2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题三 导数及其应用 第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案

专题三 导数及其应用

第七讲  导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

答案部分

2019年

1.解析：因为，所以，
所以当时，，所以在点处的切线斜率，
又所以切线方程为，即．

2.解析 的导数为，
又函数在点处的切线方程为，
可得，解得，
又切点为，可得，即．故选D．

2010-2018年

1．D【解析】通解  因为函数为奇函数，所以，

所以，所以，

因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．

优解一  因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，

所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．

优解二  易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以

，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．

2．A【解析】不妨设，，由于，所以，

则．又切线：，，

于是，，所以，联立，

解得，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故选A．

3．A【解析】设函数的图象上两点，，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为，若函数具有T性质,则==1．对于A选项，，显然==1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，，显然

==1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，>0，

显然==1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，

≥0，显然==1无解，故该函数不具有T性质．故选A．

4．C 【解析】 取满足题意得函数，若取，则

，所以排除A．若取，

则，所以排除D；取满足题

意的函数，若取，则，所以排除B，

故结论一定错误的是C．

5．D【解析】，由题意得，即．

6．D【解析】由得，、或（舍去），直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．

7．B【解析】，，

．显然，故选B．

8．C【解析】∵,正方形的面积为1，

∴=．

9．C【解析】用定积分求解，选C

10．C【解析】，选C．

11．D【解析】∵，∴=．

12．A【解析】点处的切线斜率为，，由点斜式可得切线方程为A．

13．D【解析】因为，即tan ≥－1，所以．

14．【解析】∵，∴．当时，，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

15．【解析】，由曲线在点处的切线的斜率为，

得，所以．

16．【解析】设与和的切点分别为 和．

则切线分别为，，

化简得，，

依题意，，解得，

从而．

17．【解析】由题意可得当时,，则，，则在点处的切线方程为，即．

18．0【解析】．

19．【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．

20．【解析】由已知得阴影部分面积为．所以此点取自阴影部分的概率等于．

21．【解析】，在点处的切线的斜率为，

切线方程为，即．

22．【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，

∴，由几何概型的概率计算公式，

得所求的概率为．

23．－3【解析】由题意可得  ①    又，过点的切线的斜率   ②，由①②解得，所以．

24．①③④【解析】 对于①，，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；对于②，因为，所以不是曲线：在点处的切线，②错误；对于③，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，③正确；对于④，，，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，④正确；对于⑤，，

在点处的切线为，令，可得

，所以，故，

可知曲线：在点附近位于直线的下侧，⑤错误．

25．2【解析】，则，故切线方程过点解得．

26．3【解析】．

27．【解析】  由

两边同时积分得：

从而得到如下等式：

=．

28．【解析】

．

29．【解析】，解得．

30．【解析】∵，∴切线斜率为4，则切线方程为：.

31．1【解析】因为，所以，又因为，

所以，所以，．

32．【解析】由题意可知得，故积分的近似值为．

33．21【解析】在点处的切线方程为：当时，

解得，所以．

34．【解析】（Ⅰ）因为，所以．

又因为，所以曲线在点处的切线方程为．

（Ⅱ）设，则

．

当时，，

所以在区间上单调递减．

所以对任意有，即．

所以函数在区间上单调递减．

因此在区间上的最大值为，最小值为．

35．【解析】（I），∴

∵曲线在点处的切线方程为

∴，

即    ①

      ②

由①②解得：，

（II）由（I）可知：，

  令，∴

∴的最小值是

∴的最小值为．

即对恒成立．

∴在上单调递增，无减区间．

36．【解析】（Ⅰ）对求导得

因为在处取得极值，所以即．

当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

令，

由解得，．

当时，，即，故为减函数；

当时，，即，故为增函数；

当时，，即，故为减函数；

由在上为减函数，知解得

故的取值范围为．

37．【解析】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，

即，解得．

因此，当时，轴是曲线的切线．

（Ⅱ）当时，，从而，

∴在无零点．

当=1时，若，则，,

故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点．

当时，，所以只需考虑在的零点个数．

(ⅰ)若或，则在无零点，故在单调，

而，，所以当时，在有一个零点；

当0时，在无零点.

(ⅱ)若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，

故当=时，取的最小值，最小值为=．

①若＞0，即＜＜0，在无零点．

②若=0，即，则在有唯一零点；

③若＜0，即，由于，，

所以当时，在有两个零点；

当时，在有一个零点．

综上，当或时，由一个零点；

当或时，有两个零点；当时，有三个零点．

38．【解析】(1)函数的定义域为，．

由题意可得，．

(2)由(1)知，从而等价于．

设函数，则．

所以当时，；当时，．

故在单调递减，在单调递增，

从而子啊的最小值为．

设函数，则．

所以当时；当时，故在单调递增，

在单调递减，从而在的最大值为．

39．【解析】(Ι)因为, x=0是的极值点，所以，

解得，所以函数=-ln(x+1)，其定义域为，

因为=，

设，则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即；

当时，，，所以在上是减函数；在，上是增函数．

（Ⅱ）当，时，，

故只需证明当时，．

当时，函数在单调递增．

又，故在有唯一实根，且．

当时，；当时，，从而当时，

取得最小值．由得，

故

综上，当时，．

40．【解析】（1）由的图像过点，代入得，

由在处的切线斜率为，又，

得．

(2)(证法一)由均值不等式，当时，，故．

记，

则

，

令，则当时，

因此在内是减函数，又由，得，所以

因此在内是减函数，又由，得，

于是当时， ．

（证法二）由（1）知，由均值不等式，

当时，，故

令，则，故，

即，由此得，当时，，记，

则当时，

=

．

因此在内是减函数，又由，得，即．

41．【解析】（1）（i）由得=，

当和时，；

当时，，

因此，的单调递增区间为和，

单调递减区间为．

（ii）曲线C与其在点处的切线方程为

得，

即，解得，进而有

，用代替，重复上述计算过程，可得

和，又，所以

因此有．

（Ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值．

证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得

，故．