【重难点讲义】浙教版数学八年级上册-第04讲 全等三角形常见辅助线专题探究

第4讲  全等三角形常见辅助线专题探究

类型一  倍长中线——构全等

【知识点睛】

        倍长中线辅助线方法规律总结

        倍长中线模型的变形——“倍长中线类”模型：

【类题训练】

1．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 　         　．

2．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

3．如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 　   　．

4．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；

（2）探究应用：

如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．

5．【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：

（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　  　．

A．SSS      B．SAS      C．AAS        D．HL

（2）求得AD的取值范围是　  　．

A．6＜AD＜8   B．6≤AD≤8  C．1＜AD＜7  D．1≤AD≤7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．

【问题解决】

（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．

6．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），

①延长AD到M，使得DM＝AD；

②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；

③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　  　；

方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．

（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．

（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．

类型二  截长补短——造全等

【知识点睛】

        截长补短辅助线方法规律总结

总结：因为截长补短常得线段相等，所以截长补短经常用于证明三条线段间的数量关系，如AD=BC+EF

【类题训练】

7．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点（不与A，D重合），则AB﹣AC　   　PB﹣PC（填“＞”、“＜”或“＝”）．

8．问题背景：

如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

解法探究：小明同学通过思考，得到了如下的解决方法．

延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而可得结论．

（1）请先写出小明得出的结论，并在小明的解决方法的提示下，写出所得结论的理由．

解：线段BE、EF、FD之间的数量关系是：

理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．（以下过程请同学们完整解答）

（2）拓展延伸：

如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，若∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF＝∠BAD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请再把结论写一写；若不成立，请直接写出你为成立的结论．

9．如图，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于点P．

（1）求∠APC的度数；

（2）若AE＝3，CD＝4，求线段AC的长．

10．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在边AC的延长线上，且DA＝DE．

（1）求证：∠BAD＝∠EDC：

（2）用等式表示线段CD，CE，AB之间的数量关系，并证明．

11．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：CD＝2BF+DE．

类型三  整体旋转—共线—再全等

【知识点睛】

        整体旋转三角形得全等辅助线方法规律总结

【类题训练】

9．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积 　  　．

10．已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．

（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：　        　；

（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；

11．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

12．如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'，连接PP'，BP'．

（1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明；

（2）当∠BPC＝120°时，

①直接写出∠P'BP的度数为 　    　；

②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

类型四  连接线段——得全等

【知识点睛】

        连接线段得△全等辅助线方法规律总结

【类题训练】

13．如图，已知：，，，，则（   ）

A． B． C．或 D．

14．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

【课后综合练习】

1．[方法呈现]

（1）如图①，△ABC中，AD为中线，已知AB＝3，AC＝5，求中线AD长的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，则易证△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，则可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，从而可得中线AD长的取值范围是　     　．

[探究应用]

（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系，并写出完整的证明过程．

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

2．阅读理解

（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？　

　        （S表示面积）；

应用拓展

（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；

解决问题

（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过D点的直线，将这块试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．

3．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点．请你利用该图形在ON上找一点C，使△COB≌△AOB，请在图①画出图形．参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，在（2）中所得结论是否仍然成立？请你直接作出判断，不必说明理由．

4．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题

(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°，

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为          ，数量关系为         ．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．

5．如图，已知在四边形ABCD中，BD是的平分线，．2 求证：．

6．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．