2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用

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专题六 数列第十八讲 数列的综合应用2019年1.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b， ,则A．当b=时，a10＞10          B．当b=时，a10＞10    C．当b=-2时，a10＞10          D．当b=-4时，a10＞102.（2019浙江20）设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）记 证明：3.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：，求证：数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足：，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．4.（2019北京理20）已知数列，从中选取第 项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为m的递增子列。规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列。（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列的长度为P的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为，若p<q，求证：；（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个（s=1,2,…），求数列的通项公式. 2010-2018年 一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A．440         B．330         C．220         D．1102．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数．若=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个     （B）16个     （C）14个    （D）12个3．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；q：，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=A．       B．      C．       D．5．（2014浙江）设函数，，，，记，则A．     B．      C．      D． 二、填空题6．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为     ．7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为     ．8．（2014新课标2）数列满足，=2，则=_________．9．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则．10．（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________．11．（2011浙江）若数列中的最大项是第项，则=_______________．三、解答题12．(2018江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．13．（2017天津）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．14．（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．15．（2016年四川高考）已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和， ，其中q>0， .（I）若 成等差数列，求的通项公式；(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，证明：．16．（2015湖北）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前n项和． 17．（2015陕西）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．（Ⅰ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且； （Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．18．（2015重庆）在数列中，，．（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，证明：． 19．(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令=求数列的前项和．20．（2014浙江）已知数列和满足．若为等比数列，且（Ⅰ）求与；（Ⅱ）设．记数列的前项和为．（ⅰ）求；（ⅱ）求正整数，使得对任意，均有．21．（2014湖南）已知数列{}满足（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．22．（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列 的前项和．23．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．（Ⅰ）若数列的前n项和(N)，证明: 是“H数列”；（Ⅱ）设 是等差数列，其首项，公差．若 是“H数列”，求的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立．24．（2013安徽）设数列满足，，且对任意，函数 ，满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．25．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，，且构成等比数列．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．26．（2013湖北）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．27．（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，，其中为实数.（Ⅰ） 若，且，，成等比数列，证明：；（Ⅱ） 若是等差数列，证明：．28． (2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和．29．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．（Ⅰ）用表示，并写出与的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过（≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．30．（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，n∈N﹡，数列满足，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．31．（2012山东）在等差数列中，，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和．32．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：．（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，且是等比数列，求和的值．33．（2011天津）已知数列满足，．   （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）设，证明是等比数列；   （Ⅲ）设为的前项和，证明34．（2011天津）已知数列与满足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．35．（2010新课标）设数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和．36．（2010湖南）给出下面的数表序列：其中表（=1,2,3 ）有行，第1行的个数是1,3,5，2-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（n≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： ．