初中数学苏科版七年级上册4.3 用一元一次方程解决问题精品达标测试

用一元一次方程解决问题

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

1. 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；

2. 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；

 ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么；

 ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数；

 ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.

3. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；

4. 解：解所列出的一元一次方程；

5. 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；

6. 答：写出答案，包括单位.

例：用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，若该长方形的长比宽多2米，长方形的长、宽各位多少？

【解答】长是3.5米，宽是1.5米

【解析】设长方形的宽为x米，则长为（x＋2）米.

由题意可列出方程，

解得，则，

答：这个长方形的长是3.5米，宽是1.5米.

知识点二、常见列方程解决问题的几种类型

1. 和、差、倍、分问题

（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．

（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．

2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：

Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：

Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一、同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；

第二、同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题：

Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，

逆流速度=静水速度－水流速度，

顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．

3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．

4．调配问题

   寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

5．利润问题

（1）

（2）标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)

（3）实际售价＝标价×打折率

（4）利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损，打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．

6．存贷款问题

（1）利息=本金×利率×期数

（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)

（3）实得利息=利息-利息税

（4）利息税=利息×利息税率

（5）年利率＝月利率×12

（6）月利率＝年利率×

7. 数字问题

    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

8．方案问题

选择设计方案的一般步骤：

（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．

例：某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此，该厂某领导提出了两种可行方案：

方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．

你认为选择哪种方案获利最多，为什么?

【解答】见解析

【解析】（1）若选择方案1，依题意，

总利润=2000元×4+500元×(9-4)=10500元．

（2）若选择方案2．

设将x吨鲜奶制成奶片，则用(9-x)吨鲜奶制成酸奶销售，

依题意得，

解得．

当时，．

总利润=2000元×1.5+1200元×7.5=12000元．

∵12000>10500，

∴选择方案2较好．

答：选择方案2获利最多，只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶，用1.5吨的鲜奶加工成奶片．

巩固练习

一．选择题

1．用含盐16%的甲种盐水和含盐25%的乙种盐水，配制成含盐20%的盐水36kg，则需甲种盐水（　　）kg．

A．20 B．16 C．26 D．10

2．小明早上8点从家骑车去图书馆，计划在上午11点30分到达图书馆．出发半小时后，小明发现若原速骑行，将迟到10分钟，于是他加速继续骑行，平均每小时多骑行1千米，恰好准时到达，则小明原来的速度是（　　）

A．12千米/小时 B．17千米/小时 

C．18千米/小时 D．20千米/小时

3．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（　　）

A．14 B．15 C．16 D．17

4．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，点P从点A以每秒2个单位长度的速度向点D运动，同时，点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点P到达点D时，P，Q停止运动．设运动时间为t秒，则当四边形PDCQ为矩形时，t的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．某甜品铺子正在热销一种“脏脏面包”，其标价为每个12元，打8折销售后每个可获利3元，该面包的进价为（　　）

A．6.4元 B．6.5元 C．6.6元 D．6.7元

6．一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（　　）

A．2400元 B．2200元 C．2000元 D．1800元

7．一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（　　）千米．

A．30 B．36 C．44 D．48

8．某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（　　）

A．赚了32元 B．赚了8元 C．赔了8元 D．不赔不赚

二．填空题

9．一个数的3倍比这个数多10．这个数为 　   　．

10．某件家用电器进价2000元，若按标价打8折销售该件电器，可获利润400元，则这件电器的标价是 　   　元．

11．某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车．则共有 　   　辆车，　   　个学生．

12．把1～9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则y﹣x的值为 　   　．

13．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg．如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折．若王大叔一次付款90元，则能购买到 　   　kg的种子．

14．甲、乙两人从长度为400m的环形运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为300m/min，乙步行，当甲第四次超越乙时，乙正好走完第二圈，再过 　   　min，甲、乙之间相距100m．（在甲第五次超越乙前）

15．《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住．设店中共有x间房，可求得x的值为 　   　．

16．一列火车长110米，现在以30km/h的速度向北缓缓行驶，9：20追上向北行走的路人甲，15秒离开甲，9：26迎面遇上向南行走的路人乙，12秒钟后离开乙．若路人甲、乙行走速度不变，请问路人甲和乙相遇时间是火车迎面遇上路人乙后 　   　分钟．

三．解答题

17．声音在空气中传播的速度y（ m/s）与气温x（℃）之间存在如下关系：．

（1）当气温为15℃时，声音的速度是多少？

（2）当气温为20℃时，某人看到烟花燃放5 s后才听到声音，则此人与燃放的烟花所在地相距多少米？

18．用白铁皮做罐头盒，每张白铁皮可制盒身25个或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．

（1）若用5张白铁皮制作盒底，需要用 　   　张白铁皮制作盒身，才能正好做成罐头盒，此时可以做成 　   　个罐头盒．

（2）现在有36张铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？

19．2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有A型冰墩墩和B型雪容融两种商品．已知购买1个A型商品和1个B型商品共需要220元，购买3个A型商品和2个B型商品共需要560元，求每个A型商品的售价．

20．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位，该大学共有多少名志愿者？

21．在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？

22．某校新学期准备添置一批课桌椅，原计划订购50套，每套120元，店方提示：如果多购，可以优惠，结果该校实际订购了60套，每套减价5元，但商店获得了同样多的利润，求每套课桌椅的成本价．

23．某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：

（1）降价前每件衬衫的利润率为多少？

（2）每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？

24．某人自驾车从A市前往B市，前五分之一路段为县道，中间的路段为高速公路，后十分之一路段也是县道．已知汽车在县道上行驶的速度为60km/h．在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A市前往B市一共行驶了1.8小时．求A、B两市之间的路程．

25．《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗．问持米几何？

题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余的纳税，经过内关时用再余的纳税，最后还剩下5斗米．这个人原来背多少米出关？

26．2021年12月，某网店从甲厂家购进了A、B两种商品，A商品每件进价40元，B商品每件进价10元，两种商品共购进了500件，所用资金为11000元．

（1）求12月A、B两种商品各购进了多少件？

（2）12月初，该网店在出售A、B两种商品时，A商品在进价的基础上加价30%出售，并以此价格售出了，B商品以一定价格售出了．为了促销，余下的A、B两种商品．网店推出买一件A商品送一件B商品的优惠活动，但是单独购买B商品无优惠．到12月底，从甲厂家购进的A、B两种商品全部售完，且剩余的A商品都参加了促销活动，最终网店通过销售A、B两种商品共获利15%，求12月份每件B商品的售价是多少元？

（3）2022年1月份，甲厂家决定薄利多销，提出了优惠方案，同样生产A、B两种商品的乙厂家也提出了优惠方案．

甲厂家优惠方案：

乙厂家优惠方案：

1月份，该网店从甲厂家分两次分别购进A、B两种商品，进价与12月份相同，按照甲厂家优惠方案，第一次全部购进A商品实际付款4320元，第二次全部购进B商品实际付款3690元．已知从乙厂家购买A商品每件进价34元，购买B商品每件进价12元，若网店从乙厂家购买与甲厂家数量分别相同的A、B两种商品，并享受乙厂家的优惠方案，那么相较于从甲厂家购买，网店实际付款金额是节省还是多花费，节省或多花费多少元？