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初中数学苏科版七年级上册4.1 从问题到方程优秀课后复习题
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这是一份初中数学苏科版七年级上册4.1 从问题到方程优秀课后复习题，文件包含同步讲义苏科版数学七年级上册41从问题到方程原卷版docx、同步讲义苏科版数学七年级上册41从问题到方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
从问题到方程
知识点一、一元一次方程的概念
1. 一元一次方程的定义：方程，，，这样，它们都只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程.
这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1.
2. 一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）.
3. 一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程.
例：下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．﹣x﹣3＝4 B．x2+3＝x+2 C．﹣1＝2 D．2y﹣3x＝2
【解答】A
【解析】B是二次的，C不是整式方程，D含有两个未知数，
它们都不符合一元一次方程的定义．
只有A符合一元一次方程的定义．
故选A．
知识点二、根据实际问题列一元一次方程
1. 根据实际问题列一元一次方程，即把文字语言叙述的问题转化为用数学语言表达的句子，关键是准确找出相等关系，在实际问题中，常用一些关键词表示问题中的数量关系，如“和、差、积、商、大、小、几分之几”等，解题时，要抓住这些关键词，然后找出等量关系.
2. 列一元一次方程的步骤
（1）找出题中的等量关系，找出已知量与未知量；
（2）设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量；
（3）由题中的相等关系，列出一元一次方程（列方程时，须使得方程两边的单位统一）.
例：古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百二十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走220里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）
A． B．
C．220x＝140x+140×12 D．140+12x＝220
【解答】C
【解析】由题意可得，
220x＝140x+140×12，
故选C．
巩固练习
一．选择题
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A．x＝﹣1 B．2x+y＝5 C．1x=1 D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项是一元一次方程，故该选项符合题意；
B选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C选项中的方程是分式方程，故该选项不符合题意；
D选项最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键．
2．方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（ ）
A．0 B．7 C．8 D．10
【分析】根据一元一次方程的定义得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．
【解答】解：∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴7﹣a＝0且a≠0，
解得：a＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．
3．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x+2（94﹣x）＝35 B．4x+2（35﹣x）＝94
C．2x+4（94﹣x）＝35 D．2x+4（35﹣x）＝94
【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有（35﹣x）只，利用足的数量＝2×鸡的只数+4×兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵上有三十五头，且鸡有x只，
∴兔有（35﹣x）只．
依题意得：2x+4（35﹣x）＝94．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．某人骑电动车到单位上班，若每小时骑30千米，则可早到10分种；若每小时骑20千米，则迟到5分种．设他家到单位的路程为x千米，则所列方程为（ ）
A．x30+10=x20-5 B．x30+1060=x20-560
C．x30+560=x20-1060 D．x30-1060=x20+560
【分析】设他家到单位的路程为x千米，根据时间＝路程÷速度结合“若每小时骑30千米，可早到10分钟，若每小时骑20千米，则迟到5分钟”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设他家到单位的路程为x千米，
依题意，得：x30+1060=x20-560，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程为（ ）
A．12x+24x＝1 B．（112+124）x＝1
C．12x+24x=1 D．（12+24）x＝1
【分析】利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数＝1，进而得出答案．
【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：
（112+124）x＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题列出一元一次方程，以总工作量为1得出等式是解题关键．
6．5月份某公司的综合评分为90分，比4月份的综合评分提高了15%．设该公司4月份的综合评分为x．依题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．15%x＝90 B．（1﹣15%）x＝90
C．（1+15%）x＝90 D．90×（1+15%）＝x
【分析】设该公司4月份的综合评分为x，等量关系是：4月份的综合评分×（1+15%）＝5月份的综合评分，依此列出方程即可．
【解答】解：设该公司4月份的综合评分为x，根据题意得
（1+15%）x＝90．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
7．下列方程中：①x﹣2=2x；②x＝6；③2-y4=y-15；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：①x﹣2=2x，分母中含有未知数，不是一元一次方程；
②x＝6，是一元一次方程；
③2-y4=y-15，是一元一次方程；
④x2﹣4x＝3，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
⑤0.3x＝1，是一元一次方程；
⑥x+2y＝0，方程中有2个未知数，不是一元一次方程．
所以其中一元一次方程的个数是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．
8．《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共鹿适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为（ ）
A．x+3x＝100 B．3x﹣x＝100 C．x-x3=100 D．x+x3=100
【分析】设有x户人家，根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x户人家，
依题意，得：x+x3=100．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题
9．已知方程（k﹣1）x3m+1+12＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ 0 ，k≠ 1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵当方程（k﹣1）x3m+1+12＝0是关于x的一元一次方程，
∴k﹣1≠0，3m+1＝1，
∴k≠1，m＝0．
故答案为：0，1．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
10．若（m+2）x m2-3-2m＝1，是关于x的一元一次方程，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元一次方程的定义列出方程和不等式，即可得出结果．
【解答】解：∵（m+2）xm2-3-2m＝1，是关于x的一元一次方程，
∴m+2≠0m2-3=1，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的概念，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．
11．若（m﹣3）x|m﹣2|+2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为 1 ．
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值．
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得m-3≠0|m-2|=1，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．
12．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为y，则列出的方程是 5（120+y）＝100y+30 ．
【分析】由给定的乘法竖式，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：5（120+y）＝100y+30．
故答案为：5（120+y）＝100y+30．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．甲处有272人，乙处有196人，要使甲处的人数是乙处人数的3倍，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则可列方程： 272+x＝3（196﹣x） ．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：（甲处原来的人数+调入的人数）＝3（乙处原来的人数﹣调出的人数），根据此等量关系列方程即可．
【解答】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为（272+x）人，乙处现有的工作人数为（196﹣x）人．
根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”
列方程得：272+x＝3（196﹣x），
故答案为：272+x＝3（196﹣x）．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚人员调动前后甲乙两处人数的变化是解决问题的关键．
14．下列四个方程x﹣1＝0，a+b＝0，2x＝0，1y＝1中，是一元一次方程的有 x﹣1＝0 和 2x＝0 ．
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出正确答案．
【解答】解：根据一元一次方程的定义可知：
是一元一次方程的有x﹣1＝0和2x＝0．
故答案为：x﹣1＝0，2x＝0．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义．判断一元一次方程，第一步先看是否是整式方程，第二步化简后是否只含有一个未知数，且未知数的次数是1．此类题目可严格按照定义解题．
15．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产才能让螺栓和螺母正好配套？设若x名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，根据题意所列方程为 2×12x＝18（28﹣x） ．
【分析】安排x名工人生产螺栓，（28﹣x）名工人生产螺母，根据生产的螺母是螺栓的2倍列方程即可．
【解答】解：设安排x名工人生产螺栓，则需安排（28﹣x）名工人生产螺母，
根据题意，得：2×12x＝18（28﹣x），
故答案为：2×12x＝18（28﹣x）．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的应用，根据总人数为28人，生产的螺母是螺栓的2倍列出方程是解题的关键．
16．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求这个两位数．设十位上的数字为x，则可列方程为 10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121 ．
【分析】设十位上的数字为x，根据有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121可列方程求解．
【解答】解：设十位上的数字为x，则
10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121．
故答案是：10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是数字问题的设法，设十位数字是多少，然后根据原数和新数的和是121列方程．
三．解答题
17．“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价×（1+30%）×80%＝售价为2080元可列出方程．
【解答】解：设该电器的成本价为x元，依题意有
x（1+30%）×80%＝2080．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
18．已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值及方程的解．
（2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（13xm+2）的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4；
（2）把代数式化简得到原式＝x2﹣3x﹣6，然后把x＝4代入计算即可．
【解答】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4；
（2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（13xm+2）
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2，
即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（13xm+2）的值是﹣2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减．解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
19．某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么
（1）如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为 1.2x 元；
（2）如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为 （2x﹣16） 元；
（3）如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程．
【分析】（1）直接利用x的取值范围，结合每立方米水价按1.2元，进而得出收费实际费用；
（2）直接利用x的取值范围，结合超过20立方米，超过部分按每立方米2元收费，进而得出实际费用；
（3）所交水费的平均水价为每立方米1.5元，超过1.2元，则这户居民这一月用水一定超过20立方米．设这一月共用水x立方米，根据收费标准，可得方程，即可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：x≤20时，所交水费为1.2x元，
故答案为：1.2x；
（2）由题意得：x＞20时，所交水费：20×1.2+2（x﹣20）＝（2x﹣16）元；
（3）由题意可得：x＞20，设这一月共用水x立方米，
根据题意得：20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x，
化简可得2x﹣16＝1.5x，
解得：x＝32．
即他这一个月共用了32立方米的水．
【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20．数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成：
（1）已知关于x的一元一次方程（a﹣2）x|a|﹣1+8＝0，请画出数轴，并在数轴上标注出a与x对应的点，分别记作A，B．
（2）在（1）的条件下，在数轴上另有一点C对应的数为y，C与A的距离是C与B的距离的5倍，求y的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，求出a得到一元一次方程为﹣4x+8＝0，解方程得x2＝4，然后利用数轴表示A、B两点；
（2）利用数轴上两点间的距离公式得到|y﹣（﹣2）|＝5|4﹣y|，然后解绝对值方程即可得到y的值．
【解答】解：（1）由一元一次方程的定义得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
所以关于x的一元一次方程变形为﹣4x+8＝0，解得x＝2，
在数轴上表示如图所示：
（2）依题意有|y﹣（﹣2）|＝5|y﹣2|，
解y+2＝5（y﹣2）得y＝3，
解y+2＝﹣5（y﹣2）得y=43（舍去）．
所以y的值为3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了数轴和一元一次方程的定义．
21．甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
A：设： 设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时
B：（画出线段图）
C：列方程 7x+3x＝25×2
【分析】设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，根据路程＝速度×时间可求甲遇见乙时，乙走的路程和甲走的路程；根据关于路程的等量关系：甲、乙两人行驶的路程和是两个25千米，列出方程求解即可．
【解答】解：A：设：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时，甲遇见乙时，乙走的路程可以表示为 3xkm，甲走的路程可以表示为（3-4060）×3x＝7xkm．
B：（画出线段图）如下：
C：列方程7x+3x＝25×2，
10x＝50，
x＝5，
3x＝15．
答：甲的速度是15千米/小时，乙的速度是5千米/小时．
故答案为：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；7x+3x＝25×2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是设出甲和乙的速度，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，此题难度不大．
22．根据条件列方程：
（1）正方形的边长为2x，周长为50厘米．
（2）x的相反数减去3的差是x的2倍．
【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程．
（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．
【解答】解：（1）根据题意得到：4×2x＝50．
（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系．
23．在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）
【分析】首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20﹣x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数＝2×（原来植树的人数+支援植树的人数）．
【解答】解：设支援拔草的有x人，由题意得：
31+x＝2[18+（20﹣x）]．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
24．列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱？
审题：A设： 这件衬衫的进价是x元 ．
B：
进价
标价
折数
售价
利润
x元
（x+60）元
8折
0.8（x+60）元
[0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程 0.8（x+60）﹣x＝24 ．
【分析】设这件衬衫的进价是x元，根据题意：标价＝成本价+60，售价＝标价×0.8，利润＝销售价﹣成本，即可列出方程．
【解答】解：A设：这件衬衫的进价是x元，
B：
进价
标价
折数
售价
利润
x元
（x+60）元
8折
0.8（x+60）元
[0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程：0.8（x+60）﹣x＝24．
故答案是：这件衬衫的进价是x元；（x+60）元；8折；0.8（x+60）元；[0.8（x+60）﹣x]元；0.8（x+60）﹣x＝24．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键．
25．（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
【分析】（1）根据题意首先得到：|m﹣1|＝1，解此绝对值方程，求出m的两个值．分别代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去．
（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，
∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0，
由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2，
由m﹣4≠0，得m≠4，
∴m＝﹣2；
（2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握相关概念及整式的运算法则是解题的关键．
26．如图是明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语．则下列设未知数列方程正确的序号是 ②③
①设这群人人数为x，根据题意得7x﹣4＝9x+8；
②设这群人人数为x，根据题意得7x+4＝9x﹣8；
③设所分银子的数量为x两，根据题意得x-47=x+89
④设所分银子的数量为x两，根据题意得x+47=x-89
【分析】根据题意列出方程求出答案．
【解答】解：设这群人人数为x，根据题意得：7x+4＝9x﹣8，故②正确；
设所分银子的数量为x两，根据题意得x-47=x+89，故③正确
故答案为：②③．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．
从问题到方程
知识点一、一元一次方程的概念
1. 一元一次方程的定义：方程，，，这样，它们都只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次）的，像这样的方程，叫做一元一次方程.
这里的“元”指的是未知数，“一元”就是只有一个未知数的意思，“一次”是指所含未知数的项的最高次数是1.
2. 一元一次方程的标准形式：（a、b是常数，且）.
3. 一个方程须同时满足：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1；③等号两边都是整式，这三个条件才可以判定它是一元一次方程.
例：下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．﹣x﹣3＝4 B．x2+3＝x+2 C．﹣1＝2 D．2y﹣3x＝2
【解答】A
【解析】B是二次的，C不是整式方程，D含有两个未知数，
它们都不符合一元一次方程的定义．
只有A符合一元一次方程的定义．
故选A．
知识点二、根据实际问题列一元一次方程
1. 根据实际问题列一元一次方程，即把文字语言叙述的问题转化为用数学语言表达的句子，关键是准确找出相等关系，在实际问题中，常用一些关键词表示问题中的数量关系，如“和、差、积、商、大、小、几分之几”等，解题时，要抓住这些关键词，然后找出等量关系.
2. 列一元一次方程的步骤
（1）找出题中的等量关系，找出已知量与未知量；
（2）设未知数，用含未知数的代数式表示其他未知量；
（3）由题中的相等关系，列出一元一次方程（列方程时，须使得方程两边的单位统一）.
例：古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百二十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走220里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为（ ）
A． B．
C．220x＝140x+140×12 D．140+12x＝220
【解答】C
【解析】由题意可得，
220x＝140x+140×12，
故选C．
巩固练习
一．选择题
1．下列是一元一次方程的是（ ）
A．x＝﹣1 B．2x+y＝5 C．1x=1 D．x2﹣2x﹣3＝0
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：A选项是一元一次方程，故该选项符合题意；
B选项中含有两个未知数，故该选项不符合题意；
C选项中的方程是分式方程，故该选项不符合题意；
D选项最高次数是2次，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程是解题的关键．
2．方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（ ）
A．0 B．7 C．8 D．10
【分析】根据一元一次方程的定义得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．
【解答】解：∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴7﹣a＝0且a≠0，
解得：a＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．
3．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，可列方程为（ ）
A．4x+2（94﹣x）＝35 B．4x+2（35﹣x）＝94
C．2x+4（94﹣x）＝35 D．2x+4（35﹣x）＝94
【分析】由上有三十五头且鸡有x只，可得出兔有（35﹣x）只，利用足的数量＝2×鸡的只数+4×兔的只数，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵上有三十五头，且鸡有x只，
∴兔有（35﹣x）只．
依题意得：2x+4（35﹣x）＝94．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．某人骑电动车到单位上班，若每小时骑30千米，则可早到10分种；若每小时骑20千米，则迟到5分种．设他家到单位的路程为x千米，则所列方程为（ ）
A．x30+10=x20-5 B．x30+1060=x20-560
C．x30+560=x20-1060 D．x30-1060=x20+560
【分析】设他家到单位的路程为x千米，根据时间＝路程÷速度结合“若每小时骑30千米，可早到10分钟，若每小时骑20千米，则迟到5分钟”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设他家到单位的路程为x千米，
依题意，得：x30+1060=x20-560，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
5．一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天，如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程为（ ）
A．12x+24x＝1 B．（112+124）x＝1
C．12x+24x=1 D．（12+24）x＝1
【分析】利用甲、乙两工程队每天完成的工作量乘以总天数＝1，进而得出答案．
【解答】解：设要用x天可以铺好这条管线，则可列方程：
（112+124）x＝1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题列出一元一次方程，以总工作量为1得出等式是解题关键．
6．5月份某公司的综合评分为90分，比4月份的综合评分提高了15%．设该公司4月份的综合评分为x．依题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．15%x＝90 B．（1﹣15%）x＝90
C．（1+15%）x＝90 D．90×（1+15%）＝x
【分析】设该公司4月份的综合评分为x，等量关系是：4月份的综合评分×（1+15%）＝5月份的综合评分，依此列出方程即可．
【解答】解：设该公司4月份的综合评分为x，根据题意得
（1+15%）x＝90．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
7．下列方程中：①x﹣2=2x；②x＝6；③2-y4=y-15；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x+2y＝0，其中一元一次方程的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：①x﹣2=2x，分母中含有未知数，不是一元一次方程；
②x＝6，是一元一次方程；
③2-y4=y-15，是一元一次方程；
④x2﹣4x＝3，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程；
⑤0.3x＝1，是一元一次方程；
⑥x+2y＝0，方程中有2个未知数，不是一元一次方程．
所以其中一元一次方程的个数是3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．
8．《孙子算经》中记载：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共鹿适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？设有x户人家，可列方程为（ ）
A．x+3x＝100 B．3x﹣x＝100 C．x-x3=100 D．x+x3=100
【分析】设有x户人家，根据“每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设有x户人家，
依题意，得：x+x3=100．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二．填空题
9．已知方程（k﹣1）x3m+1+12＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ 0 ，k≠ 1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵当方程（k﹣1）x3m+1+12＝0是关于x的一元一次方程，
∴k﹣1≠0，3m+1＝1，
∴k≠1，m＝0．
故答案为：0，1．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
10．若（m+2）x m2-3-2m＝1，是关于x的一元一次方程，则m＝ 2 ．
【分析】根据一元一次方程的定义列出方程和不等式，即可得出结果．
【解答】解：∵（m+2）xm2-3-2m＝1，是关于x的一元一次方程，
∴m+2≠0m2-3=1，
解得m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的概念，只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．
11．若（m﹣3）x|m﹣2|+2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为 1 ．
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出关于m的方程，继而可求出m的值．
【解答】解：根据一元一次方程的特点可得m-3≠0|m-2|=1，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目应严格按照定义解答．
12．如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为y，则列出的方程是 5（120+y）＝100y+30 ．
【分析】由给定的乘法竖式，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：5（120+y）＝100y+30．
故答案为：5（120+y）＝100y+30．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．甲处有272人，乙处有196人，要使甲处的人数是乙处人数的3倍，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则可列方程： 272+x＝3（196﹣x） ．
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：（甲处原来的人数+调入的人数）＝3（乙处原来的人数﹣调出的人数），根据此等量关系列方程即可．
【解答】解：设应从乙处调x人到甲处，则甲处现有的工作人数为（272+x）人，乙处现有的工作人数为（196﹣x）人．
根据“甲处的人数是乙处人数的3倍”
列方程得：272+x＝3（196﹣x），
故答案为：272+x＝3（196﹣x）．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚人员调动前后甲乙两处人数的变化是解决问题的关键．
14．下列四个方程x﹣1＝0，a+b＝0，2x＝0，1y＝1中，是一元一次方程的有 x﹣1＝0 和 2x＝0 ．
【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此可得出正确答案．
【解答】解：根据一元一次方程的定义可知：
是一元一次方程的有x﹣1＝0和2x＝0．
故答案为：x﹣1＝0，2x＝0．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义．判断一元一次方程，第一步先看是否是整式方程，第二步化简后是否只含有一个未知数，且未知数的次数是1．此类题目可严格按照定义解题．
15．某车间28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓需要两个螺母与之配套，如何安排生产才能让螺栓和螺母正好配套？设若x名工人生产螺栓，其余工人生产螺母，根据题意所列方程为 2×12x＝18（28﹣x） ．
【分析】安排x名工人生产螺栓，（28﹣x）名工人生产螺母，根据生产的螺母是螺栓的2倍列方程即可．
【解答】解：设安排x名工人生产螺栓，则需安排（28﹣x）名工人生产螺母，
根据题意，得：2×12x＝18（28﹣x），
故答案为：2×12x＝18（28﹣x）．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的应用，根据总人数为28人，生产的螺母是螺栓的2倍列出方程是解题的关键．
16．有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121，求这个两位数．设十位上的数字为x，则可列方程为 10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121 ．
【分析】设十位上的数字为x，根据有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大1，如果把这两位数的个位与十位对调，那么所得的新数与原数的和是121可列方程求解．
【解答】解：设十位上的数字为x，则
10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121．
故答案是：10x+（x+1）+10（x+1）+x＝121．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，关键是数字问题的设法，设十位数字是多少，然后根据原数和新数的和是121列方程．
三．解答题
17．“五一”期间，某电器城按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元，该电器的成本价为多少元？（只列方程）
【分析】设该电器的成本价为x元，根据成本价×（1+30%）×80%＝售价为2080元可列出方程．
【解答】解：设该电器的成本价为x元，依题意有
x（1+30%）×80%＝2080．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
18．已知方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求m的值及方程的解．
（2）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（13xm+2）的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得到1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4；
（2）把代数式化简得到原式＝x2﹣3x﹣6，然后把x＝4代入计算即可．
【解答】解：（1）∵方程（1﹣m2）x2﹣（m+1）x+8＝0是关于x的一元一次方程，
∴1﹣m2＝0且﹣（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：﹣2x+8＝0，解得x＝4；
（2）∵5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（13xm+2）
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2，
即代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣3（13xm+2）的值是﹣2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义和整式的加减．解题的关键是掌握一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
19．某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么
（1）如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为 1.2x 元；
（2）如果某户居民在某月用水x立方米，且x＞20，则所交水费为 （2x﹣16） 元；
（3）如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米1.5元，设这户居民这个月共用了x立方米的水，请写出x的范围，并列出方程．
【分析】（1）直接利用x的取值范围，结合每立方米水价按1.2元，进而得出收费实际费用；
（2）直接利用x的取值范围，结合超过20立方米，超过部分按每立方米2元收费，进而得出实际费用；
（3）所交水费的平均水价为每立方米1.5元，超过1.2元，则这户居民这一月用水一定超过20立方米．设这一月共用水x立方米，根据收费标准，可得方程，即可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：x≤20时，所交水费为1.2x元，
故答案为：1.2x；
（2）由题意得：x＞20时，所交水费：20×1.2+2（x﹣20）＝（2x﹣16）元；
（3）由题意可得：x＞20，设这一月共用水x立方米，
根据题意得：20×1.2+2（x﹣20）＝1.5x，
化简可得2x﹣16＝1.5x，
解得：x＝32．
即他这一个月共用了32立方米的水．
【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
20．数学兴趣小组设计了一个问题，分两步完成：
（1）已知关于x的一元一次方程（a﹣2）x|a|﹣1+8＝0，请画出数轴，并在数轴上标注出a与x对应的点，分别记作A，B．
（2）在（1）的条件下，在数轴上另有一点C对应的数为y，C与A的距离是C与B的距离的5倍，求y的值．
【分析】（1）利用一元一次方程的定义得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，求出a得到一元一次方程为﹣4x+8＝0，解方程得x2＝4，然后利用数轴表示A、B两点；
（2）利用数轴上两点间的距离公式得到|y﹣（﹣2）|＝5|4﹣y|，然后解绝对值方程即可得到y的值．
【解答】解：（1）由一元一次方程的定义得|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
所以关于x的一元一次方程变形为﹣4x+8＝0，解得x＝2，
在数轴上表示如图所示：
（2）依题意有|y﹣（﹣2）|＝5|y﹣2|，
解y+2＝5（y﹣2）得y＝3，
解y+2＝﹣5（y﹣2）得y=43（舍去）．
所以y的值为3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了数轴和一元一次方程的定义．
21．甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地，甲骑车乙步行，甲的速度是乙的速度的3倍，甲到达B地停留40分钟，然后从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3小时，求两人的速度各是多少？
A：设： 设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时
B：（画出线段图）
C：列方程 7x+3x＝25×2
【分析】设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，根据路程＝速度×时间可求甲遇见乙时，乙走的路程和甲走的路程；根据关于路程的等量关系：甲、乙两人行驶的路程和是两个25千米，列出方程求解即可．
【解答】解：A：设：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时，甲遇见乙时，乙走的路程可以表示为 3xkm，甲走的路程可以表示为（3-4060）×3x＝7xkm．
B：（画出线段图）如下：
C：列方程7x+3x＝25×2，
10x＝50，
x＝5，
3x＝15．
答：甲的速度是15千米/小时，乙的速度是5千米/小时．
故答案为：设乙的速度为x千米/小时，则甲的速度为3x千米/小时；7x+3x＝25×2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是设出甲和乙的速度，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，此题难度不大．
22．根据条件列方程：
（1）正方形的边长为2x，周长为50厘米．
（2）x的相反数减去3的差是x的2倍．
【分析】（1）由正方形的周长公式列出方程．
（2）找到等量关系：x的相反数减去3的差＝x的2倍．
【解答】解：（1）根据题意得到：4×2x＝50．
（2）根据题意得到：﹣x﹣3＝2x．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找到等量关系．
23．在一次美化校园活动中，先安排31人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树的人数的2倍．问支援拔草和植树的分别有多少人？（只列出方程即可）
【分析】首先设支援拔草的有x人，则支援植树的有（20﹣x）人，根据题意可得等量关系：原来拔草人数+支援拔草的人数＝2×（原来植树的人数+支援植树的人数）．
【解答】解：设支援拔草的有x人，由题意得：
31+x＝2[18+（20﹣x）]．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
24．列方程解应用题：一件衬衫先按进价加价60元标价，再以8折出售，仍可获利24元，这件衬衫的进价是多少钱？
审题：A设： 这件衬衫的进价是x元 ．
B：
进价
标价
折数
售价
利润
x元
（x+60）元
8折
0.8（x+60）元
[0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程 0.8（x+60）﹣x＝24 ．
【分析】设这件衬衫的进价是x元，根据题意：标价＝成本价+60，售价＝标价×0.8，利润＝销售价﹣成本，即可列出方程．
【解答】解：A设：这件衬衫的进价是x元，
B：
进价
标价
折数
售价
利润
x元
（x+60）元
8折
0.8（x+60）元
[0.8（x+60）﹣x]元
C：列方程：0.8（x+60）﹣x＝24．
故答案是：这件衬衫的进价是x元；（x+60）元；8折；0.8（x+60）元；[0.8（x+60）﹣x]元；0.8（x+60）﹣x＝24．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，弄清楚，成本价、标价、销售价，以及利润、成本、售价之间的关系是解本题的关键．
25．（1）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，求m的值．
（2）已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
【分析】（1）根据题意首先得到：|m﹣1|＝1，解此绝对值方程，求出m的两个值．分别代入所给方程中，使系数不为0的方程，解即可；如果系数为0，则不合题意，舍去．
（2）首先根据数轴判断绝对值里代数式的大小，再根据绝对值的意义正确去掉绝对值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣4）x|m﹣1|﹣2+2＝0是一元一次方程，
∴|m﹣1|﹣2＝1，且m﹣4≠0，
由|m﹣1|﹣2＝1，得m＝4或m＝﹣2，
由m﹣4≠0，得m≠4，
∴m＝﹣2；
（2）∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义，绝对值的意义以及整式的运算，熟练掌握相关概念及整式的运算法则是解题的关键．
26．如图是明代数学家程大位的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：明代时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语．则下列设未知数列方程正确的序号是 ②③
①设这群人人数为x，根据题意得7x﹣4＝9x+8；
②设这群人人数为x，根据题意得7x+4＝9x﹣8；
③设所分银子的数量为x两，根据题意得x-47=x+89
④设所分银子的数量为x两，根据题意得x+47=x-89
【分析】根据题意列出方程求出答案．
【解答】解：设这群人人数为x，根据题意得：7x+4＝9x﹣8，故②正确；
设所分银子的数量为x两，根据题意得x-47=x+89，故③正确
故答案为：②③．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．
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