苏科版九年级下册7.2 正弦、余弦精品精练

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第7章 锐角三角函数
7.2正弦、余弦
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课程标准
课标解读
1.理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2.能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
1.能够根据直角三角形的边角关系进行三角函数的计算；
2.能用三角函数知识根据三角形中已知边和角求出未知的边和角。
知识精讲

知识点 正弦、余弦
如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
【微点拨】
(1)正弦、余弦、是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.
(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A是个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，
但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.
(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.
(4)三角函数有时还可以表示成等.
【即学即练1】如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；
【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DBC，
A．=cosA，不符合题意；
B．=tanA，不符合题意；
C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；
D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；
故选： D．
【即学即练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（    ）

A．sinA＝ B．a＝sinB×c C．cosA＝ D．tanA＝
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，
因此有：sinA＝，sinB＝，cosA＝，tanA＝，
故A不符合题意；故C符合题意；故D不符合题意；
由sinB＝可得b＝sinB×c，故B不符合题意；
故选：C．
能力拓展

考法01 求角的正弦值
【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则sin∠BDE的值等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AD，由△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得AD⊥BC，在直角△ABD中根据三角函数的定义求出sin∠BAD，然后根据同角的余角相等得出∠BDE=∠BAD，于是sin∠BDE=sin∠BAD即可求得．
【详解】解：连接AD，如图：

∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴，，
∴∠BDE=∠BAD，
∴．
故选：A．
考法02 求角的余弦值
【典例2】如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，B，则的值等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据网格的特点找到格点，使得，则，构造，即可求解．
【详解】如图，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，
．
故选D
分层提分

题组A 基础过关练
1．如图，木杆靠在垂直水平地面的墙上，杆子长是3米．若木杆与地面的夹角为，则木杆顶端B到地面的距离为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中：，
∴（米），故A正确．
故选：A．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinB的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．
【详解】如图，根据勾股定理得，
AB===13，
∴sinB==．
故选：D．
3．如图，点P（2，3）在第一象限，OP与x轴所夹的锐角为α，则cosα＝（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，在Rt△APO中，利用勾股定理求出OP，然后利用余弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，

∵P（2，3），
∴OA＝2，PA＝3，
在Rt△APO中，，
．
故选C．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的余弦值为（   ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB==，
∴∠A的余弦值为=，
故选：C．
5．市防控办准备制作一批如图所示的核酸检测点指示牌，若指示牌的倾斜角为，铅直高度为h，则指示牌的边AB的长等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作，从而构造直角三角形，应用三角函数即可得出AB．
【详解】如图，过点A作于C，

在中，，
∴．
故选：B．
6．如图，在中，斜边，直角边，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦的定义可直接得到答案．
【详解】解：
故选：A．
7．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则sinB=______
【答案】或
【分析】分∠C=90°或∠A=90°两种情况进行讨论，先根据已知条件，画出图形，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，当∠C=90°时，如图所示：

∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∴sinB=；
在Rt△ABC中，当∠A=90°时，如图所示：

∵AC=3，BC=4，
∴sinB=；
综上分析可知，sinB=或sinB=．
故答案为：．
8．若在RtABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＝______
【答案】
【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：∵在RtABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴．

故答案为：．
9．在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为___________．

【答案】
【分析】连接格点DC、BD．先利用勾股定理求出AC，再利用直角三角形的边角关系求出sin∠BAC．
【详解】解：连接格点DC、BD．

在Rt△ABD中，
∵CD=3，AD=4，
∴AC==5．
∴sin∠BAC=．
故答案为：．
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，sin A=，则边AB的长为________．
【答案】8
【分析】在Rt△ABC中，因为∠C=90°，BC=2，sin A=，根据正弦=，得出：sin A=，把有关数据代入即可求出边AB的长．
【详解】
解：如图：∵∠C=90°，BC=2，sin A=
∴＝，
即，
解得：AB=8
故答案为：8
题组B 能力提升练
1．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°，AC＝3，AD＝2，则sinB的值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将求sinB的值转化为求sin∠ACD的值，然后根据角的正弦值与三角形边的关系，求角的正弦值．
【详解】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∠ACB＝90°
∴∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°
∴∠B＝∠ACD．
∴sinB＝sin∠ACD＝AD：AC＝2：3．
故选：A．
2．如图，正方形的边长为，点在上，以为圆心的扇形与边相切于点，与两边交于点，，则弧长度的最小值是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正方形的性质可得弧长度最小时的状态．
【详解】解：当点与或点重合时，圆心角为，此时弧最长，
根据正方形和扇形的对称性可得，当点在中点时，此时弧的长度最短，且，
∵正方形的边长为，以为圆心的扇形与边相切，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长度为．
故选：C．

3．在中，，，，下列四个选项，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，根据勾股定理得：BC＝，
∴，，，，
∴C正确，A、B、D错误，
故选：C．

4．如图，已知正方形的边长为2，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用正方形的性质得到BD=2，再根据旋转的性质得=BD=2，根据勾股定理计算的长，然后利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD==2，
∵线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的处，
∴=BD=2，
在Rt△中，=．
∴．
故选：A．
5．如图，在中，，且，若，，则的长度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，利用三角函数求出，根据勾股定理求出，再证明，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
6．矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ）

A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据计算即可．
【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，

∵将沿折叠得到
∴与关于AE对称
∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=
∵点E是BC中点
∴BE=CE=DF=
∴
∵
∴
∴
∵BE=CE=DF
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF
∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=
∴
故选 D
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则的正弦值为______________．

【答案】
【分析】根据题意得出，利用求出，再利用勾股定理求出，在根据正弦的定义：对边比斜边即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴
∴；
故答案为：．
8．如图，在正方形ABCD中，AD＝1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到，此时与CD交于点E，则DE的长度为______．

【答案】
【分析】利用正方形和旋转的性质得出，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．
【详解】解：由题意可得出：∠BDC＝45°，，
∴，
∴，
∵在正方形ABCD中，AD＝1，
∴，
∴BD＝，
∴，
∴在中，DE＝＝．
故答案为：．
9．如图的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为_________．

【答案】
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，求出AC，再利用面积法求出AH，再利用正弦的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．

由图可知：AB=2，BC==5，AC=，
∴S△ABC=，
∴AH=，
∴sin∠ACB===，
故答案为：．
10．如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求：

(1)CD的长
(2)cosB的值
【答案】(1)4；(2)
【分析】（1）直接在Rt△ADC中根据正切的定义求解即可；
（2）先求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中，，
∴；
（2）解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE＝（    ）

A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC，

∵AB为⊙O的直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴，
∴，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
故选：C．
2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝ ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出 ，则可求出答案．
【详解】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，
∴∠MGN＝90°，
∴四边形GMCN为矩形，
∴GM＝CN，
在△CDN中，∠D＝60°，CD＝，
∴CN＝CD•sin60°＝，
∴MG＝3，
∵四边形BEFG为矩形，
∴∠E＝90°，BG∥EF，
∴∠BCE＝∠GBM，
又∵∠E＝∠BMG，
∴△GBM∽△BCE，
∴，
∴，
∴BE＝ ，
故选：B．
3．如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵
∴F是BC的中点，
∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2．
即的最小值是．
故选：C
4．如图，在中，已知，，，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB＝13，再根据切线长定理可以求得AE＝4．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝ ，DE＝ ．根据直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，得内切圆的半径是2，从而求得tan∠ODA的值．
【详解】解：设⊙O与AB相切于点E，连接OE，则OE⊥AB．

∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∴AE＝，
∵⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，
∴AD＝，则DE＝，
∴r ，
∴tan∠ODA＝．
故选：A．
5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC上一点，且EC＝2BE，连接AE，交BD于点F．过点D作DG⊥AE，交AC于点H，连接HF，则下列结论正确的是（    ）
①AF＝DH；②HFCD；③；④．

A．①③ B．①②④ C．②③④ D．②④
【答案】B
【分析】①利用AAS证明△ABF≌△DAH，从而得证AF=DH，即①正确；由△ABF≌△DAH得出BF=AH，从而得证OH=OF，继而推出∠OHF=∠OAB=45°，故HFAB，最后利用平行于同一直线的两直线平行得出HFCD，即②正确；③过点E作EP平行AC交BD于P，可证，，故从而等到，，继而推导出，即③错误；④由可知OH=OD，故DH=OH，所以，即④正确，由此推出正确答案．
【详解】解：①∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，∠ABF=∠DAH=45°，AB=DA，OA=OB=OC=OD，
又∵DG⊥AE，
∴∠AFO+∠OHG=180°．
又∵∠OHG=∠AHD，∠AFO+∠BFA=180°，
∴∠BFA=∠AHD．
∵∠BFA=∠AHD，∠ABF=∠DAH=45°，AB=DA，
∴△ABF≌△DAH（AAS），
∴AF=DH， 即①正确；
②∵△ABF≌△DAH，
∴BF=AH，
∴OB-BF=OA-AH，
即OH=OF，
∴∠OHF=∠OAB=45°，
∴HFAB，
又∵ABCD，
∴HFCD，即②正确；
③EC＝2BE，如图，过点E作EP平行AC交BD于P，

则有，
，
∴，
∴，
∴，

∴，即③错误；
④∵OH=OF，，
∴OH=OF =OB=OD，
∴DH==OH，
∴，即④正确；
故正确的有：①②④．
故选：B．
6．如图，正方形中，点是边的中点，，则______．

【答案】
【分析】依题意设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三角函数的定义求解．
【详解】设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x， 
∴，
，
，
∴，
∴△CEM是直角三角形，
∴，
故答案为：．
7．在中，，，，则的长______．
【答案】
【分析】由解直角三角形，，求出AC，然后利用勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
8．正方形ABCD，对角线交于点O，点E为正方形外一点，DE⊥EC， DE=3，CE=5，则△OEC的面积为_______．

【答案】10
【分析】由勾股定理求出CD的长，再由正方形的性质求出CO的长，∠CED＋∠COD＝180°，得到点C、O、D、E四点共圆，∠CEO＝∠CDO＝45°，作CH⊥OE于点H，利用特殊角的三角函数值求得CH、EH的长，由勾股定理得HO，由OE＝EH＋OH得到OE的长，进一步即可得到△OEC的面积．
【详解】解：∵DE⊥EC，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，DE＝3，CE＝5，
由勾股定理得，，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，CO＝DO，
∴∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODC＝45°，
∴CO＝CDsin∠OCD＝，
∵∠CED＋∠COD＝180°，
∴点C、O、D、E四点共圆，
∴∠CEO＝∠CDO＝45°，
作CH⊥OE于点H，如图，

在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，∠CEO＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CH＝EH＝CEsin45°＝，
在Rt△CHO中，由勾股定理得
HO＝，
∴OE＝EH＋OH＝＋＝4，
∴△OEC的面积为＝，
故答案为：10
9．如图，在平行四边形中，于点，于点，平行四边形的周长为28，面积为40，．求：

(1)的长；
(2)的值．
【答案】(1)5；(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到，再由，求出，，再根据平行四边形面积公式求解即可；
（2）先证明，在中，，则．
【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，平行四边形的周长为28，
∴，
又∵，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵在四边形中，，，，
∴，
又∵在平行四边形中，，
∴，
在中，，
∴．
10．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作AEBD，交CB的延长线于点E．

(1)求证：AE=AC；
(2)若cos∠E=，CE=12，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为48
【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，ADBC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出AC=AE的结论；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理求得AB的长,最后求得面积即可．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，ADBC，
又∵，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴BD=AE，
∴ AC=AE；
（2）解：在矩形ABCD中，
∴AB⊥EC，
∵AE=AC，
∴EB=BC，
∵CE=12，
∴EB=6，
∵，
∴AE=10，
由勾股定理得：．
∴矩形ABCD的面积为．
11．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O外一点，AC、BC与⊙O分别交于D、E，且CE＝BE，过点E作AC垂线，垂足为点M，直线ME与AB延长线交于点F．

(1)证明：MF与⊙O相切；
(2)若⊙O半径为5，cos∠ACB，求BF的长度．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和全等三角形的性质可得AE是的平分线，在根据等腰三角形的性质和平行线的判定，得出，再根据得出，即可得；
（2）利用直角三角形的边角关系可求出，在中根据锐角三角函数可求出CM，进而求出AM=8，再由平行线得出，由对应边成比例求解即可得．
【详解】（1）证明：如图所示，连接OE，AE，

∵AB是直径，
∴，
在和中，

∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵OE是半径，
∴MF是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，


解得，．
12．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D点作⊙O的切线DE，交AC于点E．

(1)证明：DE⊥AC；
(2)连接OE，当，S△OCE＝6时，求⊙O的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】（1）连接OD，根据DE是⊙O的切线，可得∠ODE＝90°，由AC＝BC，可得∠OBD＝∠A，进而可得∠A＝∠ODB，可得ODAC，即可证明结论；
（2）连接CD，证明∠CDE＝∠ABC，由得，设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝4x，根据S△OCE＝6可求出x的值，可得CD的长，由可得BC的长，即可得⊙O的半径．
【详解】（1）证明：如图1，连接OD，则OD为⊙O的半径，

∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AC＝BC，
∴∠OBD＝∠A，
∴∠A＝∠ODB，
∴ODAC，
∴∠DEC＝180°－∠ODE＝90°，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接CD，如图2，

∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴∠CDE+∠EDA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠A＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴∠CDE＝∠ABC，
∴，
设CE＝3x，CD＝5x，则DE＝＝4x，
∵S△OCE＝CE•DE＝6＝6，
∴x＝1或x＝﹣1（不合题意，舍去），
∴x＝1，
∴CD＝5，
∵，
∴BC＝，
∴⊙O的半径为．