2024届高考第一轮复习：理科数学2010-2018高考真题分类训练之专题四 三角函数与解三角形第十一讲 三角函数的综合应用答案

专题四 三角函数与解三角形

第十一讲 三角函数的综合应用

答案部分

2019年

1.解析 解法一：

（1）过A作，垂足为E.

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，.'

因为PB⊥AB，

所以.

所以.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，联结AD，由（1）知，

从而，所以∠BAD为锐角.

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此，Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，B=15，

此时；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+（百米）.

解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.

以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.

因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3.

因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.

从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为.

因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为，

直线PB的方程为.

所以P（−13，9），.

因此道路PB的长为15（百米）.

（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.

②若Q在D处，联结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），

所以线段AD：.

在线段AD上取点M（3，），因为，

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.

因此Q选在D处也不满足规划要求.

综上，P和Q均不能选在D处.

（3）先讨论点P的位置.

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；

当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.

设为l上一点，且，由（1）知，B=15，此时（−13，9）；

当∠OBP>90°时，在中，.

由上可知，d≥15.

再讨论点Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.

综上，当P（−13，9），Q（，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离

.

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为（百米）

2010-2018年

1．C【解析】由题意可得

（其中，），∵,

∴，，

∴当时，取得最大值3，故选C．

2．B【解析】由于．

当时，的最小正周期为；

当时，的最小正周期；

的变化会引起的图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B．

注：在函数中，的最小正周期是和的最小正周期的公倍数．

3．C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．

4．D【解析】对于A，当或时，均为1，而与此时均有两个值，故A、B错误；对于C，当或时，，而由两个值，故C错误，选D．

5．B【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图象是非线性，排除A．

6．C【解析】由题意知，，当时，；当时，，故选C．

7．A【解析】由，

得，所以，所以，

由正弦函数的性质知与的图象的对称轴相同，

令，则，所以函数的图象的对称轴为

，当，得，选A．

8．   【解析】，所以

9．7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．

10．【解析】∵，∴，∴，∵，

∴．

11．（1）3；（2）【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时；

（2）曲线的半周期为，由图知，

，设的横坐标分别为．设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，

由几何概型知该点在△ABC内的概率为．

12．【解析】(1)连结并延长交于，则⊥，所以=10．

过作⊥于，则∥，所以，

故，，

则矩形的面积为，

的面积为．

过作⊥，分别交圆弧和的延长线于和，则．

令，则，．

当时，才能作出满足条件的矩形，

所以的取值范围是．

答：矩形的面积为平方米，的面积为

，的取值范围是．

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为，乙的单位面积的年产值为，

则年总产值为

，．

设，，

则．

令，得，

当时，，所以为增函数；

当时，，所以为减函数，

因此，当时，取到最大值．

答：当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

13．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，

所以平面平面，．

记玻璃棒的另一端落在上点处．

因为，．

所以，从而．

记与水平的交点为，过作，为垂足，

则平面，故，

从而．

答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm.

( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

（2）如图，，是正棱台的两底面中心.

由正棱台的定义，⊥平面 ，

所以平面⊥平面，⊥.

同理，平面⊥平面，⊥.

记玻璃棒的另一端落在上点处.

过作⊥，为垂足， 则==32.

因为= 14，= 62，

所以= ，从而.

设则.

因为，所以.

在中，由正弦定理可得，解得.

因为，所以.

于是

.

记与水面的交点为，过作，为垂足，则 ⊥平面，故=12，从而 =.

答:玻璃棒没入水中部分的长度为20cm.

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)

14．【解析】（Ⅰ）由题意

．

由()，可得()；

由()，得()；

所以的单调递增区间是（）；

单调递减区间是（）．

（Ⅱ），，

由题意是锐角，所以 ．

由余弦定理：，

可得

，且当时成立．

．面积最大值为．

15．【解析】（Ⅰ）因为，

又，所以，，

当时，；当时，；

于是在上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为

（Ⅱ）依题意，当时实验室需要降温.

由（Ⅰ）得，

所以，即，

又，因此，即，

故在10时至18时实验室需要降温.

16．【解析】（1）成等差数列，

由正弦定理得

（2）成等比数列，

由余弦定理得

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

即，所以的最小值为

17．【解析】（Ⅰ）由函数的周期为，，得

又曲线的一个对称中心为，

故，得，所以

将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）后可得的图象，再将的图象向右平移个单位长度后得到函数

（Ⅱ）当时，，，

所以．

问题转化为方程在内是否有解

设，

则

因为，所以，在内单调递增

又，

且函数的图象连续不断，故可知函数在内存在唯一零点，

即存在唯一的满足题意．

（Ⅲ）依题意，，令

当，即时，，从而不是方程的解，所以方程等价于关于的方程，

现研究时方程解的情况

令，

则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况

，令，得或．

当变化时，和变化情况如下表

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

当且趋近于时，趋向于

故当时，直线与曲线在内有无交点，在内有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内无交点；当时，直线与曲线在内有个交点，在内有个交点由函数的周期性，可知当时，直线与曲线在内总有偶数个交点，从而不存在正整数，使得直线与曲线在内恰有个交点；当时，直线与曲线在内有个交点，由周期性，，所以

综上，当，时，函数在内恰有个零点