2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明

专题十三  推理与证明

第三十八讲  推理与证明

2019年

2019年

8.（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底

的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如

此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满

足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高

可能是

A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm

8 解析 头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度小于，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，可得肚脐至足底的长度小，
即有该人的身高小于，
又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，
即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．

9. （2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面

软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问

题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿

着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球

质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和

万有引力定律，r满足方程：

.

设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为

A． B．   

C． D．

9解析 解法一（直接代换运算）：由及可得，

.

因为，所以，则，.故选D.

解法二（由选项结构特征入手）：因为，所以，

r满足方程：．

所以，

所以故选D.

2010-2018年

一、选择题

1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则

A．，         B．，

C．，         D．，

2．(2018北京)设集合则

A．对任意实数，   B．对任意实数，

C．当且仅当时，  D．当且仅当时，

3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则

A．乙可以知道四人的成绩            B．丁可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩        D．乙、丁可以知道自己的成绩

4．（2017浙江）如图，已知正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），，，分别为，，上的点，，，分别记二面角，，的平面角为，，，则

A．<<    B．<<    C．<< D．<<

5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

A．2号学生进入30秒跳绳决赛       B．5号学生进入30秒跳绳决赛

C．8号学生进入30秒跳绳决赛       D．9号学生进入30秒跳绳决赛

6．(2015广东)若集合，且

，，

用表示集合中的元素个数，则

A．          B．          C．             D．

7．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有

A．人           B．人            C．人         D．人

8．（2014山东）用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是

A．方程没有实根        B．方程至多有一个实根

C．方程至多有两个实根  D．方程恰好有两个实根

9．（2011江西）观察下列各式: ，，，，则的末四位数字为

A．3125          B．5625          C．0625         D．8125

10．（2010山东）观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=

A．       B．          C．          D．

二、填空题

11．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为     ．

12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，=1，2，3．

①记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则，，中最大的是_ ___．

②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则，，中最大的

是______．

13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是       ．

14．（2016山东）观察下列等式：

；

；

；

；

……

照此规律，

_______．

15．（2015陕西）观察下列等式：

1－

1－

1－

……

据此规律，第个等式可为______________________．

16．（2015山东）观察下列各式：

；

；

……

照此规律，当时，

       ．

17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点 作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；…，依此类推，设，，，…，，则__．

18．(2014福建)若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是____．

19．(2014北京)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

则最短交货期为           个工作日．

20．(2014陕西)已知，若，则的表达式为________．

21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：

    猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________．

22．(2013陕西)观察下列等式:

…

照此规律, 第个等式可为        ．

23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第个三角形数为．记第个边形数为

，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：

三角形数  

正方形数  

五边形数  

六边形数  

……

可以推测的表达式，由此计算           ．

24．(2012陕西)观察下列不等式

，

，

……

照此规律，第五个不等式为                             ．

25．(2012湖南)设，将个数依次放入编号为1,2，…，的个位置，得到排列．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为C变换，将分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段C变换，得到，例如，当=8时，，此时位于中的第4个位置.

（1）当=16时，位于中的第       个位置；

（2）当（）时，位于中的第       个位置.

26．(2011陕西)观察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为                                 ．

27．(2010浙江)设，将

的最小值记为，则

其中=__________________．

28．(2010福建)观察下列等式：K^S*5U.C#O

① cos2=21；

② cos4=88+ 1；

③ cos6=3248+ 181；

④ cos8=128256+ 16032+ 1；

⑤ cos10=1280+ 1120++1．

可以推测，=             ．

三、解答题

29．（2018北京）设为正整数，集合．对于集合中的任意元素和，记

．

(1)当时，若，，求和的值；

(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数．求集合中元素个数的最大值；

(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，．写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由．

30．(2018江苏)设，对1，2，···，n的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为的全部排列的个数．

(1)求的值；

(2)求的表达式(用表示)．

31．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足

对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

32．（2017北京）设和是两个等差数列，记

，

其中表示这个数中最大的数．

（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；

（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

33．(2016江苏)记．对数列（）和的子集，若，定义；若，定义．例如：时，．现设（）是公比为的等比数列，且当时，．

(1)求数列的通项公式；

(2)对任意正整数（），若，求证：；

(3)设，，，求证：．

34．(2016浙江)设函数=，．证明：

(1)；

(2)．

35．(2015湖北)已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

(1)求函数的单调区间，并比较与e的大小；

(2)计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

(3)令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

36．(2015江苏)已知集合，设整除或，令表示集合所含元素的个数．

(1)写出的值；

(2)当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．

37．(2014天津)已知和均为给定的大于1的自然数.设集合，

集合.

(1)当，时，用列举法表示集合；

(2)设，，，其中，

，．证明：若，则．

38．(2013江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和. 记，，其中为实数.

(1)若，且，，成等比数列，证明：；

(2)若是等差数列，证明：．