【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第05讲 平行四边形单元整体分类总复习

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第5讲 平行四边形单元整体分类总复习
考点一 多边形的内角和、外角和
【知识点睛】
v n边形的内角和为，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数
v 对角线公式
从n边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形，n边形的对角线共有条
【类题训练】
1．若一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（　　）
A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），可求多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°，
∴n＝8，
即这个多边形是八边形．
故选：C．
2．若一个正n边形的内角和为1080°，则它的每个外角度数是（　　）
A．36° B．45° C．72° D．60°
【分析】根据多边形内角和公式列出方程，求出n的值，即可求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是360°，利用360°除以边数可得外角度数．
【解答】解：根据题意，可得（n﹣2）×180°＝1080°，
解得n＝8，
所以，外角的度数为360°÷8＝45°．
故选：B．
3．若一个多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），外角和是360°，由此即可计算．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝3×360°，
∴n＝8，
∴这个多边形的数是8．
故选：D．
4．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB＝57°，则∠AGD＝（　　）

A．108° B．36° C．129° D．72°
【分析】过点D作DH∥FB交于点H，根据平行线的性质先求出CDH＝57°，然后求出∠HDG＝51°，最后利用平行线的性质求得∠AGD即可．
【解答】解：过点D作DH∥FB交于点H，

∵∠CFB＝57°，
∴∠CDH＝∠CFB＝57°，
在正五边形ABCDE中，∠CDE＝108°；
∴∠HDE＝∠CDE﹣∠CDH＝108°﹣57°＝51°；
∵BF∥AG，
∴∠AGD＝180°﹣∠CDH＝180°﹣51°＝129°，
故选：C．
5．一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　）
A．增加 180° B．减少 180° C．不变 D．不变或增加 180°或减少 180°
【分析】分三种情况讨论，即可得到答案．
【解答】解：∵四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形，
∴新多边形的内角和将不变或增加 180°或减少 180°．
故选：D．
6．五边形的对角线一共有　5　条．
【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）计算．
【解答】解：五边形的对角线共有＝5；
故答案为：5
7．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10m向左转30°再沿直线前进10m，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了　120　m．

【分析】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以10m即可．
【解答】解：∵小亮每次都是沿直线前进10m后向左转30度，
∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n＝360°÷30°＝12，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120m．
故答案为：120．
考点二 平行四边形的性质
【知识点睛】
1. 平行四边形的性质定理∶
（1） 平行四边形的对边平行且相等.
（2） 平行四边形的对角相等，邻角互补.
（3） 平行四边形的对角线互相平分.
2. 利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.
【类题训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝50°，则∠A的度数是（　　）

A．130° B．115° C．65° D．50°
【分析】利用平行四边形的邻角互补和已知∠A﹣∠B＝50°，就可建立方程求出未知角．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，
又有∠A﹣∠B＝50°，
把这两个式子相加即可求出∠A＝115°，
故选：B．
2．如图，在▱ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则▱ABCD的面积为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】首先根据平行四边形的性质和面积公式，平行四边形和△ADE的高相等，即可得出平行四边形的面积．
【解答】解：设E点到AD的距离为h，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，A点到BE的距离为h．
∵△ADE的面积为2，
∴AD×h＝2，即AD×h＝4．
∴▱ABCD面积＝AD×h＝4．
故选：B．
3．在平行四边形ABCD中，∠A的角平分线把边BC分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定
【分析】设∠A的平分线交BC于点E，可证明AB＝EB，再分两种情况讨论，一是EB＝5，EC＝4，则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9；二是EB＝4，EC＝5时，则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，分别求出平行四边形ABCD的周长即可．
【解答】解：设∠A的平分线交BC于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴AB＝EB，
当EB＝5，EC＝4时，如图1，
则AB＝EB＝5，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×5+2×9＝28；
当EB＝4，EC＝5时，如图2，
则AB＝EB＝4，BC＝EB+EC＝9，
∴2AB+2BC＝2×4+2×9＝26，
∴平行四边形ABCD的周长为26或28，
故选：B．
4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝4，BD＝6，则AB的长可能是（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】由平行四边形的性质可得AO＝CO，BO＝DO，和三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝4，BD＝6
∴AO＝2，BO＝，3，
在△OAB中，3﹣2＜AB＜2+3．
故选：D．
5．下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用平行四边形的性质，根据三角形的面积和平行四边形的面积逐个进行判断，即可求解．
【解答】解：A、无法判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积一半，错误；
B、因为两阴影部分的底与平行四边形的底相等，高之和正好等于平行四边形的高，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
C、根据平行四边形的对称性，可知小阴影部分的面积等于小空白部分的面积，所以阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确；
D、因为高相等，三个底是平行四边形的底，根据三角形和平行四边形的面积可知，阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，正确．
故选：A．
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　）

A．3 B．6 C．8 D．10
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
∵∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，
∴AB＝＝3，
又∵OC＝OA，
∴CD＝DB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝1.5，
∴DE＝2OD＝3．
故选：A．
7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，若AB＝6，AD＝8，则EF的长度为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】先证明AB＝AE＝6，DC＝DF，再根据EF＝AF+DE﹣AD即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC交AD于E，CE平分∠BCD交AD于F，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠AFB，∠BCE＝∠DCE＝∠CED，
∴AB＝AF＝6，DC＝DE＝6，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣AD＝4．
故选：A．
8．如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（　　）

A．9 B．12 C．15 D．18
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，
设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，
解得：x＝3，
∴BC＝AD＝9，
故选：A．
9．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：
①OE＝OF；②图中共有4对全等三角形；③若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；
④S四边形ABFE＝S△ABC；
其中正确的结论有（　　）

A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝CO＝AC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到OE＝OF；故①正确，根据全等三角形的判定和性质得到②错误，④正确．根据三角形三边关系得到2＜BD＜14，故③正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCA，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF；故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA共6对，故②错误；
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴4﹣3＜OB＜4+3，
∴2＜BD＜14，故③正确；
∵△AEO≌△CFO，
∴S四边形ABFE＝S△ABC；
故④正确；
故选：C．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝18cm，点P在AD边上以每秒3cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时．点P运动了 　2.4或3.6　秒．

【分析】由题意可得AD∥BC，分BQ＝AP或CQ＝PD两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设点P运动了t秒，
∴CQ＝2tcm，AP＝3tcm，BQ＝（18﹣2t）cm，PD＝（12﹣3t）cm，
①当BQ＝AP时，且AD∥BC，则四边形APQB是平行四边形，
即18﹣2t＝3t，
∴t＝3.6；
②当CQ＝PD时，且AD∥BC，则四边形CQPD是平行四边形，
即2t＝12﹣3t，
∴t＝2.4，
综上所述：当直线PQ在四边形ABCD内部截出一个平行四边形时，点P运动了2.4秒或3.6秒，
故答案为：2.4或3.6．
11．如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠D＝50°，则∠BCE的度数为 　40°　．

【分析】由平行四边形的性质得出∠D＝∠B＝50°，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，
∴∠D＝∠B＝50°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
12．如图所示，在形状为平行四边形的一块地中，有一条小路EFG，现在想把它改为过点G的直路，要求小路两侧土地面积都不变，请在图中画出改动后的小路．

【分析】首先连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N，根据三角形面积关系，只要证明△EIN面积等于△GIF面积，即可解决问题．
【解答】解：连接EG，过点F作EG的平行线交BC于点N．连接GN，GN就是所取直的小路．
证明：设GN交FE于点I，
∵EG∥FN，
∴△GNF的面积等于△EFN的面积，（同底等高）．
把两个三角形面积都减去△FIN面积，
所以△EIN面积等于△GIF面积，即小路两侧土地面积都不变．

13．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝　90°　，并证明你的猜想．
（2）求平行四边形ABCD的周长．
（3）求点A到BC边的距离．

【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
（2）先利用勾股定理可得，再根据平行四边形的周长公式即可得；
（3）过点A作AE⊥BC于点E，根据S平行四边形ABCD＝BC⋅AE＝AB⋅AC即可得．
【解答】解：（1）猜想∠BAO＝90°，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝2，BD＝4，
∴，
∵，
∴OA2+AB2＝4＝OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
故答案为：90°；
（2）∵，
∴，
则平行四边形ABCD的周长为；
（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，

∵，
∴S平行四边形ABCD＝BC⋅AE＝AB⋅AC，即，
解得，
即点A到BC边的距离为．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）求证：AE平分∠DAB；
（3）若∠DAB＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由平行四边形的性质，根据AAS可判定△ADE≌△FCE；
（2）根据全等三角形的性质可得AE＝FE，根据BE⊥AF．利用线段垂直平分线的性质可得BA＝BF，进而可得结论；
（3）结合（1）根据∠DAB＝60°，AB＝4，利用30度角的直角三角形可得AE和BE的长，根据△ADE≌△FCE，可得△ADE的面积＝△FCE的面积，所以▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠EFC，
∵点E是CD边的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，
∵BE⊥AF，
∴BA＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，
∵∠DAE＝∠BFA，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴AE平分∠DAB；
（3）解：∵∠DAB＝60°，AB＝4，
∴∠DAE＝∠BAF＝30°，
∵BE⊥AF，
∴BE＝AB＝2，
∴AE＝BE＝2，
∵△ADE≌△FCE，
∴△ADE的面积＝△FCE的面积，
∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE•BE＝2×2＝4．
15．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC上以4cm/s的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）（t＞0）．
（1）当点P运动t秒时，线段PD的长度为 　（15﹣t）　cm；
当点P运动2秒时，线段BQ的长度为 　7　cm；
当点P运动5秒时，线段BQ的长度为 　5　cm；
（2）若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值．

【分析】（1）由路程＝速度×时间，可求解；
（2）分四种情况讨论，由平行四边形的性质，列出等式可求解．
【解答】解：（1）∵点P在AD上以1cm/s的速度从点A向点D运动，
∴AP＝tcm，
∴PD＝（15﹣t）cm，
当点P运动2秒时，CQ＝2×4＝8cm，
∴BQ＝15﹣8＝7cm，
当点P运动5秒时，CQ＝4×5＝20cm，
∴BQ＝20﹣15＝5cm，
故答案为：（15﹣t）；7；5；
（2）∵P在AD上运动，
∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，
∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，
已有PD∥BQ，还需满足DP＝BQ，
①当点Q的运动路线是C﹣B时，BQ＝15﹣4t，由题意得：15﹣t＝15﹣4t，t＝0 不合题意，
②当点Q的运动路线是C﹣B﹣C时，BQ＝4t﹣15，由题意得：15﹣t＝4t﹣15，解得：t＝6；
③当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B时，BQ＝45﹣4t，由题意得：15﹣t＝45﹣4t，解得：t＝10；
④当点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B–C时，BQ＝4t﹣45，由题意得：15﹣t＝4t﹣45，解得：t＝12；
综上所述，t的值为6或10或12．
考点三 平行四边形的判定
【知识点睛】
v 平行四边形的判定方法：
(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(5) 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
v 将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决平行四边形问题的常用方法。
v 在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，几何语言书写要规范。
【类题训练】
1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的有（　　）
①一组对边平行，另一组对边相等
②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
③一组对边平行，一组对角相等
④一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：①错误．这个四边形有可能是等腰梯形；
②正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形；
③正确．可证明等角的补角相等；
④错误．不可证明全等．
故选：B．
2．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）

A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
3．如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】根据平行四边形的判定作出图形，即可得到结论．
【解答】解：如图，以AB为对角线的平行四边形有11个，以AB为边的平行四边形有2个，
∴共有13个，
故选：D．

4．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），点D在第一象限内，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 　（2，2）　．
【分析】分三种情况同理：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的判定容易得出点D的坐标．
【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）；
③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）；
∵点D在第一象限内，
∴点D的坐标是（2，2）；
故答案为：（2，2）．
5．在四边形ABCD中，AD＝6cm，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　s或4s　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

【分析】分两种情形，由平行四边形的判定列出方程，即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得：t＝；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
综上所述，t＝s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：s或4s．
6．如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，AC＝AD，点E在边BC上，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，联结DE．
（1）求证：BC＝DE；
（2）当AC＝BC时，求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】（1）证△ABC≌△AED（SAS），即可得到结论；
（2）证BC＝AD＝DE，则∠EAD＝∠AED，再证∠AEB＝∠B，则∠EAD＝∠AEB，得AD∥BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC与△AED中，
．
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴BC＝DE；
（2）由（1）可知，△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠AED，BC＝DE，AC＝AD，
∵AC＝BC，
∴BC＝AD＝DE，
∴∠EAD＝∠AED，
∴∠B＝∠EAD，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
7．在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B（0，1），点E是边AB中点，把△ABO绕点A顺时针旋转，得△ADC，点O，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为α．

（1）如图①，当点D恰好在AB上时，求点D的坐标；
（2）如图②，若α＝60°时，求证：四边形OECD是平行四边形．
【分析】（1）由题意得OA＝，OB＝1，求出∠BAO＝30°，由旋转的性质得DA＝OA＝，过D作DM⊥OA于M，求出DM＝，AM＝，进而得出答案；
（2）延长OE交AC于F，证△BOE是等边三角形，得出OE＝OB，由旋转性质得DC＝OB，得出OE＝DC，再求出∠DCA＝∠OFA＝60°，证出OE∥DC即可得出结论．
【解答】（1）解：∵A（，0），点B（0，1），
∴OA＝，OB＝1，
在△AOB中，∠AOB＝90°，tan∠BAO＝，
∴∠BAO＝30°．
由旋转的性质得，DA＝OA＝，
过D作DM⊥OA于M，如图①所示：
在Rt△DAM中，DM＝AD＝，AM＝DM＝，
∴OM＝AO−AM＝，
∴D（，）；

（2）证明：延长OE交AC于F，如图②所示：
在Rt△AOB 中，点E为AB的中点，∠BAO＝30°，
∴OE＝BE＝AE，∠ABO＝60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴OE＝OB，∠BOE＝60°，
∴∠EOA＝30°，
由旋转的性质得DC＝OB，
∴OE＝DC．
∵α＝60°，
∴∠OAD＝60°，
由旋转的性质知，∠DAC＝∠OAB＝30°，∠DCA＝∠OBA＝60°，
∴∠OAC＝∠OAD+∠DAC＝90°，
∴∠OFA＝90°−∠EOA＝90°−30°＝60°，
∴∠DCA＝∠OFA，
∴OE∥DC，
∴四边形OECD是平行四边形．

考点四 平行四边形的性质与判定的综合
【知识点睛】
v 在解题的过程中，我们有时既需要用到平行四边形的判定定理，又需要用到平行四边形的性质定理，请注意正确使用，不要混淆.在进行有关计算时，还需要用到特殊三角形等其他几何知识以及数形结合的数学思想。
v 在已知条件中，若出现两线段互相平分，则可构造平行四边形，利用平行四边形的性质解题.
【类题训练】
1．刘师傅给客户加工一个平行四边形ABCD的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（　　）
A．AB∥CD，AB＝CD B．∠B＝∠D，∠A＝∠C
C．AB∥CD，AD＝BC D．AB＝CD，BC＝AD
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
B、可利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
C、不能进行判定，故此选项符合题意；
D、可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故此选项不合题意；
故选：C．
2．在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A．10° B．40° C．80° D．100°
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，再由平行线的性质得∠B+∠C＝180°，即可得出结论．
【解答】解：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°，
故选：D．

3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，AB＝9，AD＝6，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】证四边形ABCD是平行四边形，则BC＝AD＝6，再证∠BAF＝∠F，得AB＝BF＝9，即可得出结论．
【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAE＝∠F，
∴BC＝AD＝6，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠F，
∴AB＝BF＝9，
∴CF＝BF﹣BC＝9﹣6＝3，
故选：B．
4．如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【解答】解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝8，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝6，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③错误；最后求出S▱AEFD＝24，故④错误；即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，62+82＝102，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝8，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝6，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝3，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝8×3＝24，故④错误；
∴正确的个数是2个，
故选：B．

6．如图，E是▱ABCD的边AB上的点，Q是CE中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD＝3cm2，S△BQC＝7cm2，则阴影部分的面积为（　　）cm2

A．24 B．17 C．13 D．10
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ得到BE＝CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF＝S△APD＝3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵Q是CE中点，
∴EQ＝CQ，
在△BEQ和△FCQ中，
，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE＝CF，
∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF＝2S△BQC＝14cm2，
∵AB﹣BE＝CD﹣CF，
即AE＝FD，
∵AE∥FD，
∴四边形ADFE为平行四边形，
∴S△PEF＝S△APD＝3cm2，
∴阴影部分的面积＝S△BEF+S△PEF＝14+3＝17（cm2）．
故选：B．

7．如图，O是▱ABCD对角线AC上一点，过O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，连结GE，GF，HE，HF，若已知下列图形的面积，不能求出▱ABCD面积的是（　　）

A．四边形EHFG
B．△AEG和△CHF
C．四边形EBHO和四边形GOFD
D．△AEO和四边形GOFD
【分析】A、根据平行四边形的对角线平分平行四边形的面积可作判断；
B、先根据等式的性质证明S▱BEOH＝S▱GOFD，再由同底边的平行四边形的面积的比是对应高的比可作判断；
C、四边形EBHO的面积和四边形GOFD的面积相等，已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积；
D、同选项B同理可作判断．
【解答】解：A、在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四边形AEOG，BEOH，CFOH，DFOG都是平行四边形，
∴S△EOG＝S▱AEOG，S△EOH＝S▱BEOH，S△FOH＝S▱OHCF，S△FOG＝S▱OGDF，
∴四边形EHFG的面积＝×▱ABCD的面积，
∴已知四边形EHFG的面积，可求出▱ABCD的面积，
故A不符合题意；
B、∵S△ABC﹣S△AEO﹣S△CHO＝S△ACD﹣S△AOG﹣S△CFO，
∴S▱BEOH＝S▱GOFD，
∵＝，
∴S▱BEOH＝S▱OGDF＝＝2，
∴已知△AEG和△CHF的面积，可求出▱ABCD的面积，
故B不符合题意；
C、已知四边形EBHO和四边形GOFD的面积，不能求出▱ABCD面积，
故C符合题意；
D、∵＝，
∴＝，
∴S▱OHCF＝S2▱OGDF•，
∴已知△AEO和四边形GOFD的面积，能求出▱ABCD面积；
故D不符合题意；
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论：
①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　）

A．①② B．③ C．②④ D．②③④
【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解．
【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N，
∵BD＝AB，DB＜DC，
∴CD＞AB，
故①不符合题意；
∵EF∥NG∥BC，EG＝CG，
∴FN＝NB，
∵GN⊥AB，
∴FG＝GB，
故②符合题意；
∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM，
∴△AEF≌△AMF（ASA），
∴FE＝FM，
∵EG＝GC，
∴FG∥AC，
∴∠GFB＝∠CAB，
∴∠GBF＝∠EAB，
∴EA∥BG，
∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG，
∴△AED≌△BGD（ASA），
∴AE＝BG，
∴四边形AEBG是平行四边形，
故③符合题意；
∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°，
∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF，
∴∠EAC+∠FGB＝180°，
故④符合题意，
故选：D．

9．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，连接DF、EF，DE与AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：
①EF⊥AC；
②四边形ADFE为平行四边形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①连接CF，可推出AF＝CF，结合AE＝CE，可得出①正确；
②可证得AD∥BC∥EF，DF∥AE，从而得出②正确；
③AD＝AB，AB＝2AF，AF＝2AG，从而得出③正确；
④可得出∠DFB＝∠EAF＝90°，∠DBF＝∠AFE＝60°，DF＝AE，从而得出④正确．
【解答】解：如图，

连接CF，
∵∠ACB＝90°，点F是AB的中点，
∴CF＝AF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴EF⊥AC，
故①正确；
∵△ABD是等边三角形，△ACE是等边三角形，
∴∠AD＝BD，DAB＝60°，∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∵点F是AB的中点，
∴DF⊥AB，
∴∠DFA＝∠BAE＝90°，
∴DF∥AE，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，
由①知：AC⊥EF，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴AD∥EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
故②正确；
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AF＝2AG，
∵AD＝AB，AB＝2AF，
∴AD＝B＝4AG，
故③正确；
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBF＝∠AFE，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF＝AE，
∵∠DFB＝∠EAF＝90°，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
故④正确，
综上所述：①②③④均正确，故答案为：D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是 　9　．

【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴图中平行四边形有：▱ABCD，▱ABHG，▱CDGH，▱BCFE，▱ADFE，▱AGOE，▱BEOH，▱OFCH，▱OGDF共9个．
即共有9个平行四边形．
故答案为：9．
11．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中：①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有　①②③　．

【分析】连接EC，作CH⊥EF于H．首先证明△BAD≌△CAE（SAS），根据SAS可证明△ABD≌△BCF，再证明△EFC是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：连接EC，作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴CH＝，EF＝EC＝BD，
∵EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
故②正确，
∵BD＝CF＝1，BA＝BC，∠ABD＝∠BCF，
∴△ABD≌△BCF（SAS），
故①正确，
∵S平行四边形BDEF＝BD•CH＝，
故③正确，
∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1，
∴CD＝2BD，AF＝2CF，
∵S△ABD＝×1×＝，
∴S△AEF＝•S△AEC＝•S△ABD＝，
故④错误，
∴①②③都正确，
故答案为：①②③．

12．如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A，B，且点A（3，0），B（0，6），另有两点C（﹣1，4），D（﹣3，4），若点P是直线AB上的动点，点Q为y轴上的动点，要使以Q，P，C，D为顶点的四边形是平行四边形，且线段CD为平行四边形的一边，则满足条件的P点坐标为 　（2，2）或（﹣2，10）　．

【分析】先根据A，B两点求出AB的函数解析式，根据CD＝2可得出P点横坐标是2或﹣2，进而求得点P的坐标．
【解答】解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣2x+6，
∵C（﹣1，4），D（﹣3，4），
∴CD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
∵PQ∥CD，PQ＝CD＝2，
∴点P的横坐标为：2或﹣2，
当xP＝2时，y＝﹣2×2+6＝2，
∴P（2，2），
当xP＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10，
∴P（﹣2，10），
故答案为：（2，2）或（﹣2，10）．
13．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的长．

【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
（2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【解答】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝（10﹣4）＝3．

14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝OC．
（1）求证：
①△AOE≌△COF；
②四边形ABCD为平行四边形；
（2）过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度数．

【分析】（1）①由平行线的性质得出∠OAD＝∠OCB，可证明△AOE≌△COF（ASA）；
②证得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出OE＝OF，证出BE＝BF，由等腰三角形的性质得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，则可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可证△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
15．如图，在等边△ABC中，D、E两点分别在边BC、AC上，BD＝CE，以AD为边作等边△ADF，连接EF，CF．
（1）求证：△CEF为等边三角形；
（2）求证：四边形BDFE为平行四边形；
（3）若AE＝2，EF＝4，求四边形BDFE的面积．

【分析】（1）证△BAD≌△CAF（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，再证CF＝CE，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得∠CEF＝60°，EF＝CE，再证EF∥BD，然后证EF＝BD，即可得出结论；
（3）过E作EG⊥BC于G，由（2）可知，CE＝EF＝4，则AC＝6，再由等边三角形的性质得BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，然后证CG＝CE＝2，则EG＝2，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵△ADF是等边三角形，
∴AD＝AF，∠DAF＝60°，
∴∠BAC＝∠DAF＝∠ACB＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝60°，BD＝CF，
∵BD＝CE，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等边三角形；
（2）证明：由（1）可知，△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，EF＝CE，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴EF∥BD，
∵BD＝CE，
∴EF＝BD，
∴四边形BDFE是平行四边形；
（3）解：如图，过E作EG⊥BC于G，则∠EGC＝90°，
由（2）可知，CE＝EF＝4，
∴AC＝AE+CE＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，
∴∠CEG＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴CG＝CE＝2，
∴EG＝＝＝2，
∵四边形BDFE为平行四边形，
∴BD＝EF＝4，
∴S平行四边形BDFE＝BD•EG＝4×2＝8．

考点五 三角形的中位线
【知识点睛】
v 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
v 当题目中出现多条线段的中点时，要联想到三角形的中位线.三角形的中位线定理既有两条线段之间的位置关系（平行），又有两条线段之间的数量关系（1∶2）.
v 三角形的中位线通常可以用来解决线段的位置关系与数量关系的相关问题，在实际运用中，有些问题虽然没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过添加辅助线就可运用其解决相关问题.
【类题训练】
1．如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，若DE＝4，则BC的长等于（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】利用三角形中位线的性质解决问题即可．
【解答】解：∵D是AB的中点，
∴AD＝DB，
∵DE∥BC，
∴AE＝EC，
∴DE＝BC，
∵DE＝4，
∴BC＝8．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若AB＝6，则DE的长为（　　）

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【分析】求出∠CAD＝∠BAD＝∠EDA，推出AE＝DE，求出∠ABD＝∠EDB，推出BE＝DE，求出AE＝BE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°．
∴∠ABD＝∠BDE．
∴DE＝BE．
∵AB＝6，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝3，
故选：B．
3．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点，点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（　　）

A．2 B．2.3 C．4 D．7
【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为6.5，最小值是2.5，可解答．
【解答】解：连接DN，
∵ED＝EM，MF＝FN，
∴EF＝DN，
∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，
∵N与B重合时DN最大，
此时DN＝DB＝＝＝13，
∴EF的最大值为6.5．
∵∠A＝90°，AD＝5，
∴DN≥5，
∴EF≥2.5，
∴EF长度的可能为4；
故选：C．

4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且BD⊥AC，F在BC上，E为AF的中点，连接DE，AF，若BF＝DE，AC＝2DE，BD＝6，则AB的长为（　　）

A． B． C． D．9
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据垂直的定义得到∠ADB＝∠CDB＝90°，根据全等三角形的判定和性质得到AD＝CD，根据三角形中位线定理和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AD＝CD，
∵E为AF的中点，
∴DE是△ACF的中位线，
∴DE∥CF，DE＝CF，
∵AC＝2DE，
∴AD＝CD＝AC＝DE，
∵BF＝DE，
∴BC＝3DE，
∵BD2+CD2＝BC2，
∴36+3DE2＝9DE2，
∴DE＝（负值舍去），
∴AD＝3，
∴AB＝＝＝3，
故选：A．
5．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PE∥AD，PF＝BC，PF∥BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE＝AD，PE∥AD，
∴∠EPD＝180°﹣∠ADB＝80°，
同理可得，PF＝BC，PF∥BC，
∴∠FPD＝∠CBD＝30°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝110°，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝×（180°﹣110°）＝35°，
故选：D．
6．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD＝16，AC＝30，E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝（　　）

A．15 B．.16 C．17 D．8
【分析】取BC的中点P，连接PE、PF，根据三角形中位线定理得到EP＝AC＝15，EP∥AC，FP＝BD＝8，FP∥BD，根据平行线的性质得到∠EPF＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：取BC的中点P，连接PE、PF，
∵E，P分别为AB，BC的中点，
∴EP是△ABC的中位线，
∴EP＝AC＝15，EP∥AC，
∴∠BPE＝∠BCA，
同理可得，FP＝BD＝8，FP∥BD，
∴∠CPF＝∠CBD，
∵AC⊥BD，
∴∠BCA+∠CBD＝90°，
∴∠BPE+∠CPF＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴EF＝＝17，
故选：C．

7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．若AB＝4，BC＝8，则DO＝　　．

【分析】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，根据勾股定理求出，E、F分别是BC、AC的中点，利用中位线的性质可证ADFE是平行四边形，利用平行四边形的性质解直角三角形即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝8，
∴∠DAO＝90°，
，
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴，EF∥AB，，
∵AB＝2AD，
∴，
∴AD＝EF＝2，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴，
∵∠DAO＝90°，
∴．
故答案为：．
8．如图，在△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，AC＝7，依次连接△ABC的三边中点，得到△A1B1C1，再依次连接△A1B1C1的三边中点，得到△A2B2C2，…，按这样的规律下去，△A2022B2022C2022的周长为 　　．

【分析】根据三角形中位线定理得到A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，总结规律，根据规律解答即可
【解答】解：∵A1、B1、C1分别为BC、AC、AB的中点，
∴A1B1＝AB，A1C1＝AC，B1C1＝BC，
∴△A1B1C1的周长＝×△ABC的周长＝×21，
……
∴△A2022B2022C2022的周长＝×21，
故答案为：．
9．如图是华师版九年级上册数学教材第80页的第3题．
如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
求证：∠PMN＝∠PNM
（1）在上边题目的条件下，延长图①中的线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F，如图②，请先完成图①的证明，再继续证明∠AEN＝∠F．
（2）若（1）中的∠A+∠ABC＝122°，则∠F的大小为 　29°　．

【分析】（1）根据三角形中位线定理得到PM∥BC，PM＝BC，PN∥AD，PN＝AD，得到PM＝PN，根据等腰三角形的性质证明结论；
（2）根据平行线的性质求出∠MPN，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，M是DC的中点，
∴PM是△DBC的中位线，
∴PM∥BC，PM＝BC，
∴∠PMN＝∠F，
同理可得：PN∥AD，PN＝AD，
∴∠AEN＝∠PNM，
∵AD＝BC，
∴PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴∠AEN＝∠F；
（2）解：∵PM∥BC，
∴∠MPD＝∠FBD，
∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠FBD+∠A+∠DBA＝122°，
∴∠PMN＝（180°﹣122°）＝29°，
∴∠F＝∠PMN＝29°，
故答案为：29°．
10．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．

【分析】（1）取BD的中点P，连接EP、FP，由三角形中位线定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再证∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP，
∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的长为13；
（2）证明：由（1）可知，PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．

11．如图，在△ABC中，点D为AC中点，延长CA至E，使AE＝BC，连接BE，点F为BE中点，连接FD并延长交BC延长线于G．
（1）求证：CD＝CG；
（2）若∠ACB＝60°，BC＝6，求FD的长．

【分析】（1）取AB的中点M，连接FM，DM，根据F为BE中点，M为AB中点，D为AC中点，可得FM，DM分别是△ABE和△ABC的中位线，进而可以解决问题；
（2）作MN⊥DF于N，根据等腰三角形的性质可得DN＝NF＝DF，∠MND＝90°，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图，取AB的中点M，连接FM，DM，
∵F为BE中点，M为AB中点，
∴FM∥AE，FM＝AE，
∴∠MFD＝∠CDG，
∵D为AC中点，M为AB中点，
∴DM＝BC，DM∥BC，
∴∠MDF＝∠G，
∵AE＝BC，
∴MF＝DM，
∴∠MFD＝∠MDF，
∵∠G＝∠CDG，
∴CD＝CG；

（2）解：由（1）知：∠MFD＝∠MDF，
∴MF＝MD，
如图，作MN⊥DF于N，
∴DN＝NF＝DF，∠MND＝90°，
∵∠ACB＝∠CDG+∠G＝60°，
∴∠G＝∠CDG＝30°，
∴∠MDN＝30°＝∠G，
在Rt△DMN中，DM＝BC＝3，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝＝，
∴DF＝2DN＝3．