求出A'N，B'N，然后根据等积法求出NF即可解决问题；
（3）当⊙O'与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，根据切线长定理可得A'D＝PD，B'C＝PC，求出A'D＝4﹣x，B'C＝10﹣x，根据CD＝PD+PC＝A'D+B'C列方程求出x即可；当⊙O'与CD相切，在CD的右边时，同理求解即可．
【解答】解：（1）如图，当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴AB＝DE，AD＝BE＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝10﹣4＝6，
∵在Rt△DEC中，sinC＝，
∴设DE＝4k，CD＝5k（k＞0），
由勾股定理得：EC2+DE2＝CD2，
即62+（4k）2＝（5k）2，
整理得：k2＝4，
∵k＞0，
∴k＝2，
∴DE＝4k＝8，CD＝5k＝10，
∴AB＝DE＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴OD＝＝4，
∴DM＝，
即DM的最大值为；

（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'＝10，连接A'N，过点N作NF⊥A'B'于点F，如图，则∠A'NB'＝90°，
在Rt△CDE中，，，
∵A′B′∥AB∥DE，
∴∠A'B'N＝∠CDE，
在Rt△A'B'N中，A'B'＝AB＝8，
∵，
，
∴，，
∵，
∴，
∴点N到AB的距离为；

（3）当⊙O'与CD相切，在CD左边时，设切点为P，如图则四边形A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，

∴A'D＝PD，B'C＝PC，
∵AA'＝BB'＝x，
∴A'D＝4﹣x，B′C＝10﹣x，
∵CD＝PD+PC＝A'D+B'C，
∴10＝4﹣x+10﹣x，
解得：x＝2；
当⊙O'与CD相切，在CD的右边时，设切点为Q，则四边形ABB'A'是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，

∴A'D＝QD，B'C＝QC，
∵AA'＝BB'＝x，
∴A'D＝x﹣4，B'C＝x﹣10，
∵CD＝QD+QC＝A'D+B'C，
∴10＝x﹣4+x﹣10，
∴x＝12；
综上所述：当⊙O′与CD相切时，x＝2或12；
故答案为：2或12．
【点评】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，AC＝AD，直径AE交CD于点F，连接DE．
（1）如图1，求证：AE⊥CD；
（2）如图2，连接BD交AC于点G，∠AGD+∠ADC＝180°，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GH⊥CD于H，过点A作AM∥BD交⊙O于点M，若BG＝GH，AE＝10，求线段AM的长．

【分析】（1）根据等弦对等弧可得弧AC＝弧AD，进而得出∠ADC＝∠AED，由AE为⊙O的直径，得出∠ADE＝90°，根据∠ADC+∠CDE＝∠AED+∠CDE＝90°，得出∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，即可得证；
（2）证明△ABC≌△AGD（SSS），进而得出BC＝CD，即可得证；
（3）连接BO、OD连接CO交BD于L，延长CO交AM于K，证明Rt△GLC≌Rt△CHG，得出CH＝GL，设GH＝CL＝a，CH＝GL＝b，在Rt△CLD中，CD2＝CN2+DN2得出a＝3b，进而得出cos∠LCD＝，由垂径定理，得出∠AKO＝∠OFC＝90°，AK＝MK＝AM，则∠LCD＝∠OAK，cos∠OAK＝，根据AO＝AE＝5，即可求解．
【解答】（1）证明：在⊙O中，
∵AC＝AD，
∴弧AC＝弧AD，
∴∠ADC＝∠AED，
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，
∴∠ADC+∠CDE＝∠AED+∠CDE＝90°，
∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，
∴AE⊥CD；
（2）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠AGD＝180°，
∴∠AGD＝∠ABC，
∵∠AGD+∠AGB＝180°，
∴∠AGB＝∠ADC，
∵AD＝AC，
则弧AD＝弧AC，
∴∠ABD＝∠ADC＝∠AGB＝∠DGC＝∠ACD，
∴AG＝AB，DG＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ABC≌△AGD（SSS），
∴BC＝DG＝CD，
∴．
（3）解：连接BO、OD连接CO交BD于L，延长CO交AM于K，
∵，
∴OC⊥BD，
∵DG＝CD，S△GCD＝GD×CL＝CD×GH，
∵BG＝GH，
∴GH＝CL＝BG，
在Rt△GLC和Rt△CHG中，
，
∴Rt△GLC≌Rt△CHG（HL），
∴CH＝GL，
设GH＝CL＝a，CH＝GL＝b，
∵BG＝GH，
∴BL＝GB+GL＝LD＝a+b，
∵BN＝DN，
∴GD＝a+b+b＝a+2b＝CD，
在Rt△CLD中，CD2＝CN2+DN2，
∴（a+2b）2＝a2+（a+b）2，
即（a﹣3b）（a+b）＝0，
∴a＝3b，
即CL＝3GL，
∴GD＝GL+LD＝b+a+b＝a+2b＝5b．
在Rt△CLD中，CL＝a＝3b，CD＝GD＝5b，
∴cos∠LCD＝，
∵AM∥BD，
∴OK⊥AM，
∴∠AKO＝∠OFC＝90°，AK＝MK＝AM，
∴∠LCD＝∠OAK，
∴cos∠OAK＝，
∵AE＝10，
∴AO＝AE＝5，
∴AK＝AO﹣cos∠OAK＝3，
∴AM＝2AK＝6．

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键．
10．如图，⊙O是四边形的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，AD平分∠PAC．
（1）如图1，若AC是⊙O的直径，求证：PD与⊙O的相切；
（2）若AC是⊙O的直径，＝，求∠PDC的度数．
（3）如图2，若BC＝CD，求AB+AD的最大值．

【分析】（1）连接OD，由DP⊥AB得∠PAD+∠PDA＝90°，根据AD平分∠PAC，即得∠DAC+∠PDA＝90°，而∠DAC＝∠ODA，即可得∠ODP＝90°，故PD与⊙O相切；
（2）连接OD，先判断出OD∥AB，得出∠AOD＝45°，进而求出∠ODC＝22.5°，即可求出答案；
（3）连接AD，BD，在AC上截取AH＝AD，先判断出△BDC是等边三角形，得出DB＝DC，进而判断出△ADH是等边三角形，得出∠ADH＝60°，AD＝DH，进而判断出△ADB≌△HDC（SAS），得出AB＝CH，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1：

∵DP⊥AB，
∴∠DPA＝90°，
∴∠PAD+∠PDA＝90°，
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠DAC，
∴∠DAC+∠PDA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠DAC＝∠ODA，
∴∠ODA+∠PDA＝90°，即∠ODP＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD为⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切；

（2）解：连接OD，如图1：

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由（1）知，PD⊥OD，
∵PD⊥AB，
∴OD∥AB，
∴∠AOD＝∠BAC＝45°，
∴∠ACD＝∠AOD＝22.5°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACD＝22.5°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠PDC＝∠ODP+∠ODC＝112.5°；

（3）解：连接AD，BD，在AC上截取AH＝AD，如图2：

∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵AD平分∠PAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝∠DAP＝60°，
∴∠DBC＝∠BDC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴DB＝DC，
∵∠DAC＝60°，AH＝AD，
∴△ADH是等边三角形，
∴∠ADH＝60°，AD＝DH，
∴∠ADH＝∠BDC＝60°，
∴∠ADB＝∠HDC，
∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴AB＝CH，
∴AB+AD＝CH+AH＝AC，
∴当AC为直径，即AC＝10时，AB+AD取最大值是10．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，延长AO交⊙O于点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若求，tan∠D的值；
（3）在（2）的条件下，连接点C及AB与⊙O的切点交AD于点G，⊙O的半径为3，求点C与该切点间的距离．

【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用角平分线的性质可得OC＝OH，即可证明结论；
（2）利用两个角相等证明△EAC∽△CAD，得，可得答案；
（3）设CE＝x，则CD＝2x，ED＝x，可得x的值，再说明AO是CH的垂直平分线，利用等积法求出CG的长即可．
【解答】（1）证明：作OH⊥AB于H，

∵AO平分∠CAB，
∴OC＝OH，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接CE，
∵ED是直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠D，
∵∠EAC＝∠CAE，
∴△EAC∽△CAD，
∴，
∴tanD＝；
（3）在Rt△DCE中，设CE＝x，则CD＝2x，ED＝x，
∴x＝6，
∴x＝，
在Rt△ACO和Rt△AHO中，
∵OC＝OH，OA＝OA，
∴Rt△ACO≌Rt△AHO（HL），
∴AC＝AH，
∴AG垂直平分CH，
∵，
∴CG＝＝＝，
∴CH＝2CG＝，
∴点C与该切点间的距离为．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用等积法求出CG的长是解题的关键．
12．3如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC于C，AB＝10，，经过点C作圆O和AB边切于E点（E点可与点A、B重合），分别交BC边，AC边于点F，G．
（1）BC的长为 　8　；
（2）若点O在边BC上，求的长；
（3）嘉琪说：“若点E与点A重合，则点D一定在圆O上”．你觉得嘉琪的判断对吗？请说明理由；
（4）设圆O的半径为r，直接写出r的取值范围．

【分析】（1）根据三角函数的定义以及勾股定理即可求解
（2）若点O在边BC上，AC切⊙O于点C，连接OE，根据同角的三角函数求出OE，即可求解；
（3）比较OD与半径的大小即可；
（4）当CE为⊙O的直径时，半径r最小，此时，Rt△ABC斜边上的高CE为⊙O的直径，根据三角形的面积可得CE，即可求出半径r的最小值，当点E与点B重合时，半径r最大，连接OB，过O作ON⊥BC于N，根据等角的三角函数求出OB，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC⊥BC于C，AB＝10，
∴sinB＝＝，
∴AC＝6，
在Rt△ABC中，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴BC＝＝8．
故答案为：8．
（2）如图2，当圆O在BC上时，

∵∠ACB＝90°，
∴AC切圆O于C点，连接OE．
∵圆O和AB边切于点E，
∴∠OEB＝90°，
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝4，
∵tanB＝＝，
∴OE＝3，
由于圆O在BC上，
∴∠FOC＝180°，
∴弧CF的长为＝3π．
（3）不对，
理由如下：如图3，作OE⊥AD于E，连接OA、OD，作OF⊥AC于F，

∴AF＝FC＝＝3，
∵AB切圆O于A点，
∴∠OAB＝90°，
∴∠OAC+∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝∠B，
∵∠FAE＝∠AFO＝∠AEO＝90°，
∴四边形AFOE是矩形，
∴OE＝AF＝3，OE∥AF，
∴∠AOE＝∠OAC＝∠B，
∴AE＝OE•tan∠AOE＝3×＝，OA＝＝3＝，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，
在Rt△DOE中，
∵OD＞DE，
∴OD＞，
∴OD＞OA，
∴D在圆O的外部．
（4）如图4，

当CE为圆O直径时，圆O半径最小，
S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴CE＝，
∴半径r最小为：．
如图5，

当E点与B点重合时，圆O半径最大，
如图，连OB、OC，过O作OH⊥BC于H，可证∠ABC＝∠BOH，
∴tan∠ABC＝＝tan∠BOH＝，
由BH＝BC＝4，可得OH＝，
∴OB＝＝，
即半径为．
综上所述，半径r的取值范围为：≤r≤．
【点评】本题考查圆的综合应用，掌握平行四边形的性质以及勾股定理，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理是解题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E、F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•AF；
（3）若BE＝8，tanB＝，求AD的长．

【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠AEF＝∠B，再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论；
（3）连接EF，在直角三角形BOD中，根据勾股定理可得BO的长度用BD和OD表示，进而得sinB＝＝，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行得到sin∠AEF＝sin∠B，进而求出AF的长，再根据（2）的结论可求出AD的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，

则OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接OD，DF，EF，

∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°＝∠C，
∴EF∥BC，
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠ADF，
∴∠B＝∠ADF，
由（1）知，∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴＝，
∴AD2＝AB•AF；
（3）解：如图3，连接EF，

在Rt△BOD中，
tanB＝＝，
∵OD2+BD2＝OB2，
设OD为5x，则BD为12x，
由勾股定理得BO＝＝13x，
∴sinB＝＝，
设半径为r，
则＝，
解得r＝，
∴AE＝15，AB＝AE+BE＝23，
∵AE为直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE×＝15×＝，
∵AD2＝AB•AF，
∴AD＝＝＝．
【点评】本题考查圆的综合应用，掌握切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，是解答本题的关键．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．

【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；
（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．
【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°；
（2）证明：∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，
∴DF＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，
∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝∠E，
∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴＝，
∴DC2＝AD•DE
∵AC＝2DE，
∴设DE＝x，
则AC＝2x，
则AC2﹣AD2＝AD•DE，
即（2x）2﹣AD2＝AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2＝0，
解得：AD＝4x或﹣5x（负数舍去），
则DC＝＝2x，
故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2．
【点评】此题主要考查了圆的综合应用，掌握圆切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，D、E两点间的距离为y1cm，A、E两点间的距离为y2cm．
x/cm
0
1
2
3
4
4.5
5
6
y1/cm
0
1.35
2.21
3.00
3.97
4.50
4.94
5.20
y2/cm
0
1.35
1.58
1.56
　0.76　
　0　
0.95
3.00
小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：
（1）照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；
（2）在同一直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当DE﹣AE＝3时，AD的长度约为 　3.85或5.75　cm．

【分析】（1）当x＝4时，延长ED交⊙O于点K，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OH⊥EK于H，连接BC、OE、AE，利用勾股定理可求得CG、CD，再由△CDG∽△DOH，可得出OH、DH，再证得△CDG∽△DEF，求得EF、DF，即可求得答案；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）利用（2）中的图象即可得出：当DE﹣AE＝3，即y1﹣y2＝3时，满足条件的x的值为3.85cm或5.75cm．
【解答】解：（1）如图，延长ED交⊙O于点K，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥AB于F，过点O作OH⊥EK于H，连接BC、OE、AE，
当x＝4时，∵AB＝6cm，AD＝4cm，
∴BD＝2cm，OD＝AD﹣OA＝4﹣3＝1cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝×6＝3cm，
∵CG⊥AB，
∴∠BCG＝30°，
∴BG＝BC＝cm，
∴DG＝BD﹣BG＝2﹣＝cm，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝（cm），
在Rt△CDG中，CD＝＝＝（cm），

∵DE⊥DC，
∴∠CDG+∠ODH＝90°，
∵∠CGD＝∠DHO＝90°，
∴∠CDG+∠DCG＝90°，
∴∠ODH＝∠DCG，
∴△CDG∽△DOH，
∴＝＝，即＝＝，
∴OH＝cm，DH＝cm，
在Rt△OEH中，EH＝＝＝cm，
∴DE＝DH+EH＝+＝cm，
∵∠CGD＝∠DFE＝90°，∠DCG＝∠EDF，
∴△CDG∽△DEF，
∴＝＝，即＝＝，
∴EF＝cm，DF＝cm，
∴AF＝AD﹣DF＝4﹣＝cm，
∴AE＝＝＝≈0.76cm，
故答案为：0.76；
当x＝4.5时，∵AB＝6cm，AD＝4.5cm，
∴BD＝cm，OD＝AD﹣OA＝4﹣3＝1cm，
∵BG＝cm，
∴点D与点G重合，
∵∠CDE＝∠CGA＝90°，
∴点E与点A重合，
∴AE＝0；
故答案为：0.76，0．
（2）函数图象如图所示：

（3）观察图象，可得：当DE﹣AE＝3，即y1﹣y2＝3时，x1≈3.85，x2≈5.75，

∴AD的长度约为3.85cm或5.75cm；
故答案为：3.85或5.75．
【点评】本题是圆的综合题，考查了解直角三角形，函数图象，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题．