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【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第02讲 全等三角形的性质与判定
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这是一份【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第02讲 全等三角形的性质与判定，文件包含第02讲全等三角形的性质与判定原卷版docx、第02讲全等三角形的性质与判定解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
第2讲 全等三角形的性质与判定专题探究
考点一 全等三角形的性质及其应用
【知识点睛】
v 全等三角形的对应边相等，对应角相等
v 推论：全等三角形等边边上的高线、中线、对应角的角平分线分别相等
全等三角形的面积和周长也分别相等
【类题训练】
1．（2021秋•泗阳县期末）若△ABC≌△DEF，且∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
2．（2022•张店区一模）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据全等三角形的性质可得CE＝CB，进一步可得∠CEB＝∠B＝70°，再根据三角形内角和定理即可求出∠BCE的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝CB，
∵∠B＝70°，
∴∠CEB＝70°，
∴∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
3．（2021秋•澄城县期末）如图．点 D、E在BC上，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，然后求得CD的长，从而求得BD的长即可求解．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∴BE+CD＝BC+DE＝14，
∴2CD＝14，
∴CD＝7，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣7＝3，
故选：D．
4．（2021秋•凉山州期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选：D．
5．（2019秋•东台市期末）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2 B．2或 C．或 D．2或或
【分析】首先根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，
解得：x＝2，
故选：A．
6．（2021秋•信都区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．100° B．90° C．60° D．45°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AEDF，再根据余角的定义可得∠EDF+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解答】解：在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（SAS），
∴∠1＝∠EDF，
∵∠EDF+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：B．
7．（2021秋•鄂州期末）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则∠1+∠2+∠3的大小为 135 （度）．
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【解答】解：∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135．
8．（2022•渠县校级开学）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5，BC＝1，则AF＝ 6 ．
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6．
【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6，
故答案为：6．
9．（2021秋•单县期末）如图，△ABD≌△EBC，则下列结论中：
①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；
正确的有 ①②③ （只填序号）．
【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
10．（2021秋•绥棱县期末）如图，已知△ABC≌△EDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是∠BAC的平分线，∠EDA＝20°，∠F＝60°，则∠DAC的度数是 50° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠EDF，∠C＝∠F，根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，
∴∠B＝∠EDF，∠C＝∠F，
∵∠EDA＝20°，∠F＝60°，
∴∠B＝20°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝BAC＝50°，
故答案为：50°．
11．（2018秋•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数 30° ．
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝25°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝25°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°，
∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°．
故答案为：30°
12．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 48 ．
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故答案为48．
13．（2022•珠海二模）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
【分析】根据△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
【解答】证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
14．（2021春•宏伟区期中）∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：∠ACE＝90°．
【分析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA＝∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD＝90°，进而得到∠BCA+∠ECD＝90°，再根据角之间的关系可得∠ACE＝90°．
【解答】证明：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠BCA＝∠CED，
∵△DCE是直角三角形，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠BCA+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°．
15．（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠EAB＝120°，
∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，
∵∠CAD＝10°，
∴∠BAC＝（120°﹣10°）＝55°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，
∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；
∵∠DFB＝∠D+∠DGB，
∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．
考点二 全等三角形的判定及选择
【知识点睛】
v 全等三角形的判定的书写步骤：
①.推导条件；②罗列条件；③得到全等
v 全等三角形的判定方法
v 全等三角形判定方法的选择：
简写
选择证明条件
判定方法
已知两组对应边相等
夹角相等
SAS
第三边相等
SSS
已知一角和相邻一边
对应相等
相等边的对角相等
AAS
相等边的邻角相等
ASA
已知两角对应相等
夹边相等
ASA
其中一个等角的对边相等
AAS
v 特别注意：
1. 几何题目中，注意隐含条件的充分利用（如平角=180°、对顶角相等、三角形内角和为180°、公共边、公共角等）
2. 全等三角形的判定问题中，牢记两句话：
证边相等，就证它们所在的三角形全等；证角相等，就证它们所在的三角形全等
【类题训练】
1．（2021秋•湖州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
2．（2022•河源模拟）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
A．∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2021秋•武冈市期末）如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：A．
4．（2021•渭南模拟）如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于（ ）
A．148° B．140° C．135° D．128°
【分析】证明△ABC≌△EDB（SAS），求出∠A＝∠E＝43°，求出∠ADE，则答案可求出．
【解答】解：∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A＝∠E，
∵∠DBE＝62°，∠BDE＝75°，
∴∠E＝180°﹣62°﹣75°＝43°，
∴∠A＝43°，
∵∠BDE+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝105°，
∴∠AFE＝∠ADE+∠A＝105°+43°＝148°．
故选：A．
5．（2021秋•玉屏县期末）如图，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据平行线的性质得出∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，求出∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，再根据全等三角形的判定定理SAS推出△ADC≌△BCD，根据全等三角形的性质定理得出AC＝BD，∠A＝∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出△ADM≌△BCM，根据全等三角形的性质得出DM＝CM，求出DN＝CN，再根据全等三角形的判定定理SSS得出△MDN≌△MCN即可．
【解答】解：∵AD∥MN∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴AC＝BD，∠A＝∠B，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（AAS），
∴DM＝CM，
∵MN⊥DC，
∴DN＝CN，
在△MDN和△MCN中，
，
∴△MDN≌△MCN（SSS），
即全等三角形有3对，
故选：C．
6．（2022春•历下区期中）如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识，用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得AC长20m，BC长为20m，在AC的延长线上找一点D，使得CD长为20m，在BC的延长线上找一点E，使得CE长为20m，又测得此时D和E的距离为25m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为 25 m．
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB，
∵DE＝25m，
∴AB＝25m．
故答案为：25．
7．（2022•长安区二模）已知：如图，在△ABC中，三角形的两条高AH，CG交于点F，且AG＝CG，求证：GF＝GB．
【分析】由“ASA”可证△AGF≌△CGB，可得GF＝GB．
【解答】证明：∵三角形的两条高AH，CG交于点F，
∴∠AGC＝∠AHB＝90°，
∴∠B+∠BAH＝90°＝∠B+∠BCG，
∴∠BAH＝∠BCG，
在△AGF和△CGB中，
，
∴△AGF≌△CGB（ASA），
∴FG＝BG．
8．（2022•雁塔区校级模拟）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，E为AC中点．求证：AD＝CF．
【分析】由CF∥AB得∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，再由E为AC中点，证得△ADE≌△CFE（AAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，
∵E为AC中点．
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF．
9．（2022春•郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．
（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【分析】（1）①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；
②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；
（2）根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．
【解答】（1）证明：①在△ABD与△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
②由①得，△ABD≌△ECB，
∴∠ADB＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
10．（2022春•二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．
（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．
【分析】（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，即可证明△ADE≌△AFE；
（2）证明△ECB≌△EFB，可得BF＝BC．再由AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，即可得AB的长．
【解答】解：（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，△ADE≌△AFE，理由如下：
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，
在△AFE与△ADE中，
，
∴△AFE≌△ADE（SAS）；
（2）BF＝BC，理由如下：
∵△AFE≌△ADE，
∴∠D＝∠AFE，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ECB与△EFB中，
，
∴△ECB≌△EFB（AAS），
∴BF＝BC；
∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，
∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．
11．（2022•前进区一模）已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
【分析】（1）延长AD、EF交于点G，根据角平分线可得∠BAD＝∠CAD，再由平行线性质可得∠G＝∠BAD，等量代换可得∠G＝∠CAD，利用等角对等边可得：FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论；
（2）如图2，延长AD、EF交于点G，运用角平分线和平行线证得FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论；
（3）如图3，延长AD交EF于点G，运用角平分线和平行线证得FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论．
【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG+EF＝AF+EF，
∴AF+EF＝AB；
（2）结论：AF﹣EF＝AB．
证明：如图②，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，
∴AF﹣EF＝AB；
（3）结论：EF﹣AF＝AB．
证明：如图③，延长AD交EF于点G，
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠AGF＝∠PAD，
∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（ASA），
∴AB＝GE，
∵EF﹣FG＝GE，
∴EF﹣AF＝AB；
考点三 全等三角形的性质与判定的综合
【知识点睛】
全等三角形的性质与判定常常一起考察，通常问题中判定出两三角形全等之后，紧跟着就要用到全等三角形的性质
【类题训练】
1．（2021秋•江州区期末）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
【分析】作辅助线（延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE＝AC＝5；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE．则AE＝8，
∵AD是边BC上的中线，D是中点，
∴BD＝CD；
又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，∴△BDE≌△ADC，
∴BE＝AC＝5；
由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选：B．
2．（2021秋•虎林市期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
3．（2022春•铁岭期中）如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据等边三角形性质得出∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，证出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD＝∠CBE，根据三角形外角性质得出∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°．
故选：C．
4．（2021秋•南平期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
5．（2021春•宁波期末）如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ）
A．长方形AEFD B．长方形BEGH C．正方形CFGH D．长方形BCFE
【分析】根据矩形的性质得到S△GDF＝S△BGE，所以S阴影＝S矩形BCFE．
【解答】解：如图所示：在△GDF与△BGE中，
，
∴△GDF≌△BGE（SAS）．
∴S△GDF＝S△BEG，
则S阴影＝S△EFB＝S矩形BCFE．
所以只要知道长方形BCFE的面积即可求得答案．
故选：D．
6．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：B．
7．（2021秋•勃利县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 55° ．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
8．（2021秋•高州市期末）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠ACB＝∠FCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠FCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
第2讲 全等三角形的性质与判定专题探究
考点一 全等三角形的性质及其应用
【知识点睛】
v 全等三角形的对应边相等，对应角相等
v 推论：全等三角形等边边上的高线、中线、对应角的角平分线分别相等
全等三角形的面积和周长也分别相等
【类题训练】
1．（2021秋•泗阳县期末）若△ABC≌△DEF，且∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
故选：C．
2．（2022•张店区一模）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠BCE的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
【分析】根据全等三角形的性质可得CE＝CB，进一步可得∠CEB＝∠B＝70°，再根据三角形内角和定理即可求出∠BCE的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴CE＝CB，
∵∠B＝70°，
∴∠CEB＝70°，
∴∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：B．
3．（2021秋•澄城县期末）如图．点 D、E在BC上，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，则BD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】由全等三角形的性质可得BE＝CD，然后求得CD的长，从而求得BD的长即可求解．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD，
∴BE+CD＝BC+DE＝14，
∴2CD＝14，
∴CD＝7，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣7＝3，
故选：D．
4．（2021秋•凉山州期末）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，
故A、B、C正确；
AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．
故选：D．
5．（2019秋•东台市期末）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2 B．2或 C．或 D．2或或
【分析】首先根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC与△DEF全等，
∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，
解得：x＝2，
故选：A．
6．（2021秋•信都区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（ ）
A．100° B．90° C．60° D．45°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠1＝∠AEDF，再根据余角的定义可得∠EDF+∠2＝90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
【解答】解：在△ABC和△FDE中，
，
∴△ABC≌△FDE（SAS），
∴∠1＝∠EDF，
∵∠EDF+∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
故选：B．
7．（2021秋•鄂州期末）如图是由边长相等的小正方形组成的网格，则∠1+∠2+∠3的大小为 135 （度）．
【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【解答】解：∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135．
8．（2022•渠县校级开学）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD＝0.5，BC＝1，则AF＝ 6 ．
【分析】由图形知，所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6．
【解答】解：由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6，
故答案为：6．
9．（2021秋•单县期末）如图，△ABD≌△EBC，则下列结论中：
①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；
正确的有 ①②③ （只填序号）．
【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，
∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，
∴∠ABD＝∠EBC＝90°，
∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，
∴∠BAE+∠BCD＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴CD⊥AE，故①正确；
∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，
∴∠BAD+∠ECB＝90°，
∴∠ANC＝90°，
∴AD⊥CE，故②正确；
∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，
∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，
∠ADB＝∠ECB，
∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；
故答案为：①②③．
10．（2021秋•绥棱县期末）如图，已知△ABC≌△EDF，点F，A，D在同一条直线上，AD是∠BAC的平分线，∠EDA＝20°，∠F＝60°，则∠DAC的度数是 50° ．
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠EDF，∠C＝∠F，根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出即可．
【解答】解：∵△ABC≌△EDF，
∴∠B＝∠EDF，∠C＝∠F，
∵∠EDA＝20°，∠F＝60°，
∴∠B＝20°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝BAC＝50°，
故答案为：50°．
11．（2018秋•沙坪坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，线段BC的延长线过点E，与线段AD交于点F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，则∠DEF的度数 30° ．
【分析】由△ACB的内角和定理求得∠CAB＝25°；然后由全等三角形的对应角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．则结合已知条件易求∠EAB的度数；最后利用△AEB的内角和是180度和图形来求∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB＝25°．
又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°，
∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°，
∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°．
故答案为：30°
12．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为 48 ．
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故答案为48．
13．（2022•珠海二模）如图，△ABE≌△DCE，点E在线段AD上，点F在CD延长线上，∠F＝∠A，求证：AD∥BF．
【分析】根据△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，两直线平行证得结论．
【解答】证明：∵△ABE≌△DCE，
∴∠A＝∠ADC，
∵∠F＝∠A，
∴∠F＝∠EDC，
∴AD∥BF．
14．（2021春•宏伟区期中）∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三点共线．试说明：∠ACE＝90°．
【分析】根据Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA＝∠CED，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CED+∠ECD＝90°，进而得到∠BCA+∠ECD＝90°，再根据角之间的关系可得∠ACE＝90°．
【解答】证明：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴∠BCA＝∠CED，
∵△DCE是直角三角形，
∴∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠BCA+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°．
15．（2020秋•西湖区校级月考）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．
【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，则可计算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠EAB＝120°，
∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，
∵∠CAD＝10°，
∴∠BAC＝（120°﹣10°）＝55°，
∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，
∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；
∵∠DFB＝∠D+∠DGB，
∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．
考点二 全等三角形的判定及选择
【知识点睛】
v 全等三角形的判定的书写步骤：
①.推导条件；②罗列条件；③得到全等
v 全等三角形的判定方法
v 全等三角形判定方法的选择：
简写
选择证明条件
判定方法
已知两组对应边相等
夹角相等
SAS
第三边相等
SSS
已知一角和相邻一边
对应相等
相等边的对角相等
AAS
相等边的邻角相等
ASA
已知两角对应相等
夹边相等
ASA
其中一个等角的对边相等
AAS
v 特别注意：
1. 几何题目中，注意隐含条件的充分利用（如平角=180°、对顶角相等、三角形内角和为180°、公共边、公共角等）
2. 全等三角形的判定问题中，牢记两句话：
证边相等，就证它们所在的三角形全等；证角相等，就证它们所在的三角形全等
【类题训练】
1．（2021秋•湖州期末）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
2．（2022•河源模拟）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，根据BF＝CE求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
A．∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，
即BC＝EF，
BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（2021秋•武冈市期末）如图，一块玻璃碎成三片，小智只带了第③块去玻璃店，就能配一块一模一样的玻璃，你能用三角形的知识解释，这是为什么？（ ）
A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：A．
4．（2021•渭南模拟）如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于（ ）
A．148° B．140° C．135° D．128°
【分析】证明△ABC≌△EDB（SAS），求出∠A＝∠E＝43°，求出∠ADE，则答案可求出．
【解答】解：∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C，
∴△ABC≌△EDB（SAS），
∴∠A＝∠E，
∵∠DBE＝62°，∠BDE＝75°，
∴∠E＝180°﹣62°﹣75°＝43°，
∴∠A＝43°，
∵∠BDE+∠ADE＝180°，
∴∠ADE＝105°，
∴∠AFE＝∠ADE+∠A＝105°+43°＝148°．
故选：A．
5．（2021秋•玉屏县期末）如图，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据平行线的性质得出∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，求出∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，再根据全等三角形的判定定理SAS推出△ADC≌△BCD，根据全等三角形的性质定理得出AC＝BD，∠A＝∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出△ADM≌△BCM，根据全等三角形的性质得出DM＝CM，求出DN＝CN，再根据全等三角形的判定定理SSS得出△MDN≌△MCN即可．
【解答】解：∵AD∥MN∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，
∵∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，
在△ADC和△BCD中，
，
∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴AC＝BD，∠A＝∠B，
在△ADM和△BCM中，
，
∴△ADM≌△BCM（AAS），
∴DM＝CM，
∵MN⊥DC，
∴DN＝CN，
在△MDN和△MCN中，
，
∴△MDN≌△MCN（SSS），
即全等三角形有3对，
故选：C．
6．（2022春•历下区期中）如图，小明想测量池塘两端A，B间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识，用了这样一个间接测量A，B间的距离方法：在地上取一点可以直接到达A点和B点的点C，测得AC长20m，BC长为20m，在AC的延长线上找一点D，使得CD长为20m，在BC的延长线上找一点E，使得CE长为20m，又测得此时D和E的距离为25m，根据小明的数据，可知A，B之间的距离为 25 m．
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB，
∵DE＝25m，
∴AB＝25m．
故答案为：25．
7．（2022•长安区二模）已知：如图，在△ABC中，三角形的两条高AH，CG交于点F，且AG＝CG，求证：GF＝GB．
【分析】由“ASA”可证△AGF≌△CGB，可得GF＝GB．
【解答】证明：∵三角形的两条高AH，CG交于点F，
∴∠AGC＝∠AHB＝90°，
∴∠B+∠BAH＝90°＝∠B+∠BCG，
∴∠BAH＝∠BCG，
在△AGF和△CGB中，
，
∴△AGF≌△CGB（ASA），
∴FG＝BG．
8．（2022•雁塔区校级模拟）如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，E为AC中点．求证：AD＝CF．
【分析】由CF∥AB得∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，再由E为AC中点，证得△ADE≌△CFE（AAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵CF∥AB，
∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF，
∵E为AC中点．
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF．
9．（2022春•郫都区校级期中）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．
（1）证明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【分析】（1）①由AAS证明△ABD与△ECB全等即可；
②根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可；
（2）根据△ABD与△ECB全等的性质解答即可．
【解答】（1）证明：①在△ABD与△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（AAS）；
②由①得，△ABD≌△ECB，
∴∠ADB＝∠EBC，
∴AD∥BC；
（2）解：∵△ABD≌△ECB，
∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，
∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．
10．（2022春•二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．
（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？
（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．
【分析】（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，即可证明△ADE≌△AFE；
（2）证明△ECB≌△EFB，可得BF＝BC．再由AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，即可得AB的长．
【解答】解：（1）当点F运动到离点A为4cm（即AF＝AD＝4cm）时，△ADE≌△AFE，理由如下：
∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，
在△AFE与△ADE中，
，
∴△AFE≌△ADE（SAS）；
（2）BF＝BC，理由如下：
∵△AFE≌△ADE，
∴∠D＝∠AFE，
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠BFE＝180°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ECB与△EFB中，
，
∴△ECB≌△EFB（AAS），
∴BF＝BC；
∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，
∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．
11．（2022•前进区一模）已知：AD是△ABC的角平分线，点E为直线BC上一点，BD＝DE，过点E作EF∥AB交直线AC于点F，当点F在边AC的延长线上时，如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上，如图②；当点F在边AC的延长线上，AD是△ABC的外角平分线时，如图③．写出AF、EF与AB的数量关系，并对图②进行证明．
【分析】（1）延长AD、EF交于点G，根据角平分线可得∠BAD＝∠CAD，再由平行线性质可得∠G＝∠BAD，等量代换可得∠G＝∠CAD，利用等角对等边可得：FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论；
（2）如图2，延长AD、EF交于点G，运用角平分线和平行线证得FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论；
（3）如图3，延长AD交EF于点G，运用角平分线和平行线证得FG＝AF，再证明△ABD≌△GED（AAS），即可证得结论．
【解答】（1）证明：如图①，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG+EF＝AF+EF，
∴AF+EF＝AB；
（2）结论：AF﹣EF＝AB．
证明：如图②，延长AD、EF交于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠G＝∠BAD，
∴∠G＝∠CAD，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（AAS），
∴AB＝GE，
∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，
∴AF﹣EF＝AB；
（3）结论：EF﹣AF＝AB．
证明：如图③，延长AD交EF于点G，
∵AD平分∠PAC，
∴∠PAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠AGF＝∠PAD，
∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，
∴FG＝AF，
在△ABD和△GED中，
，
∴△ABD≌△GED（ASA），
∴AB＝GE，
∵EF﹣FG＝GE，
∴EF﹣AF＝AB；
考点三 全等三角形的性质与判定的综合
【知识点睛】
全等三角形的性质与判定常常一起考察，通常问题中判定出两三角形全等之后，紧跟着就要用到全等三角形的性质
【类题训练】
1．（2021秋•江州区期末）在△ABC中，AC＝5，中线AD＝4，那么边AB的取值范围为（ ）
A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13
【分析】作辅助线（延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE）构建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的对应边相等知BE＝AC＝5；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得AB的取值范围．
【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD＝4，连接BE．则AE＝8，
∵AD是边BC上的中线，D是中点，
∴BD＝CD；
又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，∴△BDE≌△ADC，
∴BE＝AC＝5；
由三角形三边关系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，
即8﹣5＜AB＜8+5，
∴3＜AB＜13；
故选：B．
2．（2021秋•虎林市期末）如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE、下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
3．（2022春•铁岭期中）如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【分析】根据等边三角形性质得出∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，证出△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD＝∠CBE，根据三角形外角性质得出∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°．
故选：C．
4．（2021秋•南平期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
④利用周角减去两个直角可得答案．
【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，本选项正确；
②∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABD+∠DBC＝45°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，本选项正确；
③∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE，本选项正确；
④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此选项正确，
故选：D．
5．（2021春•宁波期末）如图，正方形ABCD被分割成2个长方形和1个正方形，要求图中阴影部分的面积，只要知道下列图形的面积是（ ）
A．长方形AEFD B．长方形BEGH C．正方形CFGH D．长方形BCFE
【分析】根据矩形的性质得到S△GDF＝S△BGE，所以S阴影＝S矩形BCFE．
【解答】解：如图所示：在△GDF与△BGE中，
，
∴△GDF≌△BGE（SAS）．
∴S△GDF＝S△BEG，
则S阴影＝S△EFB＝S矩形BCFE．
所以只要知道长方形BCFE的面积即可求得答案．
故选：D．
6．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，则CH的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】先根据△AEH的面积算出AE的长度，再根据全等三角形的知识算出CE的长度，由CE﹣HE即可求出CH的长度．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴，
∴AE＝4，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
又∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠EAH＝∠ECB，
在△BEC和△HEA中，
，
∴△BEC≌△HEA（AAS），
∴AE＝CE＝4，
∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，
故选：B．
7．（2021秋•勃利县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝ 55° ．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
8．（2021秋•高州市期末）如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得出∠ACB＝∠FCE，再根据全等三角形的判定与性质解答即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠FCE，进而利用直角三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
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