【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第11讲 正方形中的几个常用模型探究

第11讲 正方形中的几个常用模型探究

模型一 正方形的“十字架”模型

【例题】：1．如图，有两个动点E，F分别从正方形ABCD的两个顶点B，C同时出发，以相同速度分别沿边BC和CD移动，问：在E，F移动过程中，AE与BF的位置和大小有什么关系吗？并给予证明．

【变式】去掉BE＝CF时，

（1）若已知AE=BF，则AE⊥BF成立吗？

（2）若已知AE⊥BF，则AE=BF成立吗？

【针对练习】

1．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A．2 B． C．4 D．

2．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 　      　．

5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为 　                　．

6．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足为O．

（1）求证：BE＝FG；

（2）若O是BE的中点，且BC＝8，EC＝3，求AF的长．

模型二 正方形中的“三垂定理”模型

如图，已知正方形ABCD，过点B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为E、F，则有△BCE≌△CDF

【例题】．（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．

小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．

请你写出证明过程．

（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．

【针对练习】

1．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是 　   　．

2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣3，0），则点C到y轴的距离是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

3．如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．

①求证：矩形DEFG是正方形；

②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

5．[经典问题回顾]

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．

对于本题，我们常用的思路是在AB上截取BM＝BE，构造全等三角形进行证明．

小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：

思路一：如图（1），在AB的延长线上截取BN，使BN＝BE，连接NE，利用全等三角形和特殊四边形，转化得到线段之间的数量关系，获证；

思路二：如图（2），连接AC，过点E作EP⊥AC于点P，EQ⊥CF于点Q，利用全等三角形，获证；

思路三：如图（3），连接AC，作EG∥AB，交AC与点G，利用全等三角形，获证．

[进一步探究]

小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．

四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上一点，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分线CF于点F．

（1）如图（4），若点E在边BC延长线上，β＝90°，线段AE与线段EF存在怎样的数量关系？并加以证明；

（2）如图（5），若点E在边BC上，AE＝EF，求β的度数．

模型三  正方形半角模型

【例题】．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．

（1）求证：CE＝CF．

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？

（3）运用（1）（2）解答中所累积的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的长．

【针对练习】

1．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积 　   　．

2．已知正方形ABCD中，M，N是边BC，CD上任意两点，∠MAN＝45°，连结MN．

（1）如图①，请直接写出BM，DN，MN三条线段的数量关系：　   　；

（2）如图②，过点A作AH⊥MN于点H，求证：AB＝AH；

（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．

3．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

【其他模型练习】

1．（1）如图1，边长为a的正方形ABCD对角线AC与BD相交于点O，且正方形OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．则图中阴影部分（四边形BROH）的面积为 　   　；（用含a的代数式表示）

（2）如图2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，点O为BD的中点．正方形OEFG绕点O旋转时，OE交边AB于点H，OG交边BC于点R．求图中阴影部分（即四边形BROH）的面积；

（3）如图3，△ABC与△OEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠EOF＝90°，AB＝BC，OE＝OF．BD是Rt△ABC斜边AC上的中线，点O为BD的中点，OE交边AB于点H，OF交边BC于点R．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为S，已知EF＝3，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积S的值．

2．已知四边形ABCD是正方形，点F为射线AD上一点，连接CF并以CF为对角线作正方形CEFG，连接BE，DG．

（1）如图1，当点F在线段AD上时，求证：BE＝DG；

（2）如图1，当点F在线段AD上时，求证：CD﹣DF＝BE；

（3）如图2，当点F在线段AD的延长线上时，请直接写出线段CD，DF与BE间满足的关系式．

3．【实践与探究】

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　      　．

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　     　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设AM与NF的交点为点P，求证：AP＝EF；

（2）若AB＝4，则线段EF的长为 　                　．