2024届高考数学第一轮复习：文科数学2010-2019高考真题分类训练之专题九 解析几何第二十七讲 抛物线

专题九  解析几何

第二十七讲  抛物线

2019年

1.（2019全国II文9）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=

A．2          B．3 

C．4          D．8

2.（2019浙江21）如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记的面积为.

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点G的坐标.

3.(2019全国III文21）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

1.解析（1）设，则.

由于，所以切线DA的斜率为，故 ，整理得

设，同理可得.

故直线AB的方程为.

所以直线AB过定点.

（2）由（1）得直线AB的方程为.

由，可得.

于是.

设M为线段AB的中点，则.

由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.

当=0时，=2，所求圆的方程为；

当时，，所求圆的方程为.

2010-2018年

一、选择题

1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线：的焦点，且斜率为的直线交于点(在轴上方)，为的准线，点在上且⊥，则到直线的距离为

A．        B．           C．                 D．

2．（2016年全国II卷）设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=

A．            B．1              C．              D．2

3．（2015陕西）已知抛物线()的准线经过点，则该抛物线的焦点坐标为

A．(－1，0)        B．(1，0)        C．(0，－1)      D．(0，1)

4．（2015四川）设直线与抛物线相交于两点，与圆相切于点，且为线段的中点．若这样的直线恰有4条，则的取值范围是

A．     B．      C．       D．

5．（2014新课标1）已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=

A．      B．        C．3        D．2

6．（2014新课标2）设为抛物线C：的焦点，过且倾斜角为30°的直线交于两点， 为坐标原点，则△的面积为

A．       B．     C．      D．

7．（2014辽宁）已知点在抛物线C：的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为

A．       B．        C．        D．

8．（2013新课标1）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为

A．    B．   C．   D．

9．（2013江西）已知点，抛物线的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=

A．2:    B．1:2          C．1:        D．1:3

10．（2012新课标）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为

A．   B．   C．4   D．8

11．（2012山东）已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为

A． 　  B．　  C．　　  D．

12．（2011新课标）已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，与C交于，两点，，为C的准线上一点，则的面积为

A．18         B．24        C．36        D．48

二、填空题

13．(2018北京)已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．

14．（2015陕西）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则=   

15．（2014湖南）如图，正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过         ．

16．（2013北京）若抛物线的焦点坐标为，则   ，准线方程为   ．

17．（2012陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽               米．

18．（2010浙江）设抛物线的焦点为，点．若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________．

三、解答题

19．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．

(1)求的方程；

(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．

20．（2018浙江）如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线：上存在不同的两点，满足，的中点均在上．

(1)设中点为，证明：垂直于轴；

(2)若是半椭圆()上的动点，求面积的取值范围．

21．（2017新课标Ⅰ）设，为曲线：上两点，与的横坐标之和为4．

(1)求直线的斜率；

(2)设为曲线上一点，在处的切线与直线平行，且，求直线的方程．

22．（2017浙江）如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为．

（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值．

23．（2016年全国I卷）在直角坐标系中，直线：交轴于点，交抛物线：于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点．

（I）求；

（II）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由．

24．（2016年全国III卷）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．

25．（2016年浙江）如图，设抛物线的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于．

（I）求p的值；

（II）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围．

26．（2015浙江）如图，已知抛物线：，圆：，过点作不过原点的直线，分别与抛物线和圆相切，为切点．

（Ⅰ）求点的坐标；

（Ⅱ）求的面积．

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．

27．（2015福建）已知点为抛物线（）的焦点，点在抛物线上，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知点，延长交抛物线于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．

28．（2014山东）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为3时，为正三角形。

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

        （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

        （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

29．（2014陕西）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程．

30．（2013广东）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；

（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．

31．（2012新课标）设抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．

（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程；

（Ⅱ）若、、三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到、距离的比值．

32．（2011新课标）在平面直角坐标系中， 已知点，点在直线上，点满足，，点的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）为C上动点，为C在点处的切线，求点到距离的最小值．