【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-期中期末复习常见考题专练01

这是一份【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-期中期末复习常见考题专练01，文件包含重难点讲义浙教版数学八年级下册-期中期末复习常见考题专练01原卷版docx、重难点讲义浙教版数学八年级下册-期中期末复习常见考题专练01解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。

期中期末复习常见考题专练
（复习范围：八下第1-6单元）
一．二次根式有意义的条件
1．要使式子有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞﹣2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，a+2≥0，a≠0，
解得，a≥﹣2且 a≠0，
故选：D．
二．最简二次根式
2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
三．一元二次方程的定义
3．下列方程中是一元二次方程的是（　　）
A．2（x+1）＝3 B．y2+x＝0
C．x2+4＝0 D．（x﹣2）2﹣x2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是一元二次方程，故C符合题意；
D、是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：C．
四．统计量
4．一组数据按从小到大排列为2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为9，则x是（　　）
A．7 B．9 C．12 D．13
【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值．
【解答】解：由题意得，（6+x）÷2＝9，
解得：x＝12，
故选：C．
五．一元二次方程相关
5．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴，
解得：m≥且m≠1．
故选：D．
6．某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程（　　）

A．x（81﹣4x）＝440 B．x（78﹣2x）＝440
C．x（84﹣2x）＝440 D．x（84﹣4x）＝440
【分析】设仓库的宽为x米（AB＝x米），由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为（84﹣4x）米，再根据矩形的面积公式即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设仓库的宽为x米（AB＝x米），则仓库的长为（84﹣4x）米，
根据题意得：x（84﹣4x）＝440．
故选：D．
7．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜﹣1＜x2，那么实数a的取值范围是 　0＜a＜　．
【分析】由方程有两个不相等的实数根利用根的判别式Δ＞0，可得出a的取值范围，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣，x1x2＝9，由x1＜﹣1＜x2可得出（x1+1）（x2+1）＜0，展开代入后可得出a的不等式，解之即可求出a取值范围．
【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（a+2）2﹣4a×9a＝﹣35a2+4a+4＞0，
解得：﹣＜a＜，
∵x1+x2＝﹣，x1x2＝9，x1＜﹣1＜x2，
∴x1+1＜0，x2+1＞0，
∴（x1+1）（x2+1）＜0，
∴x1x2+（x1+x2）+1＜0，
即9﹣+1＜0，
当a＜0时，解得a＞（舍去）；
当a＞0时，解得0＜a＜，
又∵﹣＜a＜，
∴a的取值范围为0＜a＜．
故答案为：0＜a＜．
六．多边形内角和公式
8．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是　7　．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7．
故答案为：7．
七．中心对称
9．为响应成都市号召，2022年3月1日，石室联合中学全面推行生活垃圾分类刚好一周年．下列校园中常见的垃圾分类图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
八．平行四边形的性质和判定
10．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C（4，0），B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过（　　）秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分．

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：C．

11．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD
C．AB∥CD，OB＝OD D．AB＝CD，OA＝OC
【分析】根据题意画出图形，然后根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可．
【解答】解：如图，

A．∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B．∵∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C．∵AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO≌△CDO，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
D．AB＝CD，OA＝OC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
九．反证法
12．用反证法证明“a＞b”时应假设（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：a，b的大小关系有a＞b，a＜b，a＝b三种情况，因而a＞b的反面是a≤b．
因此用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．
故选：D．
13．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
14．用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（　　）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个
B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个
D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【解答】解：用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设多边形的内角中锐角的个数最少有4个，
故选：A．
15．利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，应假设（　　）
A．四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B．四边形中所有内角都是锐角
C．四边形的每一个内角都是钝角或直角
D．四边形中所有内角都是直角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中所有内角都是锐角．
故选：B．
十．特殊平行四边形
16．如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】过E作EG⊥FG于G，由七巧板和正方形的性质可知，EG＝1，FG＝1+4＝5，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，过E作EG⊥FG于G，

由七巧板和正方形的性质可知：EG＝1，FG＝1+4＝5，
在Rt△FEG中，由勾股定理得，EF＝＝，
故选：A．
17．点M（2，﹣4）、N关于原点对称，则点N的坐标是 　（﹣2，4）　．
【分析】根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进而得出答案．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，﹣4的相反数是4，
∴点M（2，﹣4）关于原点的对称点的坐标为 （﹣2，4），
故答案为：（﹣2，4）．
18．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF＝　4　．

【分析】延长AE，BC交于点G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根据三线合一即可得到FE⊥AG，进而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．
【解答】解：如图，延长AE，BC交于点G，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＝∠ECG，
又∵∠AED＝∠GEC，
∴△ADE≌△GCE，
∴CG＝AD＝5，AE＝GE，
又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，
∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，
∴AF＝GF＝3+5＝8，
又∵E是AG的中点，
∴FE⊥AG，
∴Rt△AEF中，EF＝AF＝4，
故答案为：4．

19．如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC＝10．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为 　10　．

【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AB＝10，AO＝CO＝5，BO＝DO，AD∥BC，利用勾股定理可求BO的长，通过证明四边形EGBD是平行四边形，可得BD＝EG＝10，即可求解．
【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，周长为40，
∴AC⊥BD，AB＝10，AO＝CO＝5，BO＝DO，AD∥BC，
∴BO＝，
∴BD＝10，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴GE∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形EGBD是平行四边形，
∴BD＝EG＝10，
故答案为：10．
20．如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为EF的中点．P为线段AD上一点，AP＝1，连接PM．当△PMF为直角三角形时，则AE的长为 　或10　．

【分析】分当∠PMF＝90°，当∠MPF＝90°两种情况讨论，根据正方形的性质，勾股定理即可求解．
【解答】解：如图1所示，当∠PMF＝90°时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBE＝∠CDF＝90°，BC＝DC，
∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCD＝∠DCF
∴△CBE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∵EM＝MF，PM⊥EF，
∴PE＝PF，
设AE＝x，则BE＝DF＝6﹣x，
∵PA＝1，
∴PE＝PF＝5+6﹣x＝11﹣x，
在Rt△PAE中，∵PE2＝AE2+PA2，
∴（11﹣x）2＝x2+12，
∴x＝，
∴AE＝．
如图2所示，当∠MPF＝90°．连接AM，
∵∠A＝∠MPF＝90°，
∴MP∥AE，
∴MP⊥AF
∵ME＝MF，
∴MA＝MF
∴PA＝PF＝1，
∴DF＝BE＝4，
∴AE＝AB+BE＝10，
综上所述，AE的值为或10．

21．如图1是一种可折叠手机平板支架，由托板、支撑板和底座组成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板上放置的手机长AB为16cm托板厚度忽略不计），支撑板长CD为10cm，托板固定在文撑板顶端点C处，且可绕点C转动，支撑板CD可绕D转动．为了观看舒适，把托板上的手机AB随点C旋转，再将CD随点D旋转．使底座DE和支撑板CD所成的角为60°（如图3），若连结BE，BD时，恰好发现∠EBD＝∠CBD＝60°，BE＝2cm，则A点与点C的距离为 　（17﹣）　cm．

【分析】由“AAS”可证△BHD≌△BND，可得DH＝DN，BH＝BN，由“ASA”可证△CDH≌△EDN，可得CH＝EN，CD＝ED＝10，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥直线BE于N，

∴∠DHB＝∠DNB＝90°，
在△BHD和△BND中，
，
∴△BHD≌△BND（AAS），
∴DH＝DN，BH＝BN，
∵∠DHB＝∠DNB＝90°，∠EBD＝∠CBD＝60°，
∴∠HDN＝∠CDE＝60°，
∴∠CDH＝∠EDN，
在△CDH和△EDN中，
，
∴△CDH≌△EDN（ASA），
∴CH＝EN，CD＝ED＝10cm，
∵∠DBN＝60°，DN⊥BN，
∴∠BDN＝30°，
∴DN＝BN，
∵DE2＝DN2+EN2，
∴100＝3BN2+（BN﹣2）2，
∴BN＝cm（负值舍去），
∴BH＝BN＝cm，EN＝CH＝cm，
∴AC＝AB﹣CH﹣BH＝（17﹣）cm，
故答案为：（17﹣）．
十一．反比例函数的性质与坐标特征
22．如图，等腰三角形△ABC的顶点A在原点固定，且始终有AC＝BC，当顶点C在函数y＝（x＞0）的图象上从上到下运动时，顶点B在x轴的正半轴上移动，则△ABC的面积大小变化情况是（　　）

A．先减小后增大 B．先增大后减小
C．一直不变 D．先增大后不变
【分析】根据三角形ABC的面积是点C的横坐标与纵坐标的乘积除以2，和点C在函数y＝（x＞0）的图象上，可以解答本题．
【解答】解：∵等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y＝（x＞0）的图象上运动，且AC＝BC，设点C的坐标为（x，），
∴S△ABC＝×2x×＝k，
即△ABC的面积不变．
故选：C．
23．已知一次函数y＝x+b与反比例函数y＝中，x与y的对应值如下表：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
…
y＝+b
…
﹣1
﹣
0


2

…
y＝
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣4
4
2

…
则不等式x+b＜的解集为 　x＜﹣4或0＜x＜2　．
【分析】由表得出直线和双曲线的交点，画出直线和双曲线的大致图象，由x+b＜知反比例函数图象在一次函数图象上方，结合图象可得答案．
【解答】解：由表可得一次函数y＝x+b与反比例函数y＝图象交点坐标为（﹣4，﹣1）和（2，2），如图，

所以当x＜﹣4或0＜x＜1时，一次函数y＝x+b的值小于反比例函数y＝的值．
所以不等式x+b＜的解集为x＜﹣4或0＜x＜2，
故答案为：x＜﹣4或0＜x＜2．
24．如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A点的横坐标为1，∠BAD＝45°，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积是（　　）

A． B． C．2 D．4
【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标，设菱形的边长为a，易证得∠BAD＝∠ABH＝45°，即可得到AH＝BH＝a，则点B（1+a，2﹣a），求出AH，根据菱形的面积公式计算即可．
【解答】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，
∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点，A点的横坐标为1，
∴A（1，2），
设菱形的边长为a，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝a，
∴B（1+a，2﹣a），
∴（1+a）•（2﹣a）＝2，
∴a1＝，a2＝0（舍去），
∴AH＝×＝1，
∴菱形ABCD的面积＝BC×AH＝＝，
故选：A．

25．如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上有一点C，作AC∥x轴，BC∥y轴，交函数y＝（k＞2）图象上点A，B，且BC＝，AC＝，则k＝　4　．

【分析】设C（x，y），由BC＝，AC＝，则xA＝x+，yA＝y，然后根据k＝xB•yB＝xA•yA建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数y＝（x＞0），即可求出C的坐标，代入k＝xB•yB＝xA•yA即可求得k的值．
【解答】解：设C（x，y），
则xA＝x+，yA＝y，
xB＝x，yB＝y+，
∵xB•yB＝xA•yA，
∴k＝x（y+）＝（x+）y，
∴x＝y，
又∵xy＝2，
∴y2＝2，
∴y＝，
∴x＝，
∴k＝（+）＝4，
故答案为：4．
十二．反比例函数的K值与面积的关系
26．如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD＝2，S△AOC＝5，则点C的坐标是 　（6，2）　．

【分析】根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，AB＝3．BD＝2，即可求得A的坐标（，3），C的坐标（+2，），关键是根据面积列出关于m的方程，求出m，即可求得C的坐标．
【解答】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且AB＝3，
则B的坐标为（，0），则D的坐标为（+2，0）
∴C（+2，），
∵S△AOC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD＝5，
又∵S△AOB＝S△OCD，
∴S梯形ABDC＝5，
∴（3+）×＝5，
∴m＝12，
∴C的坐标为（6，2）
故答案为：（6，2）．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB＝EF．反比例函数的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为 　12　．

【分析】设B（a，b），证明△CMO≌△EMF（AAS），根据S阴影＝S△EFM+SAOMB，等量代换后得出ab＝6，从而求出k．
【解答】解：如图：OF与CB交于点M，

设B（a，b），
∵AB＝EF＝b，
在矩形OABC和矩形DEFG中
CO＝BA，∠OCB＝∠FEC＝90°，
∵∠CMO＝∠FMB，
∴△CMO≌△EMF（AAS），
∵S阴影＝S△EFM+SAOMB
＝S△CMO+S△OMB
＝S△OCB
＝ab
∴ab＝6，
∴ab＝12，
∴k＝12；
故答案为：12．
十三．一元二次方程的应用
28．已知：关于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0．
（1）若x＝﹣1是该方程的一个根，求k的值；
（2）求证：无论k取何值，方程都有实根；
（3）若方程的两个实根均为正整数，求整数k的值．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（2）根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算根的判别式得到Δ＝（2k﹣3）2，然后根据非负数的性质，即k的取值得到Δ≥0，则可根据判别式的意义得到结论；
（3）求出方程的根，方程的两个实根均为正整数，求出k的值．
【解答】（1）解：把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k＝．
故k的值是；
（2）证明：当k≠0时，
∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴Δ＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∴Δ＝（2k﹣3）2≥0，
当k＝0时，3x﹣3＝0，
解得x＝1．
∴无论k取何值，方程都有实根；
（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵运用公式法解方程可知道此方程的根为x＝＝，
∴此方程的两个根分别为x1＝1，x2＝3﹣，
∵方程的两个实根均为正整数，
∴k＝﹣3或﹣1或3．
29．2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．成为“脱贫胜利年”．技术扶贫也使得某县的一个电子公司扭亏为盈，该公司的显卡厂2019年电脑A型显卡的成本是100元/个，2020年与2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年A型电脑显卡的成本降低到81元/个．
（1）求这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率；
（2）公司电商销售平台以高于成本价10%的价格购进A型电脑显卡，以117.1元/个销售时，平均每天可销售20个．为增加销量，销售平台决定降价销售，经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天要保持盈利720元，试求单价应降低多少元？
【分析】（1）设平均下降率为x，利用2021年该类电脑显卡的出厂价＝2019年该类电脑显卡的出厂价×（1﹣下降率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（28﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，利用每天销售该电脑显卡获得的利润＝每个的销售利润×日销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率为x，
依题意，得100（1﹣x）2＝81．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：平均下降率为10%．
（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（117.1﹣m﹣81×110%）＝（28﹣m）元，每天可售出（20+2m）个，
依题意得：（28﹣m）（20+2m）＝720．
整理，得m2﹣18m+80＝0．
解得m1＝10，m2＝8．
∵为了增加销量，
∴m＝10，
答：单价应降低10元．
十四．反比例函数综合题
30．如图一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2，5）和点B（n，2）．
（1）求m，n的值；
（2）连接OA，OB，求△OAB的面积．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用待定系数法求得一次函数的解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC求得即可．
【解答】解：（1）把A（2，5）代入中，得到m＝10，
∴反比例函数的解析式为y＝，
把B（n，2）代入y＝中，得到n＝5．
（2）∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（2，5）和点B（5，2）．
∴，解得，
∴一次函数为y＝﹣x+7，
令y＝0，则﹣x+7＝0，解得x＝7，
∴C（7，0），
∴S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC＝﹣＝．

31．矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．


【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值．
【解答】解：（1）①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E（8，1），
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y＝；
②当y＝4时，x＝2，
∴F（2，4），
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴OG＝；
（2）∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4﹣＝﹣m2+4m+16＝﹣（m﹣2）2+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
32．定义：在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2），x1≠x2，y1≠y2，且点M，N在同一象限，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为点G，F，若|y1|＞|y2|，则过点M作y轴的垂线，交直线NF于点E，如图1．我们称矩形MEFG为过点M，N的伴随矩形．
已知：如图2，点A（1，3），点B是反比例函数图象上的两点．
（1）求k的值．
（2）若过点A，B的伴随矩形是正方形，求点B的坐标．
（3）若过点A，B的伴随矩形的面积是3，求点B的坐标．

【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式中，求解即可求出答案；
（2）分两种情况：利用伴随矩形是正方形得出|m﹣1|＝3或|﹣1|＝，解方程即可求出答案；
（3）分两种情况：过点A，B的伴随矩形的面积是3，得出3•|n﹣1|＝3或•|n﹣1|＝3，解方程即可求出答案．
【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×3＝3；

（2）由（1）知，k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设点B（m，）（m＞0），
①当＜3，即m＞1时，
∵过点A，B的伴随矩形是正方形，
∴|1﹣m|＝3，
∴m＝﹣2（舍去）或m＝3
∴B（4，）；
②当＞3，即m＜1时，
∵过点A，B的伴随矩形是正方形，
∴|m﹣1|＝，
∴m＞1或m＝＜0，不符合题意，
即点B（4，）；

（3）由（1）知，k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
设点B（n，）（n＞0），
①当＜3，即n＞1时，
∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，
∴3•|n﹣1|＝3，
∴n＝0（舍去）或n＝2，
∴B（2，）；
②当＞3，即n＜1时，
∵过点A，B的伴随矩形的面积是3，
∴•|n﹣1|＝3，
∴n＝，
∴B（，6）；
即点B的坐标为（2，）或（，6）．
十五．四边形网格画图
33．规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在10×6的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．

（1）在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积等于8．
（2）在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的周长为无理数．
【分析】（1）以AB为边，作出一个底为2，高为4的平行四边形即可．
（2）根据矩形的性质以及无理数的定义作图即可．
【解答】解：（1）如图甲，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图乙，矩形AEBF即为所求（答案不唯一）．

34．图1，图2，图3，图4是四张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，A，C两点都在格点上，连结AC，请完成下列作图：

（1）以AC为对角线在图1中作一个正方形，且正方形各顶点均在格点上．
（2）以AC为对角线在图2中作一个矩形，使得矩形面积为6，且矩形各顶点均在格点上．
（3）以AC为对角线在图3和图4中分别作出一个面积为8的平行四边形（不含矩形），且平行四边形顶点在格点上．
【分析】（1）根据正方形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
（2）根据矩形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
（3）根据平行四边形的判定与性质，结合网格特点作图即可．
【解答】解：（1）如图所示的正方形即为所求．

（2）如图所示的矩形即为所求．

（3）如图所示的平行四边形即为所求．

十六．四边形新定义问题
35．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝120°，∠C＝150°，∠D＝30°，AB＝BC＝2，则AD＝　4　；CD＝　2　．
（2）小军同学研究“准筝形”时，思索这样一道题：如图2，“准筝形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的长．
小军研究后发现，可以CD为边向外作等边三角形，构造手拉手全等模型，用转化的思想来求AC．请你按照小军的思路求AC的长．
（3）如图3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积．

【分析】（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，从而得到AC和直角三角形ACD，根据∠D＝30°，继而求得CD；
（2）以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，证△ADC≌△BDE得AC＝BE，求出∠CEF＝30°，由直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，再由勾股定理即可得出答案；
（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH＝x，求出∠BCH＝30°，由直角三角形的性质得出HC＝x，BC＝2BH＝2x，构建方程求出x，进而得出AC的长，分三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图，连接AC，

∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝2，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠ACD＝90°，
又∵∠BCD＝30°，
∴，
故答案为：；
（2）以CD为边作等边△CDE，连接BE，过点E作EF⊥BC于F，如图2所示，

则DE＝DC＝CE＝3，∠CDE＝∠DCE＝60°，
∵AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∵∠BCD＝∠DCE＝60°，
∴∠ECF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝30°，
∴，
由勾股定理得：，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：，
∴AC＝7；
（3）过点C作CH⊥AB，交AB延长线于H，设BH＝x，如图3所示，

∵∠ABC＝120°，CH⊥AH，
∴∠BCH＝30°，
∴，
∴，
又∵∠A＝45°，
∴△HAC是等腰直角三角形，
∴，
∴；
①如图4所示，

当时，
连接BD，过点C作CG⊥BD，交BD延长线于点G，过点A作AK⊥BD，
则，∠ABD＝60°，，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBG＝60°＝∠CBH，
在△CBG和△CBH中，
，
∴△CBG≌△CBH（AAS），
∴GC＝HC＝3，
在Rt△ABK中，由勾股定理得，
，
∴S△ABD＝•BD•AK＝×（3﹣）×＝，S△CBD＝•BD•CG＝×（3﹣）×＝，
∴；
②图5所示，

当时，
连接BD，作CG⊥BD于点G，AK⊥BD于K，
如图，则，
∴，，
∴；
③如图6所示，

当时，
作DM⊥AC于M，作CH⊥AB于H，
则，，
∴S△ABC＝•AB•CH＝•（3﹣）×3＝，S△ADC＝××＝+3，
综上所述，四边形ABCD的面积为或或．