【同步讲义】苏科版数学七年级上册：2.9 有理数综合练习（基础）

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有理数综合练习（基础）
一．选择题
1．﹣8的绝对值是（　　）
A．18 B．8 C．﹣8 D．±8
【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．
【解答】解：∵﹣8是负数，﹣8的相反数是8
∴﹣8的绝对值是8．
故选B．
【点评】本题考查绝对值的定义．
2．下列数中既是分数又是负数的是（　　）
A．5.2 B．0 C．﹣2 D．﹣2.5
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：A、5.2是分数，但不是负数，故本选项不合题意；
B、0是整数，故本选项不合题意；
C、﹣2是负数，但不是分数，故本选项不合题意；
D、﹣2.5既是分数，又是负数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，熟记正数、负数、整数、分数的定义与特点是解答本题的关键；注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数，也不是负数．
3．实数a的绝对值是54，a的值是（　　）
A．54 B．-54 C．±45 D．±54
【分析】根据绝对值的意义直接进行解答
【解答】解：∵|a|=54，
∴a＝±54．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的意义，即在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
4．下列互为倒数的是（　　）
A．3和13 B．﹣2和2 C．3和-13 D．﹣2和12
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
【解答】解：A．因为3×13=1，所以3和13是互为倒数，因此选项A符合题意；
B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项B不符合题意；
C．因为3×（-13）＝﹣1，所以3和-13不是互为倒数，因此选项C不符合题意；
D．因为﹣2×12=-1，所以﹣2和12不是互为倒数，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”是正确判断的关键．
5．为实现我国2030年前碳达峰，2060年前碳中和目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．2021年，我国光伏发电新增并网容量54880000000瓦，全国光伏发电量3259亿千瓦时，请用科学记数法表示3259亿千瓦时（　　）
A．3.259×109千瓦时 B．3.259×1010千瓦时
C．3.259×1011千瓦时 D．3.259×1012千瓦时
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：3259亿千瓦时＝325900000000千瓦时＝3.259×1011千瓦时．
故选：C．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
6．﹣6+2的计算结果是（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可求出值．
【解答】解：﹣6+2
＝﹣（6﹣2）
＝﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握加法法则是解本题的关键．
7．如图．若点A在数轴上表示的数为x，则|x+1|＝（　　）

A．﹣x+1 B．﹣x﹣1 C．x+1 D．x﹣1
【分析】先判断出x+1是负数，根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案．
【解答】解：∵x＜﹣1，
∴x+1＜0，
∴|x+1|＝﹣x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
8．若非零数a，b互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（　　）
①a2与b2；②a2与﹣b2；③a3与b3；④a3与﹣b3．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据两个数的和为0，则这两个数互为相反数判断即可．
【解答】解：①a，b互为相反数，则a2＝b2，即a2与b2不互为相反数，故①不符合题意；
②a，b互为相反数，则a2＝b2，故a2+（﹣b2）＝0，即a2与﹣b2互为相反数，故②符合题意；
③a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3+b3＝（﹣b）3+b3＝0，即a3与b3互为相反数，故③符合题意；
④a，b互为相反数，则a＝﹣b，a3﹣b3＝（﹣b）3﹣b3＝﹣b3﹣b3＝﹣2b3≠0，即a3与﹣b3不互为相反数，故④不符合题意；
符合题意的有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
二．填空题
9．1-2022的倒数是 　﹣2022　．
【分析】根据倒数的意义，即可解答．
【解答】解：1-2022的倒数是﹣2022，
故答案为：﹣2022．
【点评】本题考查了倒数：乘积是1的两数互为倒数．
10．计算：3×（﹣1）+|﹣3|＝　0　．
【分析】根据有理数的乘法和加法运算法则计算即可．
【解答】解：3×（﹣1）+|﹣3|＝﹣3+3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解答本题的关键．
11．太阳距离银河系中心约为250000000000000000公里，其中数据250000000000000000用科学记数法表示为 　2.5×1017　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据250000000000000000用科学记数法表示为2.5×1017．
故答案为：2.5×1017．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示的关键是正确确定a的值以及n的值．
12．《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是说一尺长的木棍，每天截去它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩12尺，两天之后14尺，那么6天之后，这个“一尺之棰”还剩 　164　．
【分析】一天之后剩12尺，两天之后剩14尺，三天之后剩14×12=18，找出规律即可求解．
【解答】解：一天之后剩12尺，
两天之后剩14=(12)2尺，
三天之后剩14×12=18=(12)3尺，
以此类推，六天之后剩(12)6=164．
故答案为：164．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，读懂题意并掌握有理数乘方运算法则是解题的关键．
13．若x＝﹣3，则|x|的值为 　3　．
【分析】利用绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝﹣3，
∴|x|＝|﹣3|＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
14．扬州某日的最高气温为6℃，最低气温为﹣2℃，则该日的日温差是 　8　℃．
【分析】由最高气温减去最低气温确定出该日的日温差即可．
【解答】解：根据题意得：6﹣（﹣2）＝6+2＝8（℃），
则该日的日温差是8℃．
故答案为：8．
【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
15．若实数a、b满足|a﹣1|+（b+2）2＝0，则a+b　﹣1　．
【分析】根据非负数的性质得出a、b的值，代入计算可得答案．
【解答】解：∵|a﹣1|+（b+2）2＝0，
∴a﹣1＝0，b+2＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴a+b＝1+（﹣2）＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
16．定义一种新运算：a※b＝a（a﹣b），例如5※3＝5×（5﹣3）＝10．根据定义给出以下运算结果：
①2x※x＝2x2；
②（3﹣5x）※（6﹣5x）＝15x﹣9；
③（a※b）﹣（b※a）＝b2﹣a2；
④若a＝b，则（a※b）※b＝0．
其中正确的是 　①②④　（填写所有正确结果的序号）．
【分析】各项利用题中新定义进行计算判断即可．
【解答】解：①2x※x
＝2x（2x﹣x）
＝2x2，故运算结果正确；
②（3﹣5x）※（6﹣5x）
＝（3﹣5x）（3﹣5x﹣6+5x）
＝﹣3（3﹣5x）
＝15x﹣9，故运算结果正确；
③（a※b）﹣（b※a）
＝a（a﹣b）﹣b（b﹣a）
＝a2﹣ab﹣b2+ab
＝a2﹣b2，故原来的运算结果错误；
④若a＝b，
则（a※b）※b
＝[a（a﹣b）]※b
＝0※b
＝0×（0﹣b）
＝0，故运算结果正确．
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．
三．解答题
17．计算下面各题．
（1）310×16÷35；
（2）813÷7+17×613．
【分析】（1）把除化为乘，再用有理数乘法法则计算；
（2）把除化为乘，再逆用乘法分配律即可计算．
【解答】解：（1）原式=310×16×53
=112；
（2）原式=813×17+17×613
=17×（813+613）
=17×1413
=213．
【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是掌握相关运算的法则及运算律．
18．用简便方法计算：
（1）（﹣8）×（-45）×（﹣1.25）×54；
（2）（﹣93536）×18；
（3）（﹣8）×（-16-512+310）×15．
【分析】（1）原式结合后，相乘即可得到结果；
（2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果；
（3）原式结合后，利用乘法分配律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝﹣（8×1.25）×（45×54）
＝﹣10×1
＝﹣10；
（2）原式＝（﹣10+136）×18
＝﹣10×18+136×18
＝﹣180+12
＝﹣17912；
（3）原式＝（﹣8×15）×（-16-512+310）
＝（﹣120）×（-16-512+310）
＝﹣120×（-16）﹣120×（-512）﹣120×310
＝20+50﹣36
＝34．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握运算法则及运算律是解本题的关键．
19．光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，地球离太阳大约多远（结果用科学记数法表示）？
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3×105×5×102＝1.5×108（km）．
答：地球离太阳大约1.5×108km．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
20．已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．
（1）求线段AB的长；
（2）若点A与点C关于点B对称，求x的值．
【分析】（1）数轴上两点间的距离，要么是加绝对值，要么用右数的数减去左边的数；
（2）AB＝BC，代入求解．
【解答】解：（1）AB＝xA﹣xB＝4﹣（﹣6）＝4+6＝10；
（2）根据题意得，BC＝AB，
即：﹣6﹣x＝4﹣（﹣6），
所以x＝﹣16．
【点评】本题考查是数轴上两点间的距离，即绝对值，解决问题的关键是会化简绝对值．
21．把下列各数填入相应的集合中：
+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，245，-13，9%，π，﹣0.2020020002…（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）．
正分数集合：{　0.75，245，9%　…}；
正整数集合：{　+6，+8　…}；
整数集合：{　+6，﹣3，0，+8　…}；
有理数集合：{　+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，245，-13，9%　…}．
【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可．
【解答】解：正分数集合：{0.75，245，9%…}；
正整数集合：{+6，+8…}；
整数集合：{+6，﹣3，0，+8…}；
有理数集合：{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，245，-13，9%…}．
故答案为：0.75，245，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，245，-13，9%．
【点评】此题考查的是有理数和绝对值，掌握正分数、正整数、整数、有理数的概念是解决此题关键．
22．若两个有理数A、B满足A+B＝8，则称A、B互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题：
（1）求﹣5的“吉祥数”；
（2）若3x的“吉祥数”是﹣4，求x的值；
（3）x和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据“吉祥数”的定义即可得到答案；
（2）根据“吉祥数”的定义列出方程即可解决问题；
（3）根据“吉祥数”的定义，计算x的值判断即可．
【解答】解：（1）根据“吉祥数”的定义可得，
﹣5的吉祥数为8﹣（﹣5）＝13，
∴﹣5的吉祥数为13；
（2）由题意得，3x﹣4＝8，
解得x＝4，
答：x的值是4；
（3）能，
由题意得，x+9＝8，
则x＝﹣1，
∴x和9可以互为“吉祥数”．
【点评】本题考查了有理数的加法运算、“吉祥数”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．在一条不完整的数轴上从左右到有点A，B，C，D，其中AD＝6，B，C是AD的三等分点，如图所示．

（1）BC＝　2　；
（2）若以B为原点，写出点A，C，D所对应的数，并求出它们所对应数的和；
（3）若点C所对应的数为﹣10，求出点A，B，D所对应数的和．
【分析】（1）由AD＝6，B、C是AD的三等分点，直接计算即可；
（2）分别得出AB，BC，BD的长，再根据数轴与实数的对应关系解答；
（3）由实数与数轴的对应关系，结合AB＝BC＝CD=13AD＝2，求出A、B、D对应的数求和即可．
【解答】解：（1）∵AD＝6，B、C是AD的三等分点，
∴BC=13AD=13×6=2．
故答案为：2．
（2）∵AD＝6，B、C是AD的三等分点，
∴AB＝BC＝CD=13AD＝2，
若B为原点，则点A，C，D所对应的数分别为﹣2，2，4，
∴点A，C，D所对应的数的和为﹣2+2+4＝4；
（3）∵AB＝BC＝CD=13AD＝2，
若点C所对应的数为﹣10，则点A，B，D所对应数为﹣14，﹣12，﹣8，
∴点A、B、D对应的数求和为﹣14+（﹣12）+（﹣8）＝﹣34．
【点评】本题主要考查了数轴以及有理数的计算，解题的关键是熟练掌握数轴上点的坐标特征，是基础考点．
24．淇淇在计算：(-1)2022-(-2)3+6÷(12-13)时，步骤如下：
解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷12-6÷13⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
＝﹣2022+6+12﹣18………………………②
＝﹣2048…………………………………③
（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　①　；（填序号）
（2）请给出正确的解题过程．
【分析】（1）根据幂的运算即可判断；
（2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（12-13）＝6÷16=36，
∴原式＝1﹣（﹣8）+6÷16，
∴开始出现错误的步骤是①，
故答案为：①；
（2）原式＝1﹣（﹣8）+6÷16
＝1+8+6×6
＝1+8+36
＝45．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序．
25．嘉淇在解一道数学计算题时，发现有一个数被污染了．
计算：（﹣1）3×■﹣（1﹣3）÷4．
（1）嘉淇猜污染的数为1，请计算（﹣1）3×1﹣（1﹣3）÷4；
（2）老师说，嘉淇猜错了，正确的计算结果不小于52，求被污染的数最大是几？
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值即可．
（2）设被污染的实数为x，则（﹣1）3×x﹣（1﹣3）÷4≥52，据此求出x的取值范围，判断出被污染的数最大是几即可．
【解答】解（1）（﹣1）3×1﹣（1﹣3）÷4
＝﹣1×1﹣（﹣2）÷4
＝﹣1﹣（-12）
＝﹣1+12
=-12．

（2）设被污染的实数为x，
则有（﹣1）3×x﹣（1﹣3）÷4≥52，
∴﹣x+12≥52，
解得：x≤﹣2，
∴被污染的实数最大是﹣2．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
26．“双减”政策实施后，同学们作业负担大大减少，小明记录了本周写家庭作业的时间，情况如表（以30分钟为标准，时间多于30分钟用正数表示，时间少于30分钟用负数表示）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
与标准时间的差（分钟）
﹣5
﹣6
﹣8
﹣2
﹣9
+8
+15
（1）这一周内写家庭作业用时最多的是星期 　日　，用时最少的是星期 　五　；
（2）求小明这一周每天写家庭作业的平均时间．
【分析】（1）通过对本周小明每天写作业时间比较并作差计算，可确定此题结果；
（2）计算出小明本周写数学家庭作业的时间的平均数，再加上30即可．
【解答】解：（1）∵﹣9＜﹣8＜﹣6＜﹣5＜﹣2＜+8＜+15，
∴这一周内家庭作业用时最多的是星期日，用时最少的是星期五，
故答案为：日，五；
（2）30+（﹣5﹣6﹣8﹣2﹣9+8+15）÷7
＝30+（﹣7）÷7
＝29（分钟），
答：这一周每天写家庭作业的平均时间为29分钟．
【点评】此题考查了利用正负数的意义解决实际问题的能力，关键是能根据实际问题准确列式、计算．
27．某检修站A地的工人乘汽车，沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正，向西为负，从A地出发到收工时，行驶记录如下（单位：千米）：+15，﹣20，+35，﹣10，﹣23，﹣12．
（1）请计算收工时，工人在A地的哪一边，距A地多远？
（2）若汽车油箱内有汽油35升，汽车每行驶1千米耗油0.2升，请计算收工时油箱内还有多少升汽油？
【分析】（1）将这些数相加，如果是正数，则在A地的东方；如果是负数，则在A地的西方；
（2）将这些数的绝对值相加，即得出他所行的路程，再乘以每千米所用的油．
【解答】解：（1）根据题意得：+15+（﹣20）+35+（﹣10）+（﹣23）+（﹣12）＝﹣15（千米），
答：收工时，工人在A地的西边，距A地15千米．
（2）15+20+35+10+23+12＝115（千米），
115×0.2＝23（升），
35﹣23＝12（升），
答：收工时油箱内还有12升汽油．
【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
28．昨天，小明把老师布置的作业题忘了，只记得式子是b2﹣|a|+c，小亮告诉小明，a是最大的负整数，b的相反数是2，c的相反数和绝对值都是它本身．请你帮小明解答下列问题：
（1）写出a，b，c的值；
（2）求b2﹣|a|+c的值．
【分析】（1）根据最大的负整数为﹣1，确定出a的值，再利用相反数及绝对值的定义求出b与c的值即可；
（2）把a，b，c的值代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝0；
（2）当a＝﹣1，b＝﹣2，c＝0时，
原式＝（﹣2）2﹣|﹣1|+0＝4﹣1+0＝3．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，绝对值，相反数，以及负整数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．