2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法

专题十三  推理与证明

第三十九讲  数学归纳法

解答题

1．（2017浙江）已知数列满足：，．

证明：当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

2．(2015湖北) 已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．

（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；

（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；

（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,, 证明：．

3．(2014江苏)已知函数，设为的导数，．

（Ⅰ）求的值；

（2）证明：对任意的，等式成立．

4．（2014安徽）设实数，整数，．

（Ⅰ）证明：当且时，；

（Ⅱ）数列满足，，

证明：．

5．（2014重庆）设

（Ⅰ）若，求及数列的通项公式；

（Ⅱ）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论．

6．（2012湖北）（Ⅰ）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；

（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

注：当为正有理数时，有求导公式.

7．（2011湖南）已知函数，.

（Ⅰ）求函数的零点个数，并说明理由；

（Ⅱ）设数列{}（）满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有≤ ．